江苏省南京市玄武区届中考二模数学试题含答案.docx

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江苏省南京市玄武区届中考二模数学试题含答案

南京市玄武区2019年中考二模数学试卷

注意事项：

1．本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．

2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．

3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效．

4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰

有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）

1．计算（－xy2）3的结果是

A．－x3y6B．x3y6C．－x3y5D．x3y5

2．29的算术平方根介于

A．6与7之间B．5与6之间C．4与5之间D．3与4之间

3．对于实数a，b，若b＜a＜0，则下列四个数中，一定是负数的是

A．a－bB．abC．

D．a＋b

4．下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是

A．2，3，4B．2，3，5C．3，4，4D．3，4，5

5．如图，已知BC是圆柱底面的直径，AB是圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有

一圈路径最短的金属丝，现将圆柱侧面沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是

A．B．

C．D．

6．二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数）的图像如图所示，

若y1＋y2＝2，则下列关于函数y2的图像与性质描述正确的是：

A．函数y2的图像开口向上

B．函数y2的图像与x轴没有公共点

C．当x＞2时，y2随x的增大而减小

D．当x＝1时，函数y2的值小于0

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接

填写在答题卡相应位置上）

7．南京属于北亚热带湿润气候，年平均降水量约为1100毫米，将数据1100用科学记数法

表示为▲．

8．若代数式1＋

在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为▲．

9．分解因式（a－b）（a－9b）＋4ab的结果是▲．

10．计算

－

的结果是▲．

11．已知一元二次方程x2＋mx－3＝0的一个根为1，则m＝▲．

12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，连接

DE，若AB＝6，则DE＝▲．

13．在平面直角坐标系中有一点A，作点A关于y轴的对称点A′，再将点A′向下平移4个单位，得到点A′′（1，1），则点A的坐标是（▲，▲）.

14.如图，点A在反比例函数y1＝

（x＞0）的图像上，点B在反比例函数y2＝

（x＜0）的

图像上，AB⊥y轴，若△AOB的面积为2，则k的值为▲．

15.如图，五边形ABCDE内接于⊙O，BC＝CD＝DE，

若∠B＝98°，∠E＝116°，则∠A＝▲°．

16．如图，正方形ABCD与正方形CEFG，E是AD的中点，

若AB＝2，则点B与点F之间的距离为▲．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（7分）计算（x＋

＋2）÷（x－

）．

18.（7分）如图，在数轴上点A、B、C分别表示－1、－2x＋3、x＋1，且点A在点B的左侧，点C在点B的右侧.

（1）求x的取值范围；

（2）当AB＝2BC时，x的值为▲.

19.（7分）某校1200名学生发起向贫困山区学生捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机抽取了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②．

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）本次抽样调查的样本容量为▲；

（2）图①中“20元”对应扇形的圆心角的度数为▲°；

（3）估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）的学生人数．

20.（8分）如图，O是菱形ABCD对角线BD上的一点，且OC＝OD，连接OA．

（1）求证：

∠AOC＝2∠ABC；

（2）求证：

CD2＝OD·BD．

21.（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转.如果这三种可能性大小相同，现有两辆汽车经过这个十字路口．

（1）求两辆车全部继续直行的概率．

（2）下列事件中，概率最大的是（▲）

A．一辆车向左转，一辆车向右转B．两辆车都向左转

C．两辆车行驶方向相同D．两辆车行驶方向不同

22.（9分）如图是某景区每日利润y1（元）与当天游客人数x（人）的函数图像．为了吸引游客，该景区决定改革，改革后每张票价减少20元，运营成本减少800元．设改革后该景区每日利润为y2（元）．（注：

每日利润＝票价收入－运营成本）

（1）解释点A的实际意义：

▲；

（2）分别求出y1、y2关于x的函数表达式；

（3）当游客人数为多少人时，改革前的日

利润与改革后的日利润相等？

23.（8分）如图，港口B位于港口A的南偏西45°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的南偏东45°方向的D处，它沿正北方向航行18.5km到达E处，此时测得灯塔C在E的南偏西70°方向上，求E处距离港口A有多远？

（参考数据：

sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）

B

24.（9分）如图，在□ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，∠AEF的角平分线交AB于点M，∠EFC的角平分线交CD于点N，连接MF、NE．

（1）求证：

四边形EMFN是平行四边形．

（2）小明在完成

（1）的证明后继续进行了探索，他猜想：

当AB＝AD时，四边形EMFN是矩形．请在下列框图中补全他的证明思路．

25.（8分）已知二次函数y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1（m为常数），函数图像的顶点为C．

（1）若该函数的图像恰好经过坐标原点，求点C的坐标；

（2）该函数的图像与x轴分别交于点A、B，若以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形，求m的值．

