Matlab 机械优化设计.pptx

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Matlab机械优化设计,中国石油大学课件,最小化问题,一、单变量最小化,1.相关函数介绍,

（1）fminbnd,功能：

找到固定区间内单变量函数的最小值。

语法和描述：

fminbnd求取固定区间内单变量函数的最小值。

x=fminbnd（fun,x1,x2）返回区间x1，x2上fun参数描述的标量函数的最小值x。

x=fminbnd（fun,x1,x2,options）用options参数指定的优化参数进行最小化。

fminbnd,x=fminbnd（fun,x1,x2,options,P1,P2,.）提供另外的参数P1,P2等,传输给目标函数fun。

如果没有设置options选项，则令options=。

x,fval=fminbnd（.）返回解x处目标函数的值。

x,fval,exitflag=fminbnd（.）返回exitflag值描述fminbnd函数的退出条件。

x,fval,exitflag,output=fminbnd（.）返回包含优化信息的结构输出。

参数描述表,算法：

fminbnd是一个M文件。

其算法基于黄金分割法和二次插值法。

局限性：

1目标函数必须是连续的。

2fminbnd函数可能只给出局部最优解。

3当问题的解位于区间边界上时，fminbnd函数的收敛速度常常很慢。

此时，fmincon函数的计算速度更快，计算精度更高。

4fminbnd函数只用于实数变量。

应用实例,例1在区间（0，2）上求函数sin（x）的最小值：

x=fminbnd（sin,0,2*pi）x=4.7124,例2.对边长为3m的正方形铁板，在四个角处剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽，问如何剪法使水槽的容积最大？

模型建立：

假设剪去的正方形的边长为x，则水槽的容积为,现在要求在区间（0，1.5）上确定一个x，使最大化。

因为优化工具箱中要求目标函数最小化，所以需要对目标函数进行转换，即要求最小化。

首先编写M文件opt21_3o.m:

functionf=myfun（x）f=-（3-2*x）.2*x;然后调用fminbnd函数（磁盘中M文件名为opt21_3.m）：

x=fminbnd（opt21_3o,0,1.5）,无约束非线性规划问题,相关函数,fminunc函数,fminsearch函数,fminunc函数功能：

给定初值，求多变量标量函数的最小值。

常用于无约束非线性最优化问题。

数学模型：

其中，x为一向量，f（x）为一函数，返回标量。

语法格式及描述,x=fminunc（fun,x0）给定初值x0，求fun函数的局部极小点x。

x0可以是标量、向量或矩阵。

x=fminunc（fun,x0,options）用options参数中指定的优化参数进行最小化。

x=fminunc（fun,x0,options,P1,P2,.）将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。

