新人教版八上数学优秀教案整式的乘法教案.docx

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新人教版八上数学优秀教案整式的乘法教案

14．1　整式的乘法

第1课时　同底数幂的乘法

1．探索并理解同底数幂的乘法法则，并能运用其熟练地进行运算；

2．运用同底数幂的乘法法则解决一些简单实际问题，体会数式通性的思想方法．

同底数幂的乘法法则．

正确理解与推导同底数幂的乘法法则．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

七年级的时候我们学习过整式的加减，a2＋2a2同学们肯定会计算，因为它们是同类项，相同字母的指数相同，当指数不一样的时候还能计算吗？

如a2＋a3？

如果我们把加法转化为乘法，a2·a3它能计算吗？

它等于多少呢？

要想解开这个疑惑的话就认真学习第十五章的第一节同底数幂的乘法，相信学完以后都能解开谜底了．

二、自主学习，指向目标

自学教材第95页至96页，思考下列问题：

1．回顾乘法与幂的相关知识：

①an的意义是n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，a叫做底数，n是指数；24＝

（2）×

（2）×

（2）×

（2）；

10×10×10×10×10＝105

②指出下列幂的底数和指数：

（－a）2底数为－a，指数为2；a2底数为a，指数为2；

（x－y）3底数为x－y，指数为3;_（y－x）n底数为y－x，指数为n；

2.同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即：

am·an＝a（m＋n）（m，n都是正整数）．

3.同底数幂乘法法则推导的依据是乘方的意义．

三、合作探究，达成目标

　探究同底数幂的乘法法则的推导

活动一：

阅读教材第95页，思考并完成下列问题：

（1）思考：

乘方的意义是什么？

（即am表示什么？

）（相同因数积的形式，即m个a相乘．）

（2）根据乘方的意义填空，看看计算结果有什么规律：

23×22＝[

（2）×

（2）×

（2）]×[

（2）×

（2）]＝2（5）

a3·a2＝[（a）×（a）×（a）]×[（a）×（a）]＝a（5）

5m×5n＝（5×5×…×5）,\s\do4（（m）个））×（5×5×…×5）,\s\do4（（n）个5））＝5（m＋n）

展示点评：

两个同底数幂相乘，根据乘方的意义怎么去理解？

完成下列填空：

　　　运算过程　　依据

am·an＝（a×a×…×a）,\s\do4（（m）个））（a×a×…×a）,\s\do4（（n）个5））（乘方的意义）

＝（a×a×…×a_,\s\do4（（m＋n）个））（乘法的结合律）

＝a（m＋n）（m，n都是正整数）（乘方的意义）

归纳：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加．

小组讨论：

乘方也是一种运算形式，它与乘法有何联系？

对于同底数幂的乘法的理解，关键是什么？

【反思小结】乘方是乘法的特殊形式，是几个相同因数积的形式；对于同底数幂乘法的理解，关键就在于对乘方意义的理解．

针对训练：

1．幂（－x）5的底数是－x，－x5的底数是x;_x5的底数是x

2．计算（－x）5＝－x5;_（－x）6＝x6;_（x－y）2＝＋（y－x）2;_（x－y）3＝－（y－x）3

3．下列四个算式：

①a6·a6＝2a6；②m3＋m2＝m5；③x2·x·x8＝x10；④y2＋y2＝y4，其中计算正确的有（A）

A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．3个

4．下列各式中，计算过程正确的是（D）

A．x3＋x3＝x3＋3＝x6　　　　　　B．x3·x3＝2x3＝x6

C．x·x3·x5＝x0＋3＋5＝x8D．x2·（－x3）＝－x2＋3＝－x5

　同底数幂乘法法则的应用

活动二：

（1）x2·x5　

（2）a·a6　（3）（－2）×（－2）4×（－2）3　（4）xm·x3m＋1

展示点评：

学生自主解答，师生共同点评．

变式：

1.－2×23×25＝－29．

2．a2·a5＋2a7＝4a7；a2·a5＋a7＝2a7．

小组讨论：

在应用该法则进行运算时，应当注意哪两个方面的问题？

反思小结：

在应用同底数幂的乘法法则进行运算时，一是要先判断是不是同底数幂，不是同底数幂的形式，要转化成同底数幂；二是底是不变，指数相加（紧扣法则）．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1．知识结构图

