概率论与数理统计13古典概型与几何概型.docx
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概率论与数理统计13古典概型与几何概型
§13古典概型与几何概型
1.定义
⑴试验的样本空间只包含有限个元素；
（2）试验中每个基本事件发主的可能性相同具有以上两个特点的邂称为等可能概型或古典概型.
2.古典概型中事件概率的计算公式
设试验£的样本空间由《个样本点构成，A为E的任意一个事件，且包含&个样本点，则事件M发生的概率为：
称此为概率的古典定义.
1=1
例1将一枚硬币抛掷三次
（1）设事件合为“恰有一次出现正面”，求P（4J・
（2）设事件％为“至少有一次出现正面”，求P（A,）.Q
解
（1）设H为出现正面M为出现反面电多则S=[HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}.
而A严{HTT,THT,TTH}・得PG4J=38・
（2）A2={HHH,HHr,HTH,THH,HTT,THT‘TTH}・因此P（/42）=78.见尸11例7
对于比较简单的试验,可以直接写出样本空间和审件,然后数出各自所含样本点的个数即可.
对于较复杂的试验,-般不再将样本空间中的元素——列出,而只需利用排列.组合及乘法原理、加法原理的知识分别求出样本空间中与与事件中包含的基本事件的个数,再由公式即可求出的概率.
排列.姐合基本公式
每次取一个,
n-Ar+1
ni
一kl~kl（n-k）l
例2设有5件产品，其中3件是正品，2件是次品•今从中抽取两次，每次丄件，取出后不再放回•试求：
（1）
设4=｛两件都是正品｝,〃=｛一件是正品一件是次品｝£=｛至少有一件是正品｝,贝U：
基本事件总I数死=巧=5x4=20;
而A所包含的基本事件数匕=号=6;
B所包含的基本事件数kH=P；P；+P；P；=l匕
所以，由公式可求得:
C所包含的基本事件数忍.=尺卅+胃尺+笃2=12+6=1&F（4）=^=—=—;
k123
咖今=影1
«2010
P（C）=d』丄.
n2010
—尸2O
/>（C）=1-P（C）=!
-』=—•2010本例中（3）有更简单的求法.
本例中样本空间可以作不同的设计（见P12）思考:
改为放回抽样,绍求又如FFlPe
1.随机抽球问题
例3设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红一白的概率.
解：
设A=｛取到一红一白｝
解法一：
n=C^亿
答：
取到一红一白的概率为3/5・
解法二：
n=P；=5x4,=尺覺+E尺=3x2+2x3.
5x45
在实际中,产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题.我们选择抽型的目的在于便问题的数学意义更加突出,而不必过多地交代实际背景•
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽“个球，则这个球中恰有R个白球的概率是-C爲gw
例4设有N件产品,其中有M件次品•今从中任取n件,问其中恰有k仏＜M｝件次品的概率是多少？
解在N件产品中抽取死件的所有可能取法共有种，
在W件产品中抽取《件，其中恰有件次品的取法共有g],种，
6
超几何分布的概率公式
于是所求的概率为P=“N"
2、随机分球（分房）问题
例5将3个球随机的放入3个盒子中去，问:
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
解：
设A=｛每盒恰有一球｝,B=｛空一盒｝
（1）n=3\=3!
P（A）=#.•
1
2
3
◄
►
e
（2）解法一：
（
P（B）=1-P｛空两盒｝-卩｛全＜^｝,322
=]———=—
3393
（2）解法二
—2=2•••
3'3
（2）解法三
3x（2"-2）2
__=-
3'3
答:
每盒恰有一球的概率为2/9;空一盒的概率是2/3・
一般地，把死个球随机地分配到N个盒子中去（nMN）,则每盒至多有一球的概率是：
卩=生
N"
类似问题:
分房问题、生日问题等.
'）
n202330405（）64100
P\0.4110.507
3、随机取数问题
例6从1到2UU这2UU个自然数中任取一个,
⑴求取到的数
⑵求取到的数
⑶求取到的数
MMBiBHrW,III“riBn
例7在K2000的整数中随机地取一个数,问取到的整数既不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少？
解设A为事件“取到的数能被6整除”"为事件“取到的数能被8整除”,则所求概率为（AB）・
P（AB）=P（A\jB}=1-P（AU〃）
=1-{P（A）+P（B）一P{AB）}.
2000333
因为333<—<334,所以"A）=識,
.工2000心俎ED'250
由于8=250,故得円旳=20（）0-
由于83<2°°°<84,得P{AB）=.
