小学奥数知识点梳理全大字.docx

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小学奥数知识点梳理全大字

学而思小学奥数知识点梳理

前言

小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建立尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的?

小学数学奥林匹克?

、中国少年报社主编的?

华杯赛教材?

、?

华杯赛集训指南?

以及学而思的?

寒假班系列教材?

和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系〔其第十七为解题方法聚集，可补充相应杂题〕，原那么上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。

1、把条件翻成数学表达〔图、式子等〕

2、代数的思想，翻不出来用字母代

3、不会做的时候怎么吧，能做啥做啥

概述

遇到让找出所有数…..,不要害怕，肯定不是很多，找规律，静下心；

代数思想、逆推思想、归纳思想、猜证思想、分类分步思想、数形结合思想，我们告诉快速提分策略。

不知该怎么办时，枚举找规律

一、计算

必考题目

一般需要速算巧算

要先观察，看准了再动手！

和、差、积的个位都只和每个数的个位有关

能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，实在不行来狠的〔数少或小的时候，有时也许可以硬算〕

数多或大时，硬算会出人命的，此时大都需要找规律。

1、四那么混合运算繁分数

1运算顺序：

2分数、小数混合运算技巧

一般而言：

1加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；

带分数的加减法常常整数和分数分开写；

2乘除运算中，统一以分数形式。

乘法变成假分数；

⑶带分数与假分数的互化

如果有大量的假可以化带，如果有大量的带，可以化假；

⑷繁分数的化简

（5）要考虑整体约分、连续约分的概念；

2、简便计算

⑴凑整思想

互补就加、尾同就减、配对凑整、借来还去

分组凑整：

〔1〕好多数，且中间有省略；〔2〕甚至可能打乱顺序，重组；〔3〕带着前面的符号

⑵基准数思想

⑶裂项与拆分

裂和：

目的：

两两相消；凑整

=

+

;

=

+

=

+

裂差：

目的：

两两相消

（1）分子全部一样，最简单形式为1，不是1提取公因数

（2）分母均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数首尾相接；

（3）分母上的几个因数间的差是一个定值；

分数拆分：

=

+

=

=+

m,n是10的约数就可以；选取m,n的比不同就可以分成不同的两个分数相加；这里有〔1,2〕〔2,5〕〔1,10〕〔1,5〕〔1,1〕

阶乘：

考试考到阶乘通常是除法和逆运算乘法，乘法往上5！

，想6,5！

×6=6！

除法考虑自己，想5，5！

÷5=4!

⑷提取公因数

公因数不会明白地告诉，需要用找出来

如何找？

用拆分，也就是乘不变的方法，目的是找公因数

*迎春杯特点：

一定会考一题，一般是凑整求和、提取共因数；考提取公因数的可能比拟大，但不会那么明显地给出公因数，需要拆分找出来；实在不会，低年级可以硬算。

⑸商不变性质

⑹改变运算顺序

1运算定律的综合运用：

交换率、结合率

2连减的性质

3连除的性质

4同级运算移项的性质：

搬家带符号，加减括号，前面是－、÷是一定要注意

5增减括号的性质

6变式提取公因数

形如：

（7）换元

（8）通项归纳

找规律，从简单情况入手

目的：

利用通项求解

解题步骤：

找最后一项，然后套公式〔通常别算出来，当找不出规律时，再考虑算出来〕

a.1或2步上10阶楼梯，有多上种上法；

b.几个圆或线或矩形吧平面分多少份

方法：

看多一个图形，多几个点，看多一个点把新的图形分成几个局部，就多几个局部

线和圆把平面分成多少份，第一条线有问题，其他恢复正常；

3、估算

求某式的整数局部：

扩缩法

4、比拟大小

根本方法

1通分

a.通分母

b.通分子

2跟“中介〞比，比方和1比

3利用倒数性质

假设

，那么c>b>a.。

形如：

，那么

。

4浓度法

是真分数，必有

>

;

是假分数，且a≠b，必有

<

;

