121命题与量词新教材教师用书.docx

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121命题与量词新教材教师用书

1.2.1　命题与量词

（教师独具内容）

课程标准：

通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义，并会用数学语言表示全称量词命题和存在量词命题，并能判断其真假．

教学重点：

全称量词与存在量词的含义，含有量词的命题的构成以及全称量词命题和存在量词命题真假的判定．

教学难点：

对全称量词命题与存在量词命题真假的判定.

【情境导学】（教师独具内容）

观察下列语句：

（1）2x是偶数；

（2）对于任意一个x∈Z,2x都是偶数；

（3）对所有的x∈R，x>3；

（4）存在一个x0∈R，使2x0＋2＝10；

（5）至少有一个x0∈R，使x0能被5和8整除．

想一想

1．以上语句是命题吗？

提示：

（1）不是命题，

（2）（3）（4）（5）是命题．

2．

（2）（3）强调的是什么？

提示：

（2）强调“任意一个x∈Z”，（3）强调“所有的x∈R”．

3．（4）（5）有何特点？

提示：

两个命题中变量x0取值有限制，即“存在一个x0∈R”，“至少有一个x0∈R”．

4．你能举出具有

（2）（3）（4）（5）形式的命题吗？

提示：

①所有的三角形都有外接圆．

②存在x0∈R，使x

－2x0＋2>0成立．

③有些数能被5整除．

【知识导学】

知识点一　命题及相关概念

可供真假判断的陈述语句就是命题，而且，

判断为真的语句称为真命题，

判断为假的语句称为假命题．

知识点二全称量词和全称量词命题

（1）一般地，“任意”“所有”“每一个”在陈述中表示所述事物的全体，称为

全称量词，用符号“

∀”表示．

（2）全称量词命题就是形如“对集合M中的所有元素x，r（x）”的命题，可简记为∀x∈M，r（x）．

知识点三存在量词和存在量词命题

（1）“存在”“有”“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分，称为

存在量词，用符号“

∃”表示．

（2）存在量词命题就是形如“存在集合M中的元素x，s（x）”的命题，可简记为∃x∈M，s（x）．

【新知拓展】

1．对全称量词和全称量词命题的理解

（1）全称量词往往有一定的限制范围，该范围直接影响着全称量词命题的真假．若对于给定范围x∈M内的一切值，都使r（x）成立，则全称量词命题为真命题．若能举出反例，则为假命题．

（2）有些全称量词命题在语言叙述上省略了全称量词，理解时需把它补充出来．例如，命题“平行四边形的对角线互相平分”应理解为“所有平行四边形的对角线都互相平分”．

2．对存在量词和存在量词命题的理解

存在量词也有一定的限制范围，该范围直接影响着存在量词命题的真假．若对于给定的集合M，至少存在一个x∈M，使s（x）成立，则存在量词命题为真命题．若不存在，则为假命题．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）“这盆花长得太好了！

”是命题．（　　）

（2）全称量词的含义是“任意性”，存在量词的含义是“存在性”．（　　）

（3）全称量词命题一定含有全称量词，存在量词命题一定含有存在量词．（　　）

（4）在全称量词命题和存在量词命题中，量词都可以省略．（　　）

（5）“四边形的内角和是360°”是全称量词命题．（　　）

答案　

（1）×　

（2）√　（3）×　（4）×　（5）√

2．做一做（请把正确的答案写在横线上）

（1）命题“有些长方形是正方形”含有的量词是________，该量词是________量词（填“全称”或“存在”）．

（2）“负数没有平方根”是________命题（填“全称量词”或“存在量词”）．

（3）若命题“∀x∈（3，＋∞），x>a”是真命题，则a的取值范围是________．

答案　

（1）有些　存在　

（2）全称量词　（3）（－∞，3]

题型一命题的判断

例1　下列语句为命题的是（　　）

A．x－1＝0B．2＋3＝8

C．你会说英语吗？

D．这是一棵大树

[解析]　A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．

[答案]　B

金版点睛

判断一个语句是不是命题的三个关键点

（1）一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．

（2）命题的语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．

（3）对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．

　下列语句为命题的有________（填序号）．

①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22019是一个很大的数；

④4是集合{2,3,4}中的元素；

⑤作△ABC≌△A′B′C′.

答案　①④

解析　①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.

题型二全称量词命题与存在量词命题的判断

例2　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并用符号“∀”或“∃”表示下列命题．

（1）自然数的平方大于或等于零；

（2）存在实数x，满足x2≥2；

（3）有些平行四边形的对角线不互相垂直；

（4）存在实数a，使函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．

[解]　

（1）是全称量词命题，表示为∀x∈N，x2≥0.

（2）是存在量词命题，表示为∃x∈R，x2≥2.