乘方的意义

2．在探索同底数幂的乘法运算法则时，进一步体会幂的意义，从而更好的理解该法则．

3．能够熟练地应用该法则进行运算．

五、达标检测，反思目标

1．下列各式中运算正确的是（D）

A．a2·a5＝a20B．a2＋a5＝a7

C．a2·a2＝2a2D．a2·a5＝a7

2．下列能用同底数幂进行计算的是（C）

A．（x＋y）2（x－y）3B．（－x＋y）3（x＋y）2

C．（x＋y）2（x＋y）3D．－（x－y）2（－x－y）

3．一种电子计算机每秒可进行1014次运算，它工作103秒可进行__1017__次运算．

4．计算：

（1）102×104×105

解：

原式＝102＋4＋5＝1011

（2）10n－1·102－n·103

解：

原式＝10（n－1）＋（2－n）＋3＝104

（3）xm·x2m＋1

解：

原式＝xm＋2m＋1＝x3m＋1

5．已知am＝2，an＝3，试用a表示．

求：

（1）am＋n；

（2）am＋n＋2.

解：

（1）am＋n＝am·an＝2×3＝6.

（2）am＋n＋2＝am·an·a2

＝2×3·a2

＝6a2

1．上交作业：

课本第104页1

（1）

（2）；2

（1）．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第2课时　幂的乘方

1．探索并理解幂的乘方法则．

2．运用幂的乘方法则进行计算．

幂的乘方运算．

幂的乘方法则总结及应用．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

1．根据乘方的意义填空：

a·a·a＝________；

a2·a2·a2＝________；

am·am·am＝________（m为正整数）．

2．激趣导入

你能说出444与533两个数中，哪个比较大吗？

学习本节后你就可以回答这个问题了！

二、自主学习，指向目标

自学教材第95至96页，思考下列问题

（1）（am）n的意义是n个am相乘．

（2）幂的乘方运算法则是：

（am）n＝amn（m，n都是正整数）

用文字语言可描述为：

幂的乘方，底数不变，指数相乘．

（3）同底数幂的乘法与幂的乘方运算形式的区别是前者是底数相同的幂相乘，即乘法运算；后者是幂的乘方，即是乘方运算；

同底数幂的乘法与幂的乘方运算法则的区别是运算的结果都是底数不变，前者是指数相加；后者是底数相乘．

三、合作探究，达成目标

　幂的乘方法则的推导

活动一：

根据乘方的意义及同底数幂的乘法法则填空，看看计算的结果有什么规律：

（1）（32）3＝32×32×32＝3（6）；

（2）（a2）3＝a2×a2×a2＝__a6__；

（3）（am）3＝__am×am×am__＝__a3m__（m是正整数）．

展示点评：

对于任意底数a与任意正整数m、n，（am）n＝amam……am,\s\do4（n个am））＝__amn__．

由此可得到幂的乘方法则：

（am）n＝__amn__（m，n都是正整数），即：

幂的乘方，底数__不变__，指数__相乘__．

小组讨论：

同底数幂相乘与幂的乘方的区别？

反思小结：

幂的乘方法则一定要与同底数幂相乘的乘法法则区分开：

两个法则都是底数不变，但同底数幂相乘时，指数相加；而幂的乘方时，指数相乘，这是本质区别．

针对训练：

1．63表示__3__个__6__相乘；（62）3表示__3__个__62__相乘．

2．判断正误，正确的打“√”，错误的打“×”．

（1）a5＋a5＝2a10（×）

（2）（x2）3＝x5（×）

（3）（－3）2·（－3）4＝（－3）6＝－36（×）

（4）[（m－n）3]4－[（m－n）2]6＝0（√）

3．下列运算正确的是（C）

A．（a3）3＝a6　　　B．a4·a4＝a16　　　C．（a3）4＝a12　　　D．a3＋a4＝a7

4．小明的解答有错误吗？

如果错误，请说出正确的结果．

（1）（x3）3＝x6；

（2）a6·a4＝a24.

