全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx.docx

资源描述

全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx.docx

《全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx.docx（48页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx.docx

全国大学生数学竞赛非数学专业复习讲义docx

全国大学生数学竞赛（非数学专业）

微分学

一、基本概念与内容提要

1.出参数方程确定的函数的导数

则冬二dydf二d），/dx二©'（/）二儿‘dxdtdxdtdt0（f）xt'

d严⑴d/二以⑴0（/）-0（/）0®1

dt（p\tydx~[©（or

2.多元函数微分学

全微分：

衣二空血臬密•腸式不变^=—dx+—Jy+—

dxoydxdydz

偏导数的儿何意义：

粼規示册緝奇成，，

z=/（s）

y=>o

（xoJoZo）

处的切线对和轴的斜率。

函数的连续性和可微、可导必须会用定义判断。

连续的混合高阶偏导数与求导顺序无关。

二元函数的偏导数存在是连续的既不充分乂不必要条件。

二元两数存在两个偏导数是可微的必要不充分条件。

偏导数连续是函数可微的充分不必要条件。

函数连续是可微的必要不充分条件。

全微分的近似计算：

Az"卩人（兀，刃山+/；（x，y）Ay

多元复合函数的求导法:

z=/D/（O,v（O]—=—

dtdudtdvdt

隐函数的求导公式：

隐函数F（x,）'）fO尘=_・

dxFy

台7F

隐函数F（x,）^）=0—=-一dxE

d~y_*（fc（fdy

乔一去（一亍石F忑

）J

比_Py

du_13（F,G）dv_1a（F,G）du_1Q（F,G）OxJ6（x,v）'8x‘J8（u.x）'dyJ6（>\v）

二、常考例题讲解

用基本方法求导数

1.设函数y=y（x）由方程xef（y）=ey\n29确定，其中于具有二阶导数,冃广工1,

则器

CF7

2.已知函数z=w（x,y）eax+,y9且—=0,确定a,b,使得函数z=z（x,y）满足dxdy

82zdz8zn

z=0•

Cdcc

3.设函数/⑴有二阶连续的导数,

oxoyoxdy

求訝罷

4.己知＜2山（1+戶），求

y=t—arctane1

V丿

5.设函数i心，刃的所有二阶偏导数都连续，空=驾且/心,2切“,

dx~dy~

W]（x,2x）=x29求wfj（x,2x）.

解:

u（x,2x）=x两边对兀求导,得到：

山（兀,2兀）+2弘；（兀,2兀）=1,代入”|'（兀,2兀）=/求

[-x2

得：

弘；（兀,2兀）=；

u[（x,2x）=x2两边对x求导,得到:

wfj（兀,2兀）+2u[2（x92x）=2x；

\—x~u；（x,2x）=两边对x求导，得到«2i（兀,2x）+2m22（x,2x）=-x.

以上两式与驾=驾联立，乂二阶导数连续，所以u；2=u：

\，故U^,2x）=--x

8x2dy212J"3

用全微分求解隐函数

5.设z=z（x,y）是方程F（z+上,z-一）=0确定的隐函数，且具有连续的二阶偏导兀y

数，以及Fu（w,v）=Fv（W,v）^（）,求证

兀3密+小（兀+刃籍+）异笑=0

oxdxdydy

导数与极限、积分、微分方程等结合求函数表达式

6.设函数/（%）在［0,+oo）上连续，在（0,+oo）上可导,

/乞+尸竺=0和

dxdy

已知lim/\x）=0且函数

xt0+

一川科）满足帶+弊』2詁严必

（1）.求函数广（x）（x>0）的表达式;