（3）是存在量词命题，表示为∃四边形是平行四边形，它的对角线不互相垂直．

（4）是存在量词命题，表示为∃a∈R，函数y＝ax＋b的值随x的增大而增大．

金版点睛

判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的步骤

（1）判断语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称量词命题或存在量词命题．

（2）若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称量词命题，含有存在量词的命题是存在量词命题．

（3）当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．

　判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题．

（1）凸多边形的外角和等于360°；

（2）矩形都是正方形；

（3）有些素数的和仍是素数；

（4）若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．

解　

（1）可以改写为：

所有的凸多边形的外角和都等于360°，故为全称量词命题．

（2）可以改写为：

所有矩形都是正方形，故为全称量词命题．

（3）含有存在量词“有些”，故为存在量词命题．

（4）若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题.

题型三全称量词命题与存在量词命题的真假判断

例3　指出下列命题中，哪些是全称量词命题，哪些是存在量词命题，并判断其真假．

（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）都对应一点；

（2）存在一个实数，它的绝对值不是正数；

（3）对任意实数a，b，若a

（4）存在一个实数x，使得x2＋2x＋3＝0.

[解]　

（1）（3）是全称量词命题，

（2）（4）是存在量词命题．

（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对（x，y）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以该命题是真命题．

（2）存在一个实数零，它的绝对值不是正数，所以该命题是真命题．

（3）存在a＝－5，b＝－3，a（－3）2，所以该命题是假命题．

（4）由于x∈R，则x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使得x2＋2x＋3＝0的实数x不存在，所以该命题是假命题．

金版点睛

全称量词命题与存在量词命题真假的判断方法

（1）要判定全称量词命题“∀x∈M，p（x）”是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称量词命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p（x0）不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）．

（2）判断存在性命题“∃x∈M，p（x）”的真假性的关键是探究集合M中x0的存在性，若找到一个元素x0∈M，使p（x0）成立，则该命题是真命题；若不存在x0∈M，使p（x0）成立，则该命题是假命题．

　判断下列命题的真假．

（1）对每一个无理数x，x2也是无理数；

（2）末位是零的整数，可以被5整除；

（3）有些整数只有两个正因数；

（4）某些平行四边形是菱形．

解　

（1）因为

是无理数，但（

）2＝2是有理数，所以全称量词命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

（2）因为每一个末位是零的整数，都能被5整除，所以全称量词命题“末位是零的整数，可以被5整除”是真命题．

（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以存在量词命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

（4）由于存在邻边相等的平行四边形是菱形，所以存在量词命题“某些平行四边形是菱形”是真命题.

题型四含有量词的命题的应用

例4　已知命题“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”为真命题，求实数m的取值范围．

[解]　∵“∀x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0在x∈[1,2]恒成立．

又y＝x2在[1,2]上单调递增，

∴y＝x2－m的最小值为1－m.

∴1－m≥0.解得m≤1.

∴实数m的取值范围是（－∞，1]．

[条件探究]　若把本例中的“∀”改为“∃”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

解　∵“∃x∈[1,2]，x2－m≥0”成立，

∴x2－m≥0在x∈[1,2]有解．

又函数y＝x2在[1,2]上单调递增，

∴函数y＝x2在[1,2]上的最大值为22＝4.

∴4－m≥0，即m≤4.

∴实数m的取值范围是（－∞，4]．

金版点睛

应用全称量词命题与存在量词命题求参数范围的两类题型

（1）全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题，全称量词命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质；也可以根据函数等数学知识来解决．

（2）存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．

（1）是否存在实数m，使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；

（2）若存在一个实数x，使不等式m－（x2－2x＋5）>0成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）不等式m＋x2－2x＋5>0可化为

m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.

要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．

故存在实数m使不等式m＋x2－2x＋5>0对于任意x∈R恒成立，此时需m>－4.

（2）不等式m－（x2－2x＋5）>0可化为m>x2－2x＋5.令t＝x2－2x＋5，若存在一个实数x使不等式m>x2－2x＋5成立，只需m>tmin.

又t＝（x－1）2＋4，∴tmin＝4，∴m>4.

所以所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

1．下列语句中命题的个数为（　　）

①{0}∈N；②他长得很高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.

A．0B．1

C．2D．3

答案　C

解析　①④是命题，②③不是命题．故选C.

2．下列命题中，不是全称量词命题的是（　　）

A．任何一个实数乘0都等于0

B．自然数都是正整数

C．对任意x∈Z,2x＋1是奇数

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D是存在量词命题．

3．下列命题中，存在量词命题的个数是（　　）

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．0B．1

C．2D．3

答案　B

解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称量词命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也能被3整除”，是全称量词命题；命题④是全称量词命题．故有1个存在量词命题．

4．对任意x>8，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　a≤8

解析　∵对任意x>8，x>a恒成立，∴大于8的数恒大于a，∴a≤8.

5．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题？

并判断其真假．

（1）∃x0∈R，|x0|＋2≤0；

（2）存在一个实数，使等式x2＋x＋8＝0成立；

（3）每个二次函数的图像都与x轴相交．

解　

（1）存在量词命题．

∵∀x∈R，|x|≥0，

∴|x|＋2≥2，不存在x0∈R，

使|x0|＋2≤0.故命题为假命题．

（2）存在量词命题．

∵x2＋x＋8＝

2＋

>0，∴命题为假命题．

（3）全称量词命题，假命题．

如存在二次函数y＝x2＋x＋1的图像与x轴不相交．

A级：

“四基”巩固训练

一、选择题

1．下列语句中，命题的个数是（　　）

①空集是任何集合的子集；②求证9是无理数；③若x∈R，则x2－x＋1＝0；④面积相等的三角形是全等三角形．

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　①③④是命题，②不是命题．故选C.