5做差：

差与0比

6做商：

商与1比

做商还是做差，看题目条件

放缩法

求整数局部

构造调整：

以2的次方为标记点，划几个，董教师5年级下班9讲

>向左划括号

<向右划括号

两数：

差小积大

5、定义新运算

✓要理解新符号的运算规那么

〔普通题：

告诉你规那么，直接代入就好；牛题：

新运算需要推导出来，方法：

规律，通项归纳〕

✓理解运算顺序

没有特殊说明的话，〔1〕从左往右算，有括号先括号；〔2〕一个式子包含多个新符号，视这些新符号优先级一样

✓运算率别乱用；

6、特殊数列求和

运用相关公式：

①

②

③

④

⑤

⑥

⑦1+2+3+4…〔n-1〕+n+〔n-1〕+…4+3+2+1=n

（a+b）2=a2+2ab+b2

7、大数计算：

找规律，可以先用小数算算找规律；凑9，99，999……

9、重复数字：

4=324×1001001001

10、头同尾和十

〔1〕概念：

两位数×两位数中，十位数字一样，个位数字相加为十

结果：

积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×〔头+1〕

例如：

73×77=5621

〔2〕尾同头合十

概念：

两位数×两位数中，个位数字一样，十位数字相加为十

结果：

积的后两位=尾×尾；积从百位起前面的数=头×头+尾

例如：

78×38=2964

11、452=2025

12、7×11×13=1001

37×3=111

13、7的秘密：

1÷7=0.142857

142857×1

142857×2=285714

14、位值原理：

一个数可以拆成每一位上的数值×位值

二、数论

知识点小而多，需要记忆的东西多。

包括：

整除问题；整除特征（小升初常考容）；余数问题；奇偶问题；质数合数；约数倍数还有那个平方数的特征。

1、奇偶性问题

奇

奇=偶奇×奇=奇

奇

偶=奇奇×偶=偶

偶

偶=偶偶×偶=偶

两个数的和差奇偶性一样

连续乘法、除法，见偶得偶；

连续加法、减法，只数奇数的个数，奇数的个数是奇数，结果是奇；奇数的个数是偶数，结果是偶

2、位值原那么

形如：

=100a+10b+c

3、数的整除特征：

除法的封闭性

要不是下面这些特殊数，变成这些特殊数，可以变大、也可以变大。

末位：

〔2,5〕〔22,55〕〔23,53〕；

数段和：

〔3,9〕（99,33,11）（37,111,333,999）

数段差：

〔7,11,13〕

整除数

特征

2

末尾是0、2、4、6、8；也说明能被2整除的数，其个位数字只能是偶数；

3

各数位上数字的和是3的倍数

5

末尾是0或5

9

各数位上数字的和是9的倍数

11

奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数

4和25

末两位数是4〔或25〕的倍数

8和125

末三位数是8〔或125〕的倍数

7、11、13

末三位数与前几位数的差是7〔或11或13〕的倍数，偶数位与奇数位的差

99

从后往前，两位一段，各段之和是99的倍数，此数是99的倍数

4、整除性质

1如果c|a、c|b，那么c|（a

b）。

2如果bc|a，那么b|a，c|a。

3如果b|a，c|a，且〔b,c〕=1,那么bc|a。

4如果c|b,b|a,那么c|a.