26．（8分）在□ABCD中，经过A、B、C三点的⊙O与AD相切于点A，经过点C的切线与AD的延长线相交于点P，连接AC．

（1）求证：

AB＝AC；

（2）若AB＝4，⊙O的半径为

，求PD的长．

27．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AB边上的动点，过点D作DE⊥AB交边AC于点E，过点E作EF⊥DE交BC于点F，连接DF．

（1）当AD＝4时，求EF的长度；

（2）求△DEF的面积的最大值；

（3）设O为DF的中点，随着点D的运动，则点O的运动路径的长度为▲．

参考答案

说明：

本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）

题号

1

2

3

4

5

6

答案

A

B

D

C

D

C

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

7．1.1×1038．x≠19．（a－3b）210．

11．2

12．313．（－1，5）14．－315．10216．3

三、解答题（本大题共11小题，共88分）

17．（本题7分）

解：

原式＝

·

3分

＝

·

4分

＝

．7分

18．（本题7分）

解：

（1）由题意得：

2分

解不等式①得：

x＜2；3分

解不等式②得：

x＞

．4分

∴不等式组的解集为：

＜x＜2．5分

（2）1．7分

19．（本题7分）

（1）50；2分

（2）72°；4分

（3）解：

50－4－16－12－8＝10，

×1200＝720．6分

答：

估计该校本次活动捐款金额为15元以上（含15元）

的学生人数为720人．7分

20．（本题8分）

证明：

连接AC．

∵四边形ABCD是菱形，

∴BD垂直平分AC，∠ADC＝∠ABC．

∵O是BD上一点，∴OA＝OC．2分

∵OC＝OD，∴AO＝OD，∠ODC＝∠OCD．

∴∠BOC＝∠ODC＋∠OCD＝2∠ODC．3分

同理：

∠AOB＝2∠ADO，∴∠AOC＝2（∠ADO＋∠ODC）＝2∠ADC．

又∵∠ADC＝∠ABC，

∴∠AOC＝2∠ABC．4分

（提示：

还可以构造圆来证明：

以点O为圆心OD为半径作⊙O，易证点A、C、D在⊙O上，

∴∠AOC＝2∠ADC又∵∠ADC＝∠ABC∴∠AOC＝2∠ABC．）

（2）证明：

∵四边形ABCD是菱形，∴BC＝CD．

∴∠BDC＝∠CBD．

由

（1）得∠ODC＝∠OCD，

∴∠OCD＝∠DBC．6分

在△CDO和△BDC中

∵∠ODC＝∠CDB，∠OCD＝∠CBD

∴△CDO∽△BDC．7分

∴

＝

，

即CD2＝OD·BD．8分

21．（本题8分）

解：

（1）所有可能出现的结果有：

（直行，直行），（直行，左转），（直行，右转），（左转，直行），（左转，左转），（左转，右转），（右转，直行），（右转，左转），（右转，右转），共有9种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“两辆车全部继续直行”（记为事件A）的结果有1种，所以P（A）＝

