中考综合型问题集二.docx

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中考综合型问题集二

31．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象经过M（1，0）和N（3，0）两点，且与y轴交于D（0，3），直线l是抛物线的对称轴．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若过点A（－1，0）的直线AB与抛物线的对称轴和x轴围成的三角形面积为6，求此直线的解析式；

（3）点P在抛物线的对称轴上，⊙P与直线AB和x轴都相切，求点P的坐标．

32．如图，在平面直角坐标系中，一抛物线的顶点坐标是（0，1），且过点（－2，2），平行四边形OABC的顶点A、B在此抛物线上，AB与y轴相交于点M．已知点C的坐标是（－4，0），点Q（x，y）是抛物线上任意一点．

（1）求此抛物线的解析式及点M的坐标；

（2）在x轴上有一点P（t，0），若PQ∥CM，试用x的代数式表示t；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得△BAQ的面积是△BMC的面积的2倍？

若存在，求此时点Q的坐标．

33．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，2），点B的坐标为（3，1），平移抛物线y＝x2，使平移后的抛物线过A、B两点．

（1）求平移后抛物线的函数表达式；

（2）设

（1）中抛物线的顶点为C，D为y轴上一点，且S△ABD＝S△ABC，求点D的坐标；

（3）请在图2上用尺规作图的方式探究

（1）中的抛物线上是否存在点P，使△ABP为等腰三角形．若存在，请判断点P共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

34．如图，抛物线y＝－

x2＋4交x轴于A、B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接AC、BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P．

（1）试判断△ABC的形状，并说明理由；

（2）求证：

BF⊥AB；

（3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S＝S1－S2，试探究S的最小值．

35．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋3．

（1）m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？

（2）若抛物线与x轴交于M、N两点，当|OM|·|ON|＝3，且|OM|≠|ON|时，求抛物线的解析式；

（3）若

（2）中所求抛物线顶点为C，与y轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x轴交于点B，直线y＝－x＋3与x轴交于点A，点P为抛物线对称轴上一动点，PD⊥AC于D．是否存在点P，使S△PAD＝

S△ABC？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

36．如图，已知点F的坐标为（0，1），过点F的直线与抛物线y＝

x2交于A、B两点，直线y＝－1与y轴交于点C，连接AC、BC．

（1）判断以线段AB为直径的圆与直线y＝－1的位置关系并说明理由；

（2）若以AB为直径的圆与y轴交于C（

，0）、D（

，0）两点，求直线AB对应的函数解析式；

（3）求证：

∠ACF＝∠BCF；

（4）△ABC的面积是否存在最小值？

如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

37．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（2，3）、B（6，1）、C（0，－2）．

（1）求此抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为顶点式；

（2）点P是抛物线对称轴上的动点，当AP⊥CP时，求点P的坐标；

（3）设直线BC与x轴交于点D，点H是抛物线与x轴的一个交点，点E（t，n）是抛物线上的动点，四边形OEDC的面积为S．当S取何值时，满足条件的点E只有一个？

当S取何值时，满足条件的点E有两个？

38．已知抛物线y1＝x2＋4x＋1的图象向上平移m个单位（m＞0）得到的新抛物线过点（1，8）．

（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成y2＝a（x－h）2＋k的形式；

（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象，请写出这个图象对应的函数y的解析式，并在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，同时写出该函数在－3＜x≤－

时对应的函数值y的取值范围；

（3）设一次函数y3＝nx＋3（n≠0），问是否存在正整数n使得

（2）中函数的函数值y＝y3时，对应的x的值为－1＜x＜0，若存在，求出n的值；若不存在，说明理由．

39．如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．

①当线段PQ＝

AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

40．如图，已知抛物线y＝－x2－x＋

，正方形ABCD的边AB在x轴上，顶点C、D在x轴上方的抛物线上，将正方形ABCD绕点B顺时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），得到正方形A1BC1D1．

（1）求正方形ABCD的边长；

（2）当tanα＝

时

①求正方形A1BC1D1与正方形ABCD重叠部分的面积；

②在抛物线的对称轴上存在点P，使△PC1D1为直角三角形，求点P的坐标；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△QC1D1为等腰直角三角形？

若存在，求此时tanα的值；若不存在，请说明理由．

41．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，对称轴与抛物线相交于点P、与直线BC相交于点M，连接PB．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）抛物线

上是否存在一点Q，使△QMB与△PMB的面积相等，若存在，求点Q的坐标；若不存在，说明理由；

（3）在第一象限、对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R，使△RPM与△RMB的面积相等，若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．

42．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O、点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ＝2OP，当P、Q重合时同时停止运动．过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD＝MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE随点Q运动）．

（1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标为（m，0），求S与m之间的函数关系式；

（3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG＝PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GF和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是____________；

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

43．己知：

二次函数y＝ax2＋bx＋6（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程x2－4x－12＝0的两个根．

（1）请直接写出点A、点B的坐标；

（2）请求出该二次函数表达式及对称轴和顶点坐标；

（3）如图l，在二次函数对称轴上是否存在点P，使△APC的周长最小？

若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（4）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交BC于点D，设Q点坐标（m，0），当△CDQ面积S最大时，求m的值．

44．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标为（－1，0），点B在y轴的正半轴上，BC＝OB．

（1）求过点A、B、C的抛物线的解析式；

（2）动点E从点B（不包括点B）出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A1B1EF，点A、B的对应点分别是点A1、B1，设四边形A1B1EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是（x，0）．