5a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。

66672□□这样的用试除法；

7（）k÷〔K-1〕，假设〔a+b+c〕10=（K-1）10×（n）10，那么可整除，反之，余=〔余〕10；

5、带余除法=

一般地，如果a是整数，b是整数〔b≠0〕,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r

当r=0时，我们称a能被b整除。

当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商〔亦简称为商〕。

用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r

6.唯一分解定理

任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即

n=p1

×p2

×...×pk

7、约数个数与约数和定理

设自然数n的质因子分解式如n=p1

×p2

×...×pk

那么：

n的约数个数：

d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）

证明：

关键是乘法原理

n的所有约数和：

〔1+P1+P1

+…p1

〕〔1+P2+P2

+…p2

〕…〔1+Pk+Pk

+…pk

〕

约数积：

约数是成对出现的

例：

12的约数积，1X12=12，3X4=12，2X6=12123

8、两数的约数也是两数差的约数；

〔a,b〕是a,b;a-b;a+b;[a,b]的约数；

9、同余定理

①同余定义：

假设两个整数a，b被自然数m除有一样的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）

②假设两个数a，b除以同一个数c得到的余数一样，那么a，b的差一定能被c整除。

③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

余数一样：

减同余

补数一样：

加同补

10．弃九法

〔1〕自然数N和它的数字和除以9同余；

〔2〕在其他进制里同理：

如7进制里，数N和它的各个数字和除以6同余

证明：

位值法

11．完全平方数性质

①平方差：

A

-B

=〔A+B〕〔A-B〕，其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。

②约数：

约数个数为奇数个的是完全平方数。

约数个数为3的是质数的平方。

③质因数分解：

把数字分解，使他满足积是平方数。

④平方和。

322=1024是第一个四位数

992=9801四位数里最大的四位数

332=四位数里第1个奇数

⑥一个完全平方数的个位数的个位数字一定是0,1,4,5,6,9

⑦完全平方数除以4的性质最重要，偶数除以4余0，奇数除以4余1，除以4余3一定不是完全平方数；

12．子定理〔中国剩余定理〕见下

13．余数应用

求某数、某式的末一位、二位、三位……是几？

〔1〕末一位，相当于求除10=2×5

末二位，相当于求除100=4×25

末三位，相当于求除1000=8×125

〔2〕以大化小

〔3〕找余数1：

费马小定理：

如a÷p=……（p-1）、P为质数；

那么a2÷p=……1

如

（1）p是质数，且a和p互质

那么：

那么ap-1÷p=……1

14．辗转相除法---根本在于辗转相减

例：

求20102948的最大公约数

2948-2010=938

2010-938=1072

1072-938=134

938-134=804

804-134=670

。

。

。

134-134=0

所以最大公约数是134。

15.质数

〔1〕质数有无穷个，质数的分布有渐稀性，

〔2〕特别注意：

质数中2是唯一偶数〔奇偶性〕；5〔唯一一个末尾是5的质数〕；

3两次余数，

〔3〕如果两个数互质，这两个数的和与其中任意一个数互质，差也是；

100以的质数：

101、103、107、109，

4位最小的质数：

1009

1003=17X59

1007=19X53

〔4〕判断质数的方法

〔5〕制造连续合数

〔

16．求最大公因数，最小共倍数

〔1〕分解质因数

〔2〕短除法

〔3〕分数：

分子求正面，分母求相反；

〔4〕a×b=（a,b）×[a,b]

17．数论解题的常用方法

枚举、归纳、反证、构造、配对、估计

中国古代求解一次同余式组〔见同余〕的方法。

是数论中一个重要定理。

又称中国剩余定理。

　　公元前后的?

子算经?

中有“物不知数〞问题：

“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余

三，七七数之余二，问物几何？

〞答为“23〞。

也就是求同余式组x≡2〔mod3〕，x≡3〔mod5〕，x≡2〔mod7〕〔式中a≡b〔modm〕表示m整除a－b〕的正整数解。

明朝程大位用歌谣给出了该题的解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆月正半，除百零五便得知。

〞即解为x≡2×70＋3×21＋2×15≡233≡23（mod105〕。

此定理的一般形式是设m=m1，…，mk为两两互素的正整数，m＝m1，…mk，m＝miMi，i＝1，2，…，k。

那么同余式组x≡b1（modm1），…，x≡bk（modmk）的解为x≡M'1M1b1＋…＋M'kMkbk〔modm〕。

式中M'iMi≡1〔modmi〕，i＝1，2，…，k。

直至18世纪C.F.高斯才给出这一定理。

子定理对近代数学如环论，赋值论都有重要影响。

　　解法中的三个关键数70，21，15，有何妙用，有何性质呢?

首先70是3除余1而5与7都除得尽的数，所以70a是3除余a,而5与7都除得尽的数，21是5除余1，而3与7都除得尽的数，所以21b是5除余b，而3与7除得尽的数。

同理，15c是7除余c，3与5除得尽的数，总加起来70a+21b+15c是3除余a，5除余b，7除余c的数，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，这数加减105（105=3*5*7）仍有这样性质，可以屡次减去105而得到最小的正数解。

　　附：

如70，其实是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。

　　子问题的解法，以现代的说法，是找出三个关键数70，21，15。

解法的意思就是用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，然后总加起来，除以105的余数就是答案。

　　即题目的答案为70×2+21×3+15×2

　　=140+63+30

　　=233

　　233-2×105=23

　　公式：

70a+21b+15c-105n

〔中国剩余定理CRT〕设m1,m2,...,mk是两两互素的正整数，即gcd（mi,mj）=1,i≠j,i,j=1,2,...,k

　　那么同余方程组：

　　x≡b1modm1

　　x≡b2modm2

　　...

　　x≡bkmodmk

　　模[m1,m2,...,mk]有唯一解，即在[m1,m2,...,mk]的意义下，存在唯一的x,满足：

　　x≡bimod[m1,m2,...,mk],i=1,2,...,k

　　中国剩余定理〞算理及其应用：

　　为什么这样解呢？

因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。

21是3和7的公倍数，且除以5余1。

15是3和5的公倍数，且除以7余1。

〔任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。

〕把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。

后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进展解答。

例1：

一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？

题中3、4、5三个数两两互质。

那么〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：

一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？

题中3、7、8三个数两两互质。

那么〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：

一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

那么〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

　　例4：

有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？

〔幸福123教师问的题目〕题中9、7、5三个数两两互质。

那么〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

　　例5：

有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？

题中9、7、5三个数两两互质。

那么〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

〔例5与例4的除数一样，那么各个余数要乘的“数〞也分别一样，所不同的就是最后两步。

〕

关于“中国剩余定理〞类型题目的另外解法“中国剩余定理〞解的题目其实就是“余数问题〞，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。