解：

（1）（x3）3＝x9；

（2）a6·a4＝a10.

　幂的乘方的应用

活动二：

计算：

（1）（103）5　

（2）（a4）4　（3）（am）2　（4）－（x4）3

思考：

以上计算形式是幂的哪种运算？

其运算法则如何？

运算中有负号的应先确定什么？

展示点评：

都是幂的乘方运算，注意和同底数幂的乘法法则区分开；运算用有符号的，先确定结果的符号，再运用法则进行运算．

解答过程见课本P96例2解答过程．

小组讨论：

如何灵活运用幂的运算进行计算？

反思小结：

对于幂的运算，应当先观察形式，应用适当的法则进行运算．

针对训练：

5．若（x2）n＝x8，则n＝__4__．

6．若xm·x2m＝2，求x9m的值．

解：

原式＝（x3m）3＝23＝8.

四、总结梳理，内化目标

1．知识结构图：

乘方的意义

2.理解幂的乘方法则，并能灵活应用幂的乘方法则进行运算．

3．注意幂的乘方法则与同底数幂相乘的区别：

前者是底数不变，指数相乘；后者是底数不变，指数相加．

五、达标检测，反思目标

1．（a2）3＝__a6__；（x6）5＝__x30__．

2．（am）4＝__a4m__；（x3m）2n＝__x6mn__．

3．若a2m＝4，则a3m＝__±8__．

4．若x为正整数，且3x·9x·27x＝96，则x＝2．

5．计算：

（1）（ym）2·（－y3）

解：

原式＝y2m·（－y3）

＝－y2m＋3

（2）（y2）3·y2＋（y2）2y4

解：

原式＝y6·y2＋y4y4

＝2y8

6．

（1）已知xa＝2，xb＝3，求xa＋b的值．

解：

xa＋b＝xa·xb＝2×3＝6

（2）已知xa＝2，xb＝3，求x2a＋3b的值．

解：

x2a＋3b＝x2a·x3b

＝（xa）2·（xb）3

＝22·33

＝4×27＝108

1．上交作业：

一、计算：

（1）－b·（－b3）5；　　　

（2）2（x3）5－（x5）3；　　　（3）a·（a2）4·（－a2）．

解：

原式＝2x15－x15

＝x15

二、已知am＝2，bm＝5，求（a3）m＋（b2）m的值．

解：

原式＝a3m＋b2m

＝（am）3＋（bm）2

＝23＋52

＝8＋25

＝33

2．课后作业：

见《学生用书》．

第3课时　积的乘方

1．探索并理解积的乘方法则．

2．运用积的乘方法则进行计算．

积的乘方运算法则及其应用．

幂的运算法则的灵活运用．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？

这个结果是幂的乘方形式吗？

积的乘方如何运算呢？

能不能找到一个运算法则？

有前两节课的探究经验，老师想请同学们自己探索，发现其中的奥妙．

二、自主学习，指向目标

自学教材第97至98页，思考下列问题：

1．（ab）n的意义是n个ab相乘．

2.积的乘方运算法则是：

（ab）n＝anbn（n为正整数）

用文字形式可描述为：

等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

3．和幂有关的运算法则有：

同底数幂相乘；幂的乘方；积的乘方，应当如何区分？

（一是注意运算形式：

是乘法，还是乘方；二是从法则的运算结果进行区分．）

三、合作探究，达成目标

　积的乘方运算法则推导

活动一：

阅读课本P143页的内容，展示点评：

1．根据乘方的意义：

（ab）3表示______个______相乘；（ab）m表示______个______相乘．

2．填出下列运算每一步的依据：

（ab）2＝（ab）·（ab）→依据：

____________

＝（a·a）·（b·b）→____________

＝a2b2→____________

3．计算：

（ab）3＝________＝________＝________

（ab）n＝________＝________＝________

展示点评：

（ab）n＝________（n为正整数）即：

积的乘方，等于把________分别乘方，再把________相乘．

小组讨论：

如何区分同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方这三个运算法则？

反思小结：

一是注意运算形式：

同底数幂相乘是乘法运算，幂的乘方是乘方运算；二是注意法则，即（幂的）乘法指数就是加，（幂的）乘方指数就是乘；积的乘方就是先将各个因式先乘方再相乘．

针对训练：

1．

