人教版高中数学文科选修研究性课题杨辉三角.docx
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人教版高中数学文科选修研究性课题杨辉三角
研究性课题：
杨辉三角
【教学目的】
1．进一步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律，形成知识网络；
2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力；
3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感．
【教学手段】
计算机辅助教学CAI
【教学思路】
→引言：
为什么要探究杨辉三角？
→什么是杨辉三角？
→杨辉简介
→师生观察讨论杨辉三角
→杨辉三角的基本性质
→探索杨辉三角的数字排列规律（多层次、多角度）
→展示学生探究成果
→教学小结
【教学过程】
引言:
为什么要研究杨辉三角？
▲教学意图研究杨辉三角的意义
（1）在学习了排列组合概率和数学归纳法等知识后，继续研究杨辉三角的性质，进一步探索杨辉三角的基本性质及其中蕴含的数量关系，培养发现问题、分析问题、解决问题的能力．同时复习巩固所学知识，发现知识间的联系．
（2）通过探究杨辉三角，不断培养创新能力．（创新是发展的不竭动力）
（3）了解古今数学家的伟大成就，进行爱国主义教育；
1．什么是杨辉三角？
▲教学意图复习杨辉三角
二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（Ｐ.71图）
2．介绍杨辉——古代数学家的杰出代表
▲教学意图了解数学家杨辉及其成就,增强民族自豪感
杨辉，杭州钱塘人。
中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。
“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（BlaisePascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．
3．观察杨辉三角所蕴含的数量关系
▲教学意图观察发现数字排列规律,对学生的发现及时点评,培养观察力
（用Excel制作的杨辉三角——另一表现形式，用到第15行）
4．杨辉三角基本性质
▲教学意图介绍杨辉三角蕴含的基本规律
（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是
．
（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是
．
（3）杨辉三角具有对称性（对称美），即
．
（4）杨辉三角的第n行是二项式（a+b）n展开式的二项式系数，即
▲教学意图利用数学归纳法证明二项式定理——学以致用
证明：
（1）当n=1时，左边＝（a+b）1=a+b,右边＝
＝a+b
左边＝右边，所以等式成立．
（2）假设当n=k时等式成立，即
那么，当n=k+1时，
＝（
）
利用组合数的两个重要性质可得
即n=k+1时等式也成立．
根据
（1）和
（2），可知对于任意正整数n，等式都成立．
▲教学意图下面,师生一起继续探究杨辉三角蕴含的数量关系，形成知识网络
5．杨辉三角有趣的数字排列规律
▲教学意图培养学生观察力，注意观察方法：
横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多种角度观察（横看成岭侧成峰，远近高低各不同！
）
（1）杨辉三角的第1，3，7，15，．．．行，即第2K-1（k是正整数）行的各个数字有什么特点？
分析：
观察可知，它们均为奇数．第2K行除两端的1之外都是偶数.
（2） 杨辉三角第5行中，除去两端的数字1以外，行数5整除其余所有的数．你能再找出具有类似性质的三行吗？
这时的行数Ｐ是什么数？
▲教学意图继续“横”看
分析：
如2，3，7，11等行．行数Ｐ是质数（素数）.