①当点A1落在

（1）中的抛物线上时，求S的值；

②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．

45．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋8（a≠0）与x轴交于点A（－2，0）、B，与y轴交于点C，tan∠ABC＝2．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）设直线CD交x轴于点E．在线段OB的垂直平分线上是否存在点P，使得经过点P的直线PM垂直于直线CD，且与直线OP的夹角为75°？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，将抛物线沿其对称轴向上平移，使抛物线与线段EF总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度？

46．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝3x＋3分别交x轴、y轴于A、B两点，C点坐标为（0，1），连接AC并延长到D，使∠ADB＝∠ABC．

（1）求D点坐标；

（2）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（3）若P是线段AD上一动点，过P点作x轴的垂线，交抛物线于点H，当线段PH的长最大时，求P点坐标；

（4）在（3）的条件下，将△ABD在坐标平面内平移

①若平移后点H是AD边中点，求点A的坐标；

②若平移后点H在△ABD的内部（不包括三条边），设点A坐标为（m，n），求m、n的取值范围．

47．在平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，－

），Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（

，0），且BC＝5，AC＝3（如图1）．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在

（1）中所求抛物线上时，Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点．设点B的横坐标为m，△DAB的面积为S．

①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，S与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图1、图2中画图探求）；

②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？

若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．

48．如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y＝－

x2＋bx＋c经过A、C两点，与AB边交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．

①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值；

②当S最大时，在抛物线y＝－

x2＋bx＋c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．

49．如图，抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）与双曲线y＝

相交于点A，B，已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOx＝4．过点A作直线AC∥x轴，交抛物线于另一点C．

（1）求双曲线和抛物线的解析式；

（2）计算△ABC的面积；

（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积？

若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

50．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A（－3，0），点B（1，0），交y轴于点E（0，－3）．点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行．直线y＝－x＋m过点C，交y轴于D点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标．

51．抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交于点C（0，－2），与直线y＝x交于点A（－2，－2），B（2，2）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，线段MN在线段AB上移动（点M与点A不重合，点N与点B不重合），且MN＝

，若M点的横坐标为m，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线交于点Q．以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？

若能，请求出m的值；若不能，请说明理由．

52．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－2，－4），OB＝2，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A、O、B三点．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点M是抛物线对称轴上的一点，试求MO＋MA的最小值；

（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点P、O、A、B为顶点的四边形是梯形？

若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

53．在直角坐标系xoy中，已知点P是反比例函数y＝

（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：

①求出点A，B，C的坐标．

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的

．若存在，试求出所有满足条件的M点的坐标，若不存在，试说明理由．

54．如图，已知抛物线经过A（－2，0），B（－3，3）及原点O，顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

（3）P是抛物线上第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M．是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

55．如图，y关于x的二次函数y＝－

（x＋m）（x－3m）（m＞0）图象的顶点为M，图象交x轴于A、B两点，交y轴正半轴于D点．以AB为直径作圆，圆心为C．定点E的坐标为（－3，0），连接ED．

（1）写出A、B、D三点的坐标；

（2）当m为何值时，M点在直线ED上？

判断此时直线ED与⊙C的位置关系；

（3）当m变化时，用m表示△AED的面积S，并在给出的直角坐标系中画出S关于m的函数图象的示意图．

56．巳知二次函数y＝a（x2－6x＋8）（a＞0）的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．

（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点O′'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；

（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：

“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段PA、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段不能构成平行四边形）．”若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？

请你积极探索，并写出探索过程；

（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标t是大于3的常数，试问：

是否存在一个正数a，使得四条线段PA、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等（即这四条线段能构成平行四边形）？

请说明理由．

57．在平面直角坐标系xOy中，关于y轴对称的抛物线y＝－

x2＋（m－2）x＋4m－7与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，P是抛物线上的一点（点P不在坐标轴上），且点P关于直线BC的对称点在x轴上，D（0，3）是y轴上的一点．

（1）求抛物线的解析式及点P的坐标；

（2）若E、F是y轴负半轴上的两个动点（点E在点F的上方），且EF＝2，当四边形PBEF的周长最小时，求点E、F的坐标；

（3）若Q是线段AC上一点，且S△COQ＝2S△AOQ，M是直线DQ上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在一点N，使得以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？

若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

58．如图，在平面直角坐标系中，点A（m，6）（0＜m＜3），B（n，1）为两动点，且OA⊥OB．

（1）求证：

mn＝－6；

（2）当S△AOB＝10时，抛物线经过A、B两点且对称轴为y轴，求该抛物线的解析式；

（3）在

（2）的条件下，设直线AB交y轴于点F，过点F作直线l交抛物线于P、Q两点．是否存在直线l，使S△POF:

S△QOF＝1:

3？

若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

59．如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点P，顶点为C（1，－2）．

（1）求此函数的关系式；

（2）作点C关于x轴的对称点D，顺次连接A、C、B、D．若在抛物线上存在点E，使直线PE将四边形ACBD分成面积相等的两个四边形，求点E的坐标；

（3）在

（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得△PEF是以P为直角顶点的直角三角形？

若存在，求出点F的坐标及△PEF的面积；若不存在，请说明理由．

60．如图，抛物线y＝

x2－x＋a与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其顶点在直线y＝－2x上．

（1）求a的值；

（2）求A，B两点的坐标；

（3）以AC，CB为一组邻边作□ACBD，则点D关于x轴的对称点D′是否在该抛物线上？

请说明理由．