2．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；②每一个中学生都要接受爱国主义教育；③有人既能写小说，也能搞发明创造；④任何一个数除以0，都等于0.

其中全称量词命题的个数是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

答案　C

解析　①②④都是全称量词命题，③是存在量词命题．故选C.

3．下列命题是存在量词命题的是（　　）

A．一次函数都是单调函数

B．对任意x∈R，x2＋x＋1<0

C．存在实数大于或者等于3

D．菱形的对角线互相垂直

答案　C

解析　A，B，D中的命题都是全称量词命题，C中的命题是存在量词命题．故选C.

4．下列是全称量词命题并且是真命题的是（　　）

A．∀x∈R，x2>0B．∀x，y∈R，x2＋y2>0

C．∀x∈Q，x2∈QD．∃x∈Z，x2>1

答案　C

解析　首先D项是存在量词命题，不符合要求；A项不是真命题，因为当x＝0时，x2＝0；B项也不是真命题，因为当x＝y＝0时，x2＋y2＝0；只有C项是真命题，同时也是全称量词命题．故选C.

5．已知集合A＝{y|y＝x2＋2}，集合B＝{x|x>3}，则下列命题中真命题的个数是（　　）

①∃m∈A，m∉B；②∃m∈B，m∉A；③∀m∈A，m∈B；④∀m∈B，m∈A.

A．4B．3

C．2D．1

答案　C

解析　因为A＝{y|y＝x2＋2}＝{y|y≥2}，B＝{x|x>3}，所以B是A的真子集，所以①④为真命题，②③为假命题，所以真命题的个数为2.故选C.

二、填空题

6．“任意一个不大于0的数的立方不大于0”用“∃”或“∀”符号表示为__________________________．

答案　∀x≤0，x3≤0

解析　命题“任意一个不大于0的数的立方不大于0”，表示只要小于等于0的数，它的立方就小于等于0，用“∀”符号可以表示为∀x≤0，x3≤0.

7．下列命题：

①偶数都可以被2整除；②角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；③空集是任何一个非空集合的真子集；④有的实数是无限不循环小数；⑤有的菱形是正方形；⑥存在三角形其内角和大于180°.既是全称量词命题又是真命题的是________，既是存在量词命题又是真命题的是________．（填上所有满足要求的序号）

答案　①②③　④⑤

解析　①②③都是全称量词命题，且都为真命题，④⑤⑥都是存在量词命题，但其中只有④⑤是真命题．

8．已知命题p：

∀x∈R，x2＋2x－a>0.若p为真命题，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，－1）

解析　由题意可得a

三、解答题

9．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．

（1）存在x，使得x－2≤0；

（2）矩形的对角线互相垂直平分；

（3）三角形的两边之和大于第三边；

（4）有些质数是奇数．

解　

（1）存在量词命题．如x＝2时，x－2＝0成立，所以是真命题．

（2）全称量词命题．因为邻边不相等的矩形的对角线不互相垂直，所以全称量词命题“矩形的对角线互相垂直平分”是假命题．

（3）全称量词命题．因为三角形的两边之和大于第三边，所以全称量词命题“三角形的两边之和大于第三边”是真命题．

（4）存在量词命题．因为3是质数，3也是奇数，所以存在量词命题“有些质数是奇数”是真命题．

10．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假．

（1）所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立；

（2）对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解；

（3）一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立；

（4）所有的有理数x都能使

x2＋

x＋1是有理数．

解　

（1）∀x∈R，x2＋x＋1>0；真命题．

（2）∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解；假命题．

如当a＝0，b＝0时，该方程的解有无数个．

（3）∃x，y∈Z,3x－2y＝10；真命题．

（4）∀x∈Q，

x2＋

x＋1是有理数；真命题．

B级：

“四能”提升训练

1．已知命题p：

“∃x∈[－1,1]，2x2－a≥0”，命题q：

“∃x∈R，x2＋2x＋2－a＝0”，若命题p和命题q都是真命题，求实数a的取值范围．

解　若命题p为真命题，即∃x∈[－1,1]，使a≤2x2成立，即a小于2x2的最大值，所以a≤2.

若命题q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋2－a＝0有实根．

所以Δ＝4－4×1×（2－a）≥0.解得a≥1.所以实数a的取值范围为[1,2]．

2．若x∈R，函数y＝ax2＋2ax＋3＋a，且y≥0恒成立，求实数a的取值范围．

解　若a＝0，则y＝3>0，符合题意；

若a≠0，则y＝ax2＋2ax＋3＋a是一元二次函数，

ax2＋2ax＋3＋a≥0恒成立，

只需

即

解得a>0.

综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥0}．