x,fval=fminunc（.）将解x处目标函数的值返回到fval参数中。

x,fval,exitflag=fminunc（.）返回exitflag值，描述函数的输出条件。

x,fval,exitflag,output=fminunc（.）返回包含优化信息的结构输出。

x,fval,exitflag,output,grad=fminunc（.）将解x处fun函数的梯度值返回到grad参数中。

x,fval,exitflag,output,grad,hessian=fminunc（.）将解x处目标函数的Hessian矩阵信息返回到hessian参数中。

参数描述表,适用于大型和中型算法的参数：

lDiagnostics打印最小化函数的诊断信息。

lDisplay显示水平。

选择off，不显示输出；选择iter，显示每一步迭代过程的输出；选择final，显示最终结果。

打印最小化函数的诊断信息。

lGradObj用户定义的目标函数的梯度。

对于大型问题此参数是必选的，对于中型问题则是可选项。

lMaxFunEvals函数评价的最大次数。

lMaxIter最大允许迭代次数。

lTolFun函数值的终止容限。

lTolXx处的终止容限。

只用于大型算法的参数：

lHessian用户定义的目标函数的Hessian矩阵。

lHessPattern用于有限差分的Hessian矩阵的稀疏形式。

若不方便求fun函数的稀疏Hessian矩阵H，可以通过用梯度的有限差分获得的H的稀疏结构（如非零值的位置等）来得到近似的Hessian矩阵H。

若连矩阵的稀疏结构都不知道，则可以将HessPattern设为密集矩阵，在每一次迭代过程中，都将进行密集矩阵的有限差分近似（这是缺省设置）。

这将非常麻烦，所以花一些力气得到Hessian矩阵的稀疏结构还是值得的。

lMaxPCGIterPCG迭代的最大次数。

lPrecondBandWidthPCG前处理的上带宽，缺省时为零。

对于有些问题，增加带宽可以减少迭代次数。

lTolPCGPCG迭代的终止容限。

lTypicalX典型x值。

只用于中型算法的参数：

lDerivativeCheck对用户提供的导数和有限差分求出的导数进行对比。

lDiffMaxChange变量有限差分梯度的最大变化。

lDiffMinChange-变量有限差分梯度的最小变化。

lLineSearchType一维搜索算法的选择。

习题4-6,%目标函数m文件，保存为xiti4j6.mfunctionf=myfun（x）;f=10*x

（1）2+x

（2）2-20*x

（1）-4*x

（2）+24;,%求解m文件options=optimset（display,on,maxiter,10e5,tolfun,10e-5,tolx,0.01）;x0=2,-1;x,fval,exigflag,hessian=fminunc（xiti4j6,x0,options）,x=1.00002.0007fval=10.0000exigflag=1hessian=iterations:

6funcCount:

21stepsize:

1firstorderopt:

0.0013algorithm:

medium-scale:

Quasi-Newtonlinesearch,例：

初始点1，1,程序：

编辑ff2.m文件：

functionf=ff（x）f=8*x

（1）-4*x

（2）+x

（1）2+3*x

（2）2;编辑command.m文件x0=1,1;%取初始点：

x,fval,exitflag=fminunc（ff,x0）,Optimizationterminatedsuccessfully:

Searchdirectionlessthan2*options.TolXx=-4.00000.6667fval=-17.3333exitflag=1,注意1对于求解平方和的问题，fminunc函数不是最好的选择，用lsqnonlin函数效果更佳。

2使用大型方法时，必须通过将options.GradObj设置为on来提供梯度信息，否则将给出警告信息。

局限性1目标函数必须是连续的。

fminunc函数有时会给出局部最优解。

2fminunc函数只对实数进行优化，即x必须为实数，而且f（x）必须返回实数。

当x为复数时，必须将它分解为实部和虚部。

fminsearch函数,功能：

求解多变量无约束函数的最小值。

该函数常用于无约束非线性最优化问题。

x=fminsearch（fun,x0）初值为x0，求fun函数的局部极小点x。

x0可以是标量、向量或矩阵。

x=fminsearch（fun,x0,options）用options参数指定的优化参数进行最小化。

x=fminsearch（fun,x0,options,P1,P2,.）将问题参数p1、p2等直接输给目标函数fun，将options参数设置为空矩阵，作为options参数的缺省值。

语法格式及描述：

x,fval=fminsearch（.）将x处的目标函数值返回到fval参数中。

x,fval,exitflag=fminsearch（.）返回exitflag值，描述函数的退出条件。

x,fval,exitflag,output=fminsearch（.）返回包含优化信息的输出参数output。

参数：

各参数的意义同fminunc。

fminunc与fminsearch,对于求解二次以上的问题，fminsearch比fminunc更有效，而且当问题为高度非线性时，前者更有效。

fminsearch不适合求解平方和的问题，用lsqnolin更好。

三、约束最小化,相关函数介绍,fmincon函数,功能：

求多变量有约束非线性函数的最小值。

fmincon函数,数学模型：

其中，x,b,beq,lb,和ub为向量，A和Aeq为矩阵，c（x）和ceq（x）为函数，返回标量。

f（x）,c（x）,和ceq（x）可以是非线性函数。

非线性不等式约束非线性等式约束,线性不等式约束线性等式约束,设计变量的上下界,语法格式及描述：

x=fmincon（fun,x0,A,b）给定初值x0，求解fun函数的最小值x。

fun函数的约束条件为A*x=b，x0可以是标量、向量或矩阵。

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq）最小化fun函数，约束条件为Aeq*x=beq和A*x=b。

