一次函数图像的综合大题.docx

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一次函数图像的综合大题

一次函数图像的综合大题

适用学科

初中数学

适用年级

初中二年级

适用区域

全国

课时时长（分钟）

60

知识点

一次函数的图像和性质；一次函数的应用；一次函数综合。

教学目标

1.理解一次函数的概念。

2.理解一次函数及其图象的有关性质。

3.在解题时能灵活运用一次函数的性质。

4.能根据确定的信息求出一次函数表达式。

教学重点

如何根据题目的意思去观察一次函数图像。

教学难点

在观察图像的同时能够分清楚图像上各个转折点和含义以及一次函数各字母的含义。

教学过程

1、课堂导入

一次函数知识是每年中考的重点知识，是每卷必考的主要容。

本知识点主要考查一次函数的图象、性质及应用，这些知识能考查考生综合能力、解决实际问题的能力。

因此，一次函数的实际应用是中考的热点，和几何、方程所组成的综合题是中考的热点问题。

二、复习预习

在解决一次函数问题时，需要我们具备的一些能力如下

①会画一次函数的图像，并掌握其性质。

②会根据已知条件，利用待定系数法确定一次函数的解析式。

③能用一次函数解决实际问题。

④考察一次函数与二元一次方程组，一元一次不等式的关系。

突破方法：

①正确理解掌握一次函数的概念，图像和性质。

②运用数学结合的思想解与一次函数图像有关的问题。

③掌握用待定系数法球一次函数解析式。

④做一些综合题的训练，提高分析问题的能力。

三、知识讲解

考点1函数性质

1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k.

即：

y=kx+b（k，b为常数，k≠0），∵当x增加m，k（x+m）+b=y+km，km/m=k。

　2.当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为（0，b）。

　3当b=0时（即y=kx），一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。

考点2函数表达式

当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合；　

当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行；　　

当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交；　　

当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。

若两个变量x,y间的关系式可以表示成Y=KX+b（k,b为常数，k不等于0）则称y是x的一次函数

考点3k，b与函数图像所在象限

y=kx时（即b等于0，y与x成正比例）：

　当k>0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；　　

当k<0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。

y=kx+b时：

当k>0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、三象限；　　

当k>0,b<0,这时此函数的图象经过第一、三、四象限；　　

当k<0,b>0,这时此函数的图象经过第一、二、四象限；　　

当k<0,b<0,这时此函数的图象经过第二、三、四象限；　　

当b>0时，直线必通过第一、二象限；

四、例题精析

例1如图，直线l1的解析表达式为：

y=﹣3x+3，且l1与x轴交于点D，直线l2经过点A，B，直线l1，l2交于点C．

（1）求直线l2的解析表达式；

（2）求△ADC的面积；

（3）在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，求出点P的坐标；

（4）若点H为坐标平面任意一点，在坐标平面是否存在这样的点H，使以A、D、C、H为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

  解：

（1）设直线l2的解析表达式为y=kx+b，

由图象知：

x=4，y=0；x=3，，∴，∴，

∴直线l2的解析表达式为；

（2）由y=﹣3x+3，令y=0，得﹣3x+3=0，∴x=1，∴D（1，0）；

由，解得，∴C（2，﹣3），

∵AD=3，∴S△ADC=×3×|﹣3|=；

（3）△ADP与△ADC底边都是AD，面积相等所以高相等，

ADC高就是C到AD的距离，即C纵坐标的绝对值=|﹣3|=3，

则P到AB距离=3，∴P纵坐标的绝对值=3，点P不是点C，∴点P纵坐标是3，

∵y=1.5x﹣6，y=3，∴1.5x﹣6=3x=6，

所以点P的坐标为（6，3）；（4）存在；

（3，3）（5，﹣3）（﹣1，﹣3）

【解析】

（1）设直线l2的解析式是y=kx+b（k≠0）．将点A、B的坐标代入该解析式来求即可；

（2）根据题设知直线l1的图象经过点（1，0）、（0，3）．所以利用待定系数法即可求直线l1的解析式；由此可以求

得点C、D的坐标；最后由三角形的面积公式求解；

（3）根据直线l2的解析式y=

x-6可设点P（x，

x-6）；然后由三角形的面积公式列出关于x的方程，通过解方程

可以求得点P的坐标．

例2如图，直线

和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（-2，0）；

（1）试说明△ABC是等腰三角形；

（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度，当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S． 

①求S与t的函数关系式；

②设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？

若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由； 

【答案】

解：

（1）直线

与x轴的交点为B（3，0）、与y轴的交点C（0，4）；Rt△BOC中，OB＝3，OC＝4，所以BC＝5；点A的坐标是（-2，0），所以BA＝5；因此BC＝BA，所以△ABC是等腰三角形；

（2）①如图1，图2，过点N作NH⊥AB，垂足为H； NH∥OC，△BNH∽△BCO，

所以； 如图1，当M在AO上时，即0＜t≤2，OM＝2－t，此时 ； 

如图2，当M在OB上时，即2＜t≤5，OM＝t－2，此时 ；

 ②把S＝4代入，得；解得，（舍去负值）；因此，当点M在线段OB

上运动时，存在S＝4的情形，此时；

【解析】

（1）求出x=0时y的值，求出y=0时x的值，求出B、C的坐标，根据勾股定理求出BC、AC，求出BA;

（2）①过N作NH⊥x轴于H，推出当t=5秒时，同时到达终点，根据三角形的面积公式得出△MON的面积；

②根据题意，把S＝4代入即可；

例3如图1，已知直线y=2x+2与y轴、x轴分别交于A、B两点，以B为直角顶点在第二象限作等腰Rt△ABC 

（1）求点C的坐标，并求出直线AC的关系式．

（2）如图2，直线CB交y轴于E，在直线CB上取一点D，连接AD，若AD=AC，求证：

BE=DE．

（3）如图3，在

（1）的条件下，直线AC交x轴于M，P（，k）是线段BC上一点，在线段BM上是否存在一点N，使直线PN平分△BCM的面积？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：

（1）如图1，作CQ⊥x轴，垂足为Q，

∵∠OBA+∠OAB=90°，∠OBA+∠QBC=90°，

∴∠OAB=∠QBC，

又∵AB=BC，∠AOB=∠Q=90°，

∴△ABO≌△BCQ，

∴BQ=AO=2，OQ=BQ+BO=3，CQ=OB=1，

∴C（﹣3，1），

由A（0，2），C（﹣3，1）可知，直线AC：

y=x+2；

（2）如图2，作CH⊥x轴于H，DF⊥x轴于F，DG⊥y轴于G，

∵AC=AD，AB⊥CB，

∴BC=BD，

∴△BCH≌△BDF，

∴BF=BH=2，

∴OF=OB=1，

∴DG=OB，

∴△BOE≌△DGE，

∴BE=DE；

（3）如图3，直线BC：

y=﹣x﹣，P（，k）是线段BC上一点，

∴P（﹣，），由y=x+2知M（﹣6，0），

∴BM=5，则S△BCM=．假设存在点N使直线PN平分△BCM的面积，

则BN×=×，

∴BN=，ON=，

∵BN＜BM，

∴点N在线段BM上，

∴N（﹣，0）．

【解析】

本题考查了一次函数的综合运用．关键是根据等腰直角三角形的特殊性证明全等三角形，利用全等三角形的性质求解．

课堂小结

理解一次函数及其图象的有关性质。

在解题时能灵活运用一次函数的性质。

能根据确定的信息求出一次函数表达式。