⑵•若me求出册5

22q

其中0（t）具有一阶导数，曲线y=0（f）与y=fe~uclii+—在匸1处相

7.设函数y=f（x）由参数方程

x=2t1歹=0（『）

k>j）确定'冃器=忌

8.设一元函数W=/（r）当0。

＜亦时有连续的二阶导数，且/

（1）=0,广

（1）=1,乂11=/（Jx2+/+Z2）满足方程匕+乜+巳=0,试求f（r）的表达式。

dr茁dz~

解：

・・・弘=/（心,）沁）），/=广•一（/'：

/"））

_f丿"X_fx2fnx2f

WXV=—+兀（）•_=一+—；—

rrr~rrr~r

对称地，M=£+2X_2X,m丄帆工

yy23zz23

rrrrrr

・••5+Uyy+叫=/"+2占=0

pz21r

令P=f—=——,lnP=ln—+lnC=ln—

Prr1r2

CI|1

p=广（厂）=-=—（•・・广

（1）=1）・•・M）=—+c=__（・・・/（l）=0）

厂厂rr

注奧+嘤+字=0,称为（三维）拉普拉斯方程，又名调和方程、位势方

dx2dy2dz

程，是一种偏微分方程•因为由法国数学家拉普拉斯首先提出而得名•在一•般条件下解拉普拉斯方程超出考试范围.本题讨论特殊条件下的拉普拉斯方程求解问题.

9.设W=且满足（二维）拉普拉斯方程，

求的君达我）

分析：

函数u=f（x,y）是亍+y2的函数，可以考虑用极坐标进行转化，利用求微分方程的方法得到表达式。

mi/•/、r（\Oudr%/x

铁討（「）+*〃）同理可得斜訂（小訂（J•■•■|4+^4=/（r）+-/（r）=0,yj^=--积分得

dx8）厂rf'[r）r

In/（r）=-lnr+lnc（）,/（r）=-^,/（r）=colnr+c,

u=—ci}ln（x2+y'）+C|=c」n（V+）『）+q2

LI—X

Z兀

10.已知函数z=z（x,y）满足兀2冬+歹2竺=尹，设I=丄_丄，对函数去彷IVX

0=0（眈,卩），求I止：

=Q.

证明：

由题意得"/尸片

则（f）=--丄是u,v的复合函数，则

空__丄

duz2

厂比dx^dxdu

+竺空+

dydu）

、

1dz

（14-WV）2叱

..y=1.卯=1

X14-uvduu2Z2

厂2比2比、

JT厂一

I去dyj

J1_

u2X1Z2

^dx

积

x2dy）

4=o

分学

一、基本概念与内容提要

1.定积分性质

那么对于任意的常数a,在闭区间

若/（兀）是奇函数（即/（%）=-/（-%））,

上，jf（x）dx=0.

2若/（兀）是偶函数（即/（x）=/（-兀）），那么对于任意的常数a,在闭区间［-。

卫］

上Jf{x）dx=2Jf{x）dx.

3若/（兀）为奇函数时，/（兀）在［-°卫］的全体原函数均为偶函数；当/（兀）为偶函

数时，/（兀）只有唯一原函数为奇函数即［加助・

④若『6）是以T为周期的函数（即f（T+兀）=/&））,且在闭区间［0,T］±连续可

积，那么]=（/（x）dx=Ef{x）dx

■2

2.二重积分的六大对称性

如果积分区域D具有轴或点对称（令D表示D的一半区域，即D中对应y>0丄丿

部分，余类推），被积函数/（X,y）同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学屮每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。

2j]7（s）d

几卄是关于的偶函数，即

①D关于X轴对称（D关于丫轴对称类推）

^f（x,y）dxdy=<

0,/（兀-）：

）=-/（兀y）

②D关于X,Y都对称

\\f^y）dxdy=

4j]7（兀,y）ddyf（-x,y）=f（x9-y）=/（x,y）

o,于（一兀,y）=一于（兀,刃或/*（兀，一y）=一/（无,y）

3D关于原点对称

』7（兀,y）dxdy=

0,/（-x,-y）=-/（x,y）

2y）dxdy,/（-x,-y）=/（x,y）

4当Q和Q关于某一直线对称，对同一•被积函数，则

JJ7（兀,y）dxdy=y^dxdy

D\d2

5D关于X=a轴对称

JJ（兀-a）dxdy=（）

6万能轮换对称性

•轮换对称性描述

如果将兀与y及z交换，即xoy,zox后，积分区域方程不

变，则将被积函数小的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。

X~Vdxdy=-

IM+|gJx+y+32鼎q_Jx+y+3Jy+x+3

dxdy=0

•轮换对称性实例

3.二重积分的换元公式.