若没有不等式存在，则设置A=、b=。

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub）定义设计变量x的下界lb和上界ub，使得总是有lb=x=ub。

若无等式存在，则令Aeq=、beq=。

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon）在上面的基础上，在nonlcon参数中提供非线性不等式c（x）或等式ceq（x）。

fmincon函数要求c（x）=0且ceq（x）=0。

当无边界存在时，令lb=和（或）ub=。

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options）用optiions参数指定的参数进行最小化。

x=fmincon（fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options,P1,P2,.）将问题参数P1,P2等直接传递给函数fun和nonlin。

若不需要这些变量，则传递空矩阵到A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon和options。

x,fval=fmincon（.）返回解x处的目标函数值。

x,fval,exitflag=fmincon（.）返回exitflag参数，描述函数计算的退出条件。

x,fval,exitflag,output=fmincon（.）返回包含优化信息的输出参数output。

x,fval,exitflag,output,lambda=fmincon（.）返回解x处包含拉格朗日乘子的lambda参数。

x,fval,exitflag,output,lambda,grad=fmincon（.）返回解x处fun函数的梯度。

x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian=fmincon（.）返回解x处fun函数的Hessian矩阵。

注意：

1fmincon函数提供了大型优化算法和中型优化算法。

默认时，若在fun函数中提供了梯度（options参数的GradObj设置为on），并且只有上下界存在或只有等式约束，fmincon函数将选择大型算法。

当既有等式约束又有梯度约束时，使用中型算法。

2fmincon函数的中型算法使用的是序列二次规划法。

在每一步迭代中求解二次规划子问题，并用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩阵。

3fmincon函数可能会给出局部最优解，这与初值X0的选取有关。

1、写成标准形式：

s.t.,2x1+3x26s.tx1+4x25x1,x20,例1,2、先建立M-文件fun3.m:

functionf=fun3（x）;f=-x

（1）-2*x

（2）+（1/2）*x

（1）2+（1/2）*x

（2）2,3、再建立主程序youh2.m：

x0=1;1;A=23;14;b=6;5;Aeq=;beq=;VLB=0;0;VUB=;x,fval=fmincon（fun3,x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB）,4、运算结果为：

x=0.76471.0588fval=-2.0294,1先建立M文件fun4.m,定义目标函数:

functionf=fun4（x）;f=exp（x

（1）*（4*x

（1）2+2*x

（2）2+4*x

（1）*x

（2）+2*x

（2）+1）,x1+x2=0s.t.1.5+x1x2-x1-x20-x1x2100,例2,2再建立M文件mycon.m定义非线性约束：

functionc,ceq=mycon（x）c=1.5+x

（1）*x

（2）-x

（1）-x

（2）;-x

（1）*x

（2）-10;ceq=;,3主程序为:

x0=-1;1;A=;b=;Aeq=11;beq=0;vlb=;vub=;x,fval=fmincon（fun4,x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,mycon）,3.运算结果为：

x=-1.22501.2250fval=1.8951,例3,1先建立M-文件fun.m定义目标函数:

functionf=fun（x）;f=-2*x

（1）-x

（2）,2再建立M文件mycon2.m定义非线性约束：

functionc,ceq=mycon2（x）c=x

（1）2+x

（2）2-25;x

（1）2-x

（2）2-7;ceq=;%没有非线性等式约束，要设置ceq为空矩阵。

3.主程序fxx.m为:

x0=3;2.5;VLB=00;VUB=510;x,fval,exitflag,output=fmincon（fun,x0,VLB,VUB,mycon2）,4.运算结果为:

x=4.00003.0000fval=-11.0000exitflag=1output=iterations:

4funcCount:

17stepsize:

1algorithm:

1x44charfirstorderopt:

cgiterations:

例4matlab工程优化实例,盖板问题,设盖板为铝合金制成，弹性模量E=7x104MPa，泊松比=0.3，许用弯曲应力=70MPa，许用剪切应力=45MPa。

一、问题分析,即确定tf和h,截面惯性矩,最大剪应力,最大弯曲应力,翼板中的屈曲临界稳定应力,最大挠度,盖板单位长度的质量,为材料密度,二、数学模型,设计变量：

目标函数：

单位长度允许挠度,约束条件：

按照强度，刚度和稳定性要求建立如下的约束条件。

三、matlab求解,functionf=myfun（x）;f=120*x

（1）+x

（2）,目标函数myfun.m,非线性不等式约束myfuncon.m,functionc,ceq=mycon2（x）c=1-0.25*x

（2）;1-7/45*x

（1）*x

（2）;1-7/45*x

（1）3*x

（2）;1-1/320*x

（1）*x

（2）2;ceq=;,注意matlab里不等式约束为0,主函数myfun_opt.m,options=optimset（MaxFunEvals,5000）;%设置函数评价的最大次数5000x0=0,0;%初始值VLB=0;0;VUB=;x,fval,exitflag,output=fmincon（myfun,x0,VLB,VUB,myfuncon,options）,x=0.633225.3264fval=101.3056exitflag=1output=iterations:

66%迭代次数66funcCount:

514%函数评价次数514stepsize:

1%最终步长1algorithm:

medium-scale:

SQP,Quasi-Newton,line-search%中型算法firstorderopt:

1.0050e-005%解x处梯度的范数cgiterations:

%PCG迭代次数（只适用于大型规划问题）。

优化结果,x=0.66671.3333fval=-8.2222exitflag=1,x=001.0000-0.0000fval=0.0800exitflag=1,%目标函数Minf（x）=f=exp（x

（1）*（4*x

（1）2+2*x

（2）2+4*x

（1）*x

（2）+2*x

（2）+1）%不等式约束条件:

-x

（1）*x

（2）=10%等式约束条件:

x

（1）2+x

（2）=1clear%清工作空间clc%清屏x0=-1,1;%初值f=exp（x

（1）*（4*x

（1）2+2*x

（2）2+4*x

（1）*x

（2）+2*x

（2）+1）;%目标函数options=optimset（LargeScale,off,display,iter）;%不使用大模式优化方法x,fval,exitflag,output=fmincon（f,x0,myfun_con4,options）%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=%设计变量无上下限约束,即lb=,ub=,functionc,ceq=myfun_con4（x）c=-x

（1）*x

（2）-10;%不等式约束或写成:

c=-x

（1）*x

（2）-10;ceq=x

（1）2+x

（2）-1;%等式约束或写成:

ceq=x

（1）2+x

（2）-1%ceq=x

（1）2+x

（2）-1,x=-0.75290.4332fval=1.5093exitflag=1,x=-0.75290.4332fval=1.5093exitflag=1output=iterations:

7funcCount:

24stepsize:

1algorithm:

medium-scale:

SQP,Quasi-Newton,line-searchfirstorderopt:

8.1712e-009cgiterations:

message:

1x143char,x=5.0000fval=3exitflag=4,目标函数Maxf（x）=f=m1*x

（1）+m2*x

（2）2+m3*x（3）%约束条件:

%a1*x

（1）+a2*x

（2）+a3*x（3）=c%上下限约束条件x

（1）=0x

（2）=0x（3）=0%m1=10;m2=4.4;m3=2;%a1=1;a2=4;a3=5;a=32%b1=1;b2=3;b3=2;b=29%c1=1;c2=0.5;c=3;,clear%清工作空间clc%清屏m1=10;m2=4.4;m3=2;a1=1;a2=4;a3=5;a=32;b1=1;b2=3;b3=2;b=29;c1=1;c2=0.5;c=3;A=a1,a2,a3;b1,b2,b3;b=a;b;x0=1;1;1;%初值lb=0,0,0;%设计变量下限约束条件options=optimset（LargeScale,off,display,iter）;x,fval,exitflag,output=fmincon（x）myfun9（x,m1,m2,m3）,x0,A,b,lb,（x）myfun_con9（x,c1,c2,c）,options）%注意:

含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon（myfun9（x,m1,m2,m3）,x0,A,b,lb,myfun_con9（x,c1,c2,c）,options）%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=%设计变量无线性等式约束,即Aeq=,beq=%设计变量无上限约束,ub=,目标函数minf（x）=x

（1）2+x

（2）2%约束条件:

x

（1）2+x

（2）25%x

（1）+2*x

（2）=4%x

（1）0,x

（2）0%目标函数Minf（x）=f=m1*x

（1）2+m2*x

（2）2%约束条件:

a1*x

（1）2+a2*x

（2）2=0x

（2）=0%m1=1;m2=1;%a1=1;a2=1;a=5%b1=1;b2=2;b=4%c1=1;c2=0.5;c=3;,clear%清工作空间clc%清屏m1=1;m2=1;a1=1;a2=1;a=5;b1=1;b2=2;b=4;c1=1;c2=0.5;c=3;Aeq=b1,b2;%设计变量线性等式约束beq=b;%设计变量线性等式约束x0=1;1;%设计变量初值lb=0,0;%设计变量下限约束条件options=optimset（LargeScale,off,display,iter）;x,fval,exitflag,output=fmincon（x）myfun10（x,m1,m2）,x0,Aeq,beq,lb,（x）myfun_con10（x,a1,a2,a）,options）%注意:

含有带参数目标函数,不能x,fval,exitflag,output=fmincon（myfun10（x,m1,m2）,x0,Aeq,beq,lb,myfun_con10（x,a1,a2,a）,options）%设计变量无线性不等式约束,即A=,b=%设计变量无上限约束,ub=,x=0.8000,1.6000fval=3.2000exitflag=1,机床主轴结构优化设计,机床主轴是机床中重要零件之一，一般为多支承空心阶梯轴。

为了便于使用材料力学公式进行结构分析，常将阶梯轴简化成以当量直径表示的等截面轴。

下图所示的为一根简化的机床主轴。

要求以主轴的自重为目标，对该主轴进行优化设计。

机械优化设计大作业,已知条件：

主轴材料为45#，内径d=30mm，外力F=15000N，许用挠度y0=0.05mm，材料的弹性模量E=210GPa，许用应力=180MPa。

300l650，60D110，90a150。

作业要求：

（1）对该问题进行分析，写出该问题的物理模型；

（2）将物理模型转化为优化模型（包括设计变量、目标函数、约束条件）；（3）将优化模型转化为matlab程序（m文件）；（4）利用matlab软件求解该优化问题，写出最优解。

（5）用毕业论文纸作业，要求手写，写出问题和上述4个过程，条理清晰。

1.问题分析2.优化模型3.matlab程序4.最优解和结果分析,作业一、人字架结构优化设计,由两根空心圆杆组成对称的两杆桁架，其顶点承受负载为2p，两支座之间的水平距离为2L，圆杆的壁厚为B，杆的比重为，弹性模量为E，屈服强度为。

求在桁架不被破坏的情况下使桁架重量最轻的桁架高度h及圆杆平均直径d。

作业三、圆形等截面销轴的优化设计的数学模型已知：

轴的一端作用载荷P=1000N，扭矩M=100Nm；轴长不得小于8cm；材料的许用弯曲应力w=120MPa，许用扭剪应力=80MPa，许用挠度f=0.01cm；密度=7.8t/m，弹性模量E=2105MPa。

分析：

设计目标是轴的质量最轻Q=1/4d2lmin.；,要求：

设计销轴，在满足上述条件的同时，轴的质量应为最轻。

设计限制条件有5个：

弯曲强度：

maxw扭转强度：

刚度：

ff结构尺寸：

l8d0,设计参数中的未定变量：

d、l,