《二次函数yax2的图像和性质》教学设计.docx

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《二次函数yax2的图像和性质》教学设计

《二次函数的性质》导学设计

（鲁教版九年级上册第二章二次函数第三节）

课题

二次函数y=ax2的图像性质

课型

新授课

备课人

内容分析

二次函数y=ax2的图像和性质，是本章二次函数概念之后首次接触二次函数的性质，前面有一次函数、正（反）比例函数性质的基础，学生有了储备知识，它是一类最特殊的二次函数，为后续学习奠定基础，从某种意义上说起着承上启下的作用。

教材中性质的推导与获得利用了“从特殊到一般”的认识方法。

同学们应注意学习和运用。

本节学习中最难理解的是增减性，这一点同学们学习时要特别注意。

学习目标

1、能够利用描点法作出二次函数的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y=ax2的性质，初步建立二次函数表达式与图象之间的联系。

2、经历探索二次函数y=ax2图象和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验。

进一步培养数形结合方法研究函数的性质，了解从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。

3、在数学学习过程中，体验与领悟数学发现的成功感，感受数学发现学习的乐趣。

学习重点

二次函数y=ax2图象的描绘和图像特征的归纳

学习难点

选择适当的自变量和相应的函数值来画函数图像.

学习方法

   合作——探究、讨论——交流．

学具准备

投影片、单页网格纸

学习内容及过程

备注

一、学习准备

问题：

1.正比例函数y=kx（k≠0）其图象是什么？

2.一次函数y=kx+b（k≠0）其图象又是什么？

3.反比例函数（k≠0）其图象又是什么？

4，二次函数的一般形式是什么？

x的取值范围

二、导入新课

当a=1时，二次函数y=x2有那些性质？

有什么方法能更直接，更形象的来描述它的性质呢？

这节课我们就来研究二次函数y=ax2图象。

三、阅读探究

探究一：

画图像，找规律

（完成教材P45）观察计算结果，你发现了什么规律？

画函数y=x2,  y=-x2,图象。

生列表，描点，连线，得到函数的图像，抽2生到黑板完成。

师通过订正黑板上两同学的图象，指出图象的正确做法。

探究二：

观察图象，探索性质。

（完成教材P46）函数的图像、顶点坐标、对称轴有关概念

通过填写下表二次函数y=x2图象来概括归纳性质。

（一）列表

x

…

-3

-2

-1

0

1

2

3

…

y=x2

…

9

4

1

0

1

4

9

…

观察表格发现规律：

1、对称性x值互为相反数，y值相等。

2、增减性 当x>0时,y随x的增大而增大;

当x<0时,y随x的增大而减小

（二）描点：

除点（0，0）外，（-1，1）与（1，1），

（-2，4）与（2，4），

（-3，9）与（3，9），每对点关于y轴对称。

从描点法

可以体现出对称性。

（三）连线：

注意连线要平滑，延伸（因为自变量到全体实数，体验数与形的一致）。

抛物线

y=x2

y=-x2

开口方向

向上

向下

对称轴

y轴

y轴

顶点[最高（低）点]

原点（0，0）

原点（0，0）

增减性

当X＜0时，y随X的增大而减小

当x＞0时，y随x的增大而增大

当X＜0时，y随X的增大而增大

当x＞0时，y随x的增大而减小

四、质疑提问（小组探究讨论交流）

学生按上述几条探索观察投影y=2x2，y=-2x2的图象归纳出的性质：

1、形状相同，都是抛物线

2、开口方向相反，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下.

3、抛物线的对称轴都是y轴.

4、抛物线的顶点都是原点，当a>0时，顶点是图象的最低点；当a<0时，顶点是图象的最高点

5、增减性：

y=ax2（a>0时），当x>0时,y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小；（a<0时），当x>0时，y随x的增大而减小；当x<0时，y随x的增大而增大.

6、最大（小）值：

当a>0时，y有最小值，当x=0时，y最小值是0；当a<0时，y有最大值，当x=0时，最大值是0.

五、练习巩固

例1已知二次函数y=ax2（a≠0）的图像经过点（1,-9）.

（1）求a的值，并写出这个二次函数的解析式.

（2）说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置.

反思拓展

1、本节课学习了那些知识？

本节内容的学习中运用了前面学的哪些知识？

2、在学习二次函数y=ax2的图像性质中我们运用了哪些数学思想方法？

3、你能用今天所学知识解决下列问题

练习一：

抛物线y=-x2不具备的性质是（　）

Ａ．开口向下

Ｂ．对称轴是ｙ轴

Ｃ．与ｙ轴不相交

Ｄ．图象的最高点是坐标原点

练习二：

对于二次函数y=－x2，下列说法中，正确的是（　）

Ａ．当ｘ＜０时，ｙ的值随ｘ值的增大而减小

Ｂ．ｙ有最大值，最大值为０

Ｃ．当ｘ＞０时，ｙ的值随ｘ值的增大而增大

Ｄ．ｙ的值随ｘ值的增大而减小 

达

标

测

评

若抛物线（a≠0），过点A（-1，3）。

（1）则a的值是               ； 

（2）对称轴是              ，开口            。

（3）顶点坐标是             ，顶点是抛物线上的             。

 抛物线在x轴的                方（除顶点外）

（4）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上。

（5）求出此抛物线上纵坐标为6的点的坐标。

资

源

连

接

五大数学基本思想方法

第一：

函数与方程思想

（1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式等其他内容时，起着重要作用

（2）方程思想是解决计算问题的基本思想，是运算能力的基础

第二：

数形结合思想：

（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面

（2）在一维空间，实数与数轴上的点建立一一对应关系

  在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系

数形结合中，选择、填空侧重突出考查数到形的转化，在解答题中，考虑推理论证严密性，突出形到数的转化

第三：

分类与整合思想

（1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法

（2）从具体出发，选取适当的分类标准

（3）划分只是手段，分类研究才是目的

（4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性

（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性

第四：

化归与转化思想

（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题，将未解决问题化归为已解决问题

（2）灵活性、多样性，无统一模式，利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法

（3）常用变换方法：

一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化

第五：

  特殊与一般思想

（1）通过对个例认识与研究，形成对事物的认识

（2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论

（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程

（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程

第（1---4）题让学生回想一次函数、正反比例函数图像及性质，为二次函数性质的引入做铺垫。

通过学生观察回忆图像性质及画法得出二次函数y=x2图像通过类比的方法，获得利用图象研究二次函数性质的经验，同时向学生渗透数形结合的思想方法。

生分小组列表、画图像并观察表格归纳概括y=x2图象的性质，并将解析式和图象相联系。

特别注意强调画图像注意的问题

对照y=x2图象的性质，让学生猜想函数y=-x2图象会有那些性质呢？

。

 让学生在同一直角坐标系中画出函数y=-x2图象，从而验证上面的猜想。

师提问题

1、二次函数y=x2与y=―x2的图象的异同点？

   y=x2与y=2x2的图象的共同点？

2、y的最小值从表格、图像、解析式能看出来吗？

3、对称性如何验证？

4、“抛物线的y轴叫对称轴”这句话对吗?

.

学生独立解例题后小组展示 

组内口头解答反思拓展