设/（x,在£>上连续，x=x（w,v）,y=y（w,v）在平面uOv上的某区域£/上具有连续的一阶偏导数且雅可比（Jacobi,C.G.J.）行列式

J=X\X\工0,

儿儿

对应于xOy平面上的区域£）,则y）dxdy=jj/[x（w,v）,y（u,v）^j\dudv・

DD*

4.三重积分的对称性：

J=如

⑴若G关于兀oy而（z=0）对称，

1若/（x,y,-z）=-/（x,y,z）,贝I」/=0,

②若f（x,y-z）=f（x,y,z）,则/=2^f（x,y,z）dv,QI：

z>0

⑵若。

关于yoz而（x=0）对称，

1若/（一兀,y,z）=-/（x,y,z）,则/=0,

2若/（-x,y,z）=/（x,y,z）,则1=2y,z）dv,fl2:

x>0

⑶若Q关于兀血面（y=0）对称，

1若f（x-y.z）=-f（x,y,z）,则/=0,

2若f（x-y,z）=f（x,y9z）,则1=2Jjj/（兀,y,z）dv,Q3:

y>0

5.三重积分换元法

1）球坐标系代换：

x=/?

sin^cos0,y=Qsin0sin&,z=pcoscp,

\J\=p2sin^（0

y,z）dxdydz=Jjj/（psin0cosO,Qsin0sin0,pcos（p）p2sin（pdOd（pdp

D£T

适川于积分公式或被积函数是/（x2+/+r）型.

2）柱坐标代换:

x=rcos0,y=rsin0,z=z,（r>0,0<^<2^,-oo<^<+oo）

\j\=r=巩兀，即dV=rdrdOdz

三重积分的柱朋标换冗公式为：

y,z）dxdydz=JJJ/（rcos0,rsin0.z.）rdOdrdz,

DD‘

适用于f（x2+/）型被积函数或积分区域

6・高斯公式

『

r-xsintdt

定理设空间闭区域。

是由分片光滑的闭曲面㊁所围成，P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）ffiQ±具有一阶连续偏导数，则有公式：

6.计算积分x\smx^lx（"表示正整数）.

7.计算积分fe~2xsinAlx.

利用奇偶性和周期性简化定积分计算，若遇对称区间，先考虑被积函数是否具有奇偶性；若积分上下限中出现兀，被积函数出现三角函数，可用周期性积分

fMdx.

8.计算积分（卍彳+1）（，一厂）心

9.求定积分I=£T|sinx|jx,其屮斤为自然数。

解：

注意到sinx是偶函数口以兀为周期，因此利用性质可以简化计算

10.计算积分『sin2x（tanx+l）Jx.

2sinl-vJv=—sin

（x+y）ln1+—

12.计算积分/=JJ“

（）

用递推公式来求解积分

13.设s>0,求In=^00e~sxxndx{n=12…）

利用二重积分积分区域对称与被积函数奇偶性等来解题

14.计算积分JJsgn（xy-V）dxdy,其中D={（x,y）10

15.设D是由曲线y=?

x=-l,y=l所围成的有界闭区域，计算积分

JJ（y2+sin（xy））dxdy.D

利用格林公式把曲线积分转化为二重积分，并适当要结合对称性来解决，

P（x）dx+Q（x）dy=（浮-込dxdy,其中L是D的取正向的边界曲线.

JL尸oxcy

16.已知平面区域D={（x,y）\0

（1）jxesinydy-ye-sinxdx=jxe-sinydy-yesinxdx；

x4+y2

17.

（2）

求函数^（x）；

设函数0（X）具有连续的导数，在用绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上,

x*4+y2

曲线积分^xydx+（p{x）dy的值为常数.

（3）

利用换元法、高斯公式等解决二重积分或三重积分

18.设曲而工是锥而x=与两球Ilnx2+y2+?

=l,x2+/+?

=2所I韦I

立体表血外侧，/（«）为连续可微的奇函数，计算曲血积分

^dydz+[y3+f（yz）]dzdx+[?

+f（yz）]dxdy.

19.设/为连续函数，f〉0区域。

是由抛物面z=/+b和球x2+y2+z2=t2所围起来的上半部分，定义三重积分F（r）=JJ/（x2+y2+z2）dxdydz.求F（/）的导数广（"

、基本概念与内容提要

1）.极限存在的条件：

左极限等于右极限。