（3） 计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：
第1行 1＋1＝2
第2行 1＋2＋1＝4＝22
第3行 1＋3＋3＋1＝8＝23
第4行 1＋4＋6＋4＋1＝16＝24
第5行 1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25
．．．
第n行
分析：
第n行数字的和为2n．
前n行（含第0行）所有数的和为2n–1，它恰好比第n行的和2n小1．
（4）从杨辉三角中一个确定的数的“左（右）肩”出发，向右（左）上方作一条和左斜边平行的射线，在这条射线上的各数的和等于这个数．
▲教学意图再引导学生“斜”向看
例如：
10＝1＋2＋3＋4，
20＝1＋3＋6＋10，．．．
▲教学意图引导学生得出一般性的结论
一般地，在第m条斜线上（从右上到左下）前n个数字的和，等于第m+1条斜线上的第n个数．
根据这一性质，猜想下列数列的前n项和：
1＋1＋1＋．．．＋1＝
（第1条斜线）
1＋2＋3＋．．．＋
＝
（第2条斜线）
1＋3＋6＋．．．＋
＝
（第3条斜线）
1＋4＋10＋．．．＋
＝
（第4条斜线）
．．．
（第r+1条斜线）
（课后要求用数学归纳法证明）
（5）如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？
▲教学意图继续换一角度“斜”向看
1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．
此数列{an}满足,a1=1,a2=1,
且an=an-1+an-2（n≥3）
这就是著名的斐波那契数列．
▲教学意图以下介绍斐波那契“兔子繁
殖问题”增强趣味性
中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作《算术之法》中提出了一个饶有趣味的问题：
假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？
兔子繁殖问题可以从杨辉三角得到答案：
右侧从上而下的一列数1，1，2，3，5，8，13，…，正好是刚生的兔子，第一个月后的兔子．第二个月后的兔子，第三个月后的兔子，…n个月后的兔子的对数．“兔子繁殖问题”的答案就是第12行右下侧的数（第13个），即233．
（6）杨辉三角与弹子游戏（先介绍我国现代数学家华罗庚）
▲教学意图介绍我国现代数学家华罗庚的成就、学习其
为科学献身的精神、增强爱国情感
华罗庚（1910-1985）是一位具有世界声誉的数学家，我国进入世界著名数学行列最杰出的代表。
撰写了不少高质量的10部专著、200篇论文和10余部科普著作。
由于他的贡献，有许多定理、引理、不等式与方法等都用他的名字命名．为了推广优选法，华罗庚带领小分队去二十七个省市普及应用数学方法达二十年之久，取得了明显的经济效益和社会效益，为我国经济建设作出了重大贡献．在他的科普著作《从杨辉三角谈起》中，对杨辉三角的构成，提出了一种有趣的看法．
▲教学意图下面介绍弹子游戏问题，本节的重要内容
如图，在一块倾斜的木板上，钉上一些正六角 形小木块，在它们中间留下一些通道，从上部的漏斗直通到下部的长方形框子。
把小弹子倒在漏斗里，它首先会通过中间的一个通道落到第二层六角板上面（有几个通道就算第几层），以后，再落到六角板的左边或右边的两个竖直通道里去．……，以此类推，算一算：
个弹子通过n+1层通道，落到各长方形框里的可能情况。
分析：
弹子从每一通道通过时可能情况是：
它选择左右两通道可能性是相等的，而其他任一个通道的可能情形，应等于它左右肩上两个通道的可能情形的和。
可以设想，第1层只有１条通道，通过的概率是1
第2层有２条通道，每条通过的概率依次是
第3层有3个通道，每条通过的概率从左到右依次是
，
，
第4层各通道通过的概率从左到右依次是
，
，
，
．．．
照这样计算第n+1层有n+1个通道，弹子通过各通道的概率将是？
引导学生写出此“概率三角形”，分析与杨辉三角的关系：
第n行各概率的分子是杨辉三角中的数，分母是2n。
（引导学生课后仿第1章复习小结例1解答．）
（７）杨辉三角与“纵横路线图”
▲教学意图杨辉三角又一实际应用,学以致用
“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有五条路，如果从A处走到B处（只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？
我们把图顺时针转45度，使A在正上方，
B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角
数．有趣的是，B处所对应的数70，正好是答案（
70）．
一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系．
（8）杨辉三角与“堆垛术”（三角垛，正方垛，．．．）
▲教学意图介绍我国古代数学的伟大成就——堆垛术，引导学生自行探究
将圆弹堆成三角垛：
底层是每边n的三角形，向上逐层每边少一个圆弹，顶层是一个圆弹，求总数．
6．展示学生探究成果
通过投影仪展示学生探究结果，提高学习趣味性，其次，通过点评提高探究水平，培养创新能力．
7．教学小结：
→古代数学家杨辉，通过“弹子游戏”了解现代数学家华罗庚，增强爱国情感；
→系统探究杨辉三角蕴含的数字排列规律，培养观察、探究及创新能力；
→展示部分探究成果，相互交流学习．
8．作业
（1）求弹子游戏中，弹子落入各长方形框的可能数目．
（2）P.74习题1、2
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