242（）00
于是所求概率为
P（AH）=1-{P（A）+P（“）-P（A*）}
333250_83）=3
2000十2000一2000丿"4
3、分组问题療
例830名学生中有3名运动员，将这30名学生平均分成3组，求；
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
解：
设A=｛每组有一名运动员｝;B=｛3名运动员集中在
一组｝„_厂10厂10厂10
30人
/|\
（1）1
（2）1（3）
U—^30^2（）910
30!
20!
——-X—X1
I0!
x20!
lOixlO!
30!
~10!
10!
10!
一般地，把刃个球随机地分成加组（M>ZW）,
要求第i组恰
有码个球（i=共有分法:
27!
3!
9，9，9，50
203
（1）P（A）=
（2）解法一三
厂r10^^10.10>^710.10^^10>^7
p（〃）=20^10十十30人
-•…
（2）解
l（）!
xl0!
xl0!
答:
每组有一名运动员的概率为50/203;3名运动员集中在一个组的概率为18/203.
（1）
（2）（3）
◄
►
■
•
例9将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15名新生中有3名是优秀生•问
（1）每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少？
（2）3名优秀生分配在同一个班级的概率是多少？
解15名新生平均分配到三个班级中的分法总数：
厂5厂5厂5=15!
JfS_5!
5!
5!
・
（1）每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有
（31x12!
）（4!
4!
4!
）种.
因此所求概率为
_3!
xl2!
15!
_25
必=4!
4!
4!
5!
5!
5!
=9T
（2）将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种，
12，
对于每一种分法，其余12名新生的分法有伙；门种・2!
05!
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
（3x12!
）（2!
5!
5!
）种，因此所求概率为
3x12!
15!
_6
几=2!
5!
5!
5!
5!
5!
^91*
4抽签问题见P13
例袋中有a口签，b支红签，一次将签•支支抽取取出后不放卜I，求第k次抽到口签的概率（仁kva+b）P（A）=4S+—°）!
=亠
（a+方）！
ci+b
P（A）=年士
1.3.3几何概型
1=1
定义设样本空间是一个有限区域S•若样本点落在S内任何区域G中的事件A的概率与区域G的测度（长度、面积或体积等）成正比，则区域S内任意一点落在区域G内的概率为区域G的测度与区域S的测度的比值，即
这一类概率通常称为几何概率.
说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时,就归结为几何概型.N口rs
（1）设线段Z是线段乙的一部分,向线段/“上任投一点.则点落在线段/上的概率为
/的长度
P—.
'L的长度
（2）设平面区域g是平面区域G的一部分,向区域G上任投一点・则点落在区域g上的概率为
P_G的面积
g的面积
⑶设空间区域P是空间区域V的一部分,向区域V上任投一点.则点落在区域卩上的概率为
y的体积
n=•
U的体积
例10随机地向区间［0,5］内掷一点，求点落在区间［1,3］的概率.
5［1,3］的长度2
解卩=［0,5］的长度蔦・
会面问题
1:
1
例11甲、乙两人相约在0到卩这段时间内，在预定地点会面•先到的人等候另一个人，经过时间t（t解设**分别为甲、乙两人到騒
1:
1
时刻，那么OS",0。
"・d農］两人会面的充要条件为xpI"
若以兀」表示平面上点的坐标，则有故所求的概率为
1:
1
二阴影部分面积
P—正方形面积
卩2-（卩一门2
（2）最多等一辆
甲.乙两人约定在下午1时到2时之间到某站乘公共汽车,又这段时间内有四班公共汽车，它们的开车时刻分别为1:
15、1:
30、1:
45、2:
00.如果甲、乙约定
（1）见车就乘；车•求甲、乙同乘一车的概率.假定甲、乙两人到达车站的时刻是互相不牵连的，且每人在1时到2时的任何时刻到达车■站是等可能的.I
阴影部分面积4x（14）21
4
11:
151:
301:
452兀
见车就乘_
的概率为P=正方形面积-（2—1）2
11:
151:
301:
452X
最多等一辆车，甲、乙„_13x（1
同乘一车的概率为P—
试验结果
最简单的随机现象一古典概型喳艺?
几何概型
古典概率
作业PI7:
3,5,6,7,2,9
52张扑克平均分发给甲、乙、丙、丁4个人，求
（1）甲拿到4个A的概率；
（2）4个A在一个人手上的概率；
（3）每人手上都有A的概率.
iEq；41654165
⑶4!
_2197
C；；C；；C；：
C：
；20825—
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