．6分

（2）D8分

22．（本题9分）

解：

（1）改革前某景区每日运营成本为2800元；2分

（2）设y1与x之间的函数表达式为y1＝kx＋b（k、b为常数，k≠0），

根据题意，当x＝0时，y1＝－2800；当x＝50时，y1＝3200．

所以

，解得

5分

所以，y1与x之间的函数表达式为y1＝120x－2800．6分

根据题意，y2与x之间的函数表达式为y2＝100x－2000．7分

（3）根据题意，当y1＝y2时，得120x－2800＝100x－2000．

解得x＝40．

答：

当游客人数为40人时，改革前的日利润与改革后的日利润相等.9分

23．（本题8分）

解：

如图，过点B作BM⊥AD，垂足为M，过点C作CN⊥AD，垂足为N．

设CN＝xkm．在Rt△ACN中，∠A＝45°，

∵tan45°＝

，∴AN＝

＝

＝x．1分

在Rt△ECN中，∠CEN＝70°，

∵tan70°＝

，∴EN＝

＝

．2分

∵CN⊥AD，BM⊥AD，∴∠ANC＝∠AMB＝90°．

∴CN∥BM．∴

＝

＝

．

又∵C为AB中点，

∴AB＝2AC，AC＝BC．

∴BM＝2CN＝2x，AN＝MN．3分

由题可知，∠MDB＝45°．

在Rt△BMD中，∠MDB＝45°，

∵tan45°＝

，∴DM＝

＝

＝2x．4分

∴18.5－2x－

＝x6分

∴x＝

≈5.5．7分

∴AE＝AN－EN＝5.5－

＝3.5．

因此，E处距离港口A大约3.5km．8分

24．（本题9分）

（1）证明：

在□ABCD中，∠A＝∠C，AD∥BC，AD＝BC

∵E、F分别是AD、BC的中点∴AE＝

AD，CF＝

BC

又∵AD＝BC，∴AE＝CF．1分

∵AD∥BC，∴∠AEF＝∠CFE．

∵EM平分∠AEF，FN平分∠EFC．

∴∠AEM＝∠FEM＝

∠AEF，∠CFN＝∠FEN＝

∠CFE．

∵∠AEF＝∠CFE，∠AEM＝

∠AEF，∠CFN＝

∠CFE．

∴∠AEM＝∠CFN．3分

在△AME和△CNF中

∴△AME≌△CNF（ASA）

∵∠FEM＝∠FEN，∴EM∥FN．4分

∵△AME≌△CNF，∴EM＝FN．

∵EM∥FN，EM＝FN，

∴四边形EMFN是平行四边形．5分

（2）∠EFM＝∠BMF，7分

AM＝BM（或：

M是AB中点）．9分

25．（本题8分）

（1）解：

∵y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1的图像经过点（0，0）

∴2m＋1＝0∴m＝－

1分

当m＝－

时，y＝x2－x＝（x－

）2－

∴顶点C的坐标（

，－

）3分

（2）解：

当y＝0时x2－2（m＋1）x＋2m＋1＝0

∴x1＝2m＋1，x2＝1

∴AB＝

4分

∵y＝x2－2（m＋1）x＋2m＋1＝（x－m－1）2－m2

∴顶点C的坐标（m＋1，－m2）5分

∵以A、B、C为顶点的三角形是直角三角形

∴2m2＝

6分

当2m2＝2m时，m1＝0，m2＝1

当2m2＝－2m时，m1＝0，m2＝－1

当m＝0时，AB＝0（舍）

答：

m的值为1或－18分

26．（本题8分）

（1）证明：

连接AO并延长交BC于点E，交⊙O于点F．

∵AP是⊙O的切线，AF是⊙O的直径，

∴AF⊥AP，∴∠FAP＝90°．1分

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC．

∴∠AEB＝∠FAP＝90°，

∴AF⊥BC．2分

∵AF是⊙O的直径，AF⊥BC，

∴BE＝CE．3分

∵AF⊥BC，BE＝CE，

∴AB＝AC．4分

（法二：

连接OP，则OP⊥AC，易证∠ABC＝

∠AOC＝∠AOP，∠AOP＝∠CAP．）

（法三：

易证∠AFC＋∠FAC＝∠FAC＋∠CAP＝90°，∠AFC＝∠CAP＝∠BCA．又∠ABC＝∠AFC，∴∠ABC＝∠BCA．）

（2）解：

连接FC，OC．

设OE＝x，则EF＝

－x．

∵AF是⊙O的直径，∴∠ACF＝90°．

∵AC＝AB＝4，AF＝2

，∴在Rt△ACF中，∠ACF＝90°，

∴CF＝

＝2．

∵在Rt△OEC中，∠OEC＝90°，∴CE2＝OC2－OE2．

∵在Rt△FEC中，∠FEC＝90°，∴CE2＝CF2－EF2．

∴OC2－OE2＝CF2－EF2.即

2－x2＝22－（

－x）2．

解得x＝

．

∴EC＝

＝

．6分

∴BC＝2EC＝

．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC＝

．

∵AD∥BC，∴∠PAC＝∠ACB．

∵PA，PC是是⊙O的切线，∴PA＝PC．∴∠PAC＝∠PCA．

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．∴∠PAC＝∠ABC，∠PCA＝∠ACB．

∴△PAC∽△ABC，∴

＝

．∴AP＝

·AB＝2

．

∴PD＝AP－AD＝

．8分

（法二：

易证△ABE∽△AOP．）

27．（本题9分）

（1）解：

∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴AB＝

＝

＝10．

∵DE⊥AB，∴∠EDA＝90°．

∵∠A＝∠A，∠EDA＝∠C＝90°，∴△AED∽△ABC，∴

＝

．

∴AE＝

·AB＝5．∴CE＝AC－AE＝8－5＝3．

∵DE⊥AB，∴∠DEF＝90°．∵∠EDA＝∠DEF＝90°，∴EF∥AB．

∴△CEF∽△ACB，∴

＝

．

∴EF＝

·AB＝

．3分

（2）解：

设AD＝x.

∵△AED∽△ABC，∴

＝

＝

．

∴DE＝

·BC＝

x，AE＝

·AB＝

x．

∴CE＝AC－AE＝8－

x．4分

∵△CEF∽△ACB，∴

＝

．

∴EF＝

·AB＝10－

x．5分

∴S△DEF＝

DE·EF＝－

x2＋

x＝－

（x－

）2＋6．

∴当x＝

时，S△DEF取最大值为6．

因此，△DEF的面积的最大值为6．7分

（3）

9分