不懂论坛上有没人发过。

小学奥赛考试时学习过，也用过，现在把方法写出来，如果懂的也别笑我，呵呵。

例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？

解法：

题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4。

看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。

下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。

不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。

这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足“被6除余4，被7除余4”的条件。

46＋42＝8846＋42＋42＝13046＋42＋42＋42＝172这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？

解法：

题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。

没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法〞，就是从“除7余4的数〞中找出符合“除5余3的数〞，就是再7上一直加4，直到所得的数除5余3。

得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”4＋7＝1111＋7＝1818＋35＝53这种方法也可以解“中国剩余定理〞解的题目。

比“中国剩余定理〞更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。

大家可以试下.所以：

一共有5个187367547727907

18、最值问题

考虑平均化和极端化

两数和一定，差小积大；

两数积一定，差小和小

三、几何图形

几何出题特点及趋势：

淡化几何几大模型的直接考察

勾股定理频繁现身几何题中

方程〔组〕作用非比寻常

欧拉公式=顶点+区域=边数+维数–1

1、平面图形

⑴多边形的角和

N边形的角和=（N-2）×180°

⑵等积变形〔位移、割补〕

1三角形等底等高的三角形

2平行线等底等高的三角形

3公共局部的传递性

4极值原理〔变与不变〕

⑶三角形面积与底的正比关系

S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4〔所谓蝴蝶模型〕

⑷相似三角形性质〔份数、比例〕

①

;S1︰S2=a2︰A2

②〔即所谓梯形蝴蝶模型〕

S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=〔a+b〕2

⑸燕尾定理

S△ABG：

S△AGC＝S△BGE：

S△GEC＝BE：

EC；

S△BGA：

S△BGC＝S△AGF：

S△GFC＝AF：

FC；

S△AGC：

S△BCG＝S△ADG：

S△DGB＝AD：

DB；

（6）共角定理

（7）差不变原理

知5-2=3，那么圆点比方点多3。

（8）隐含条件的等价代换

例如弦图中长短边长的关系。

（9）组合图形的思考方法

1化整为零

2先补后去

3正反结合

④有时要求的无法求，可以用反面的方法，求外围然后减去

求面积，直接求

间接求：

整体—局部；总×

不好求，放到一个大的图形中去求，方法:

这个大的图形的面积好求，或者这个大的图形可以放到再一个大的图形中求，而这个更大的图形的面积好求

容斥法求解

（10）长方形

a×c=b×da＋c=b＋d

〔11〕正方形：

说到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然

弦图：

看到斜着放的正方形，就应该想到弦图

□□

〔12〕海伦公式

三角形的三边长分别为：

a、b、c;p为半周长=〔a+b+c〕/2

那么三角形的面积S=

〔13〕如果六边形对边相等，相隔一个顶点相连成的三角形的面积是六边形面积的一半

〔14〕当求一局部比另一局部的面积大多少时，除了直接求出每局部相减外，应该可以考虑差不变得方法；

2、立体图形：

长方体、正方体

⑴规那么立体图形的外表积和体积公式

几个面，几个棱等要记清；

圆柱体的体积和外表积

圆锥体的体积和外表积

三棱柱的体积和外表积

⑵不规那么立体图形的外表积

整体观照法

⑶体积的等积变形

①水中浸放物体：

V升水=V物

要先判断是否水上升超过了侵入的物体，然后再算升高了多少；

②测啤酒瓶容积：

V=V空气+V水

⑷三视图与展开图

最短线路与展开图形状问题

求堆积体外表积的常见方法——三视图法，有些看不见的图要额外加上

求堆积体体积的常见方法——切片法

⑸染色问题〔含染色再切块〕

几面染色的块数与“芯〞、棱长、顶点、面数的关系。

（6）打洞题目

3、周长

〔1〕规那么图形：

〔2〕不规那么图形：

平移，注意别有漏的，必要的时候要分析线段之间的关系、要加加减减，

4、图形计数：

容易数不全，方法：

会分类

特别的：

〔6+5+4+3+2+1〕×〔4+3+2+1〕

5、图形分割和拼接

〔1〕割：

从数量和对称点入手〔特别是当要求面积一样时〕

〔2〕拼：

看每条边的长度，一样长度的往一起拼，当然有时候可以是一条长边等于多条短边

〔3〕剪、拼：

前后面积相等