（1）同底数幂相乘，底数不变，指数__相加__；幂的乘方，底数不变，指数__相乘__；积的乘方，等于各个因式__乘方__的积．

（2）m，n为正整数时，am·an＝__am＋n__；（am）n＝__amn__；（ab）n＝__anbn__

2．如果（x3yn）2＝x6y8，则n等于（D）

A．3　　　B．2　　　C．6　　　D．4

3，4见《学生用书》相应部分。

5．若等式（－2a2·am）3＝－8a12恒成立，则m＝__2__

　积的乘方法则的应用

活动二：

计算：

（1）（2a）3；

（2）（－5b）3；

（3）（xy2）2；

（4）（－2x3）4.

展示点评：

计算时，应严格按照法则，不漏项，特别是符号．

小组讨论：

幂的运算中若混合应用多个幂的运算法则，应当按照什么运算顺序进行运算？

（解答过程见课本P97例3）

反思小结：

在幂的运算中若混合应用多个幂的运算法则时，应当先算积的乘方，再算幂的乘方．最后再按四则混合运算顺序依次运算．

针对训练：

6．填空

（1）（2a2b）3＝__8a6b3__；

（2）（－2×104）3＝__－8×1012__．

7．计算：

（－0.25）2013×（－4）2014.

解：

原式＝（－0.25）2013×（－4）2013×（－4）＝[（－0.25）×（－4）]2013×（－4）＝1×（－4）＝－4

8.一个正方体的棱长为2×102mm.

（1）它的表面积是多少？

（2）它的体积是多少？

解：

（1）6×（2×102）2＝6×4×104＝24×104＝2.4×105（mm2），则它的表面积是2.4×105mm2.

（2）（2×102）3＝8×106（mm3），则它的体积是8×106mm3.

四、总结梳理，内化目标

1．知识结构图：

2.理解积的乘方法则，并能灵活进行运算．

3．正确区分同底数幂相乘，幂的乘方与积的乘方三个运算法则，并能综合应用进行运算．

五、达标检测，反思目标

1．下列运算正确的是（D）

A．a2＋a3＝a5　　　　B．a2×a3＝a6　　　　C．（a2b3）3＝a5b6　　　　D．（a2）3＝a6

2．计算：

－（3a2b3）4的计算结果是（D）

A．81a8b12B．12a6b7C．－12a6b7D．－81a8b12

3．计算：

（1）（－a2b3）3·（－a2b）4；

解：

原式＝－a6b9·a8b4

＝－a14b13

（2）（2×102）2×（3×103）2；

解：

原式＝4×104×9×106

＝3.6×1011

4．已知＋（4a－b－2）2＝0，求代数式（－3ab2）2的值．

解：

可得：

　∴

∴原式＝（－3×1×4）2

＝×144

＝36

5．已知ax＝4，bx＝5，求（ab）2x的值．

解：

（ab）2x＝a2x·b2x

＝（ax）2·（bx）2

＝16×25＝400

1．上交作业：

课本第104页　2

（2）（3）（4）．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第4课时　单项式乘以单项式

1．探索并掌握单项式乘以单项式的法则．

2．灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算．

单项式与单项式相乘的运算法则及其应用．

灵活地进行单项式与单项式相乘的运算．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

我们知道：

长方形的面积＝____________

（1）如图：

长为a，宽为b的长方形的面积＝____________.

（2）如果有6个这样的长方形拼在一起（如图），面积又是多少呢？

你能用两种方法表示吗？

①________________________________________________________________________

②________________________________________________________________________

你会用我们所学的知识说明从等式左边推导到等式右边的过程吗？

二、自主学习，指向目标

1．

（1）am·an＝________（m，n都是正整数）；

（2）（am）n＝________（m，n都是正整数）；

（3）（ab）n＝________（n都是正整数）；

（4）a2－2a2＝________；a2·2a2＝________；（－2a2）3＝________．

2．在进行单项式乘以单项式的运算时，运用了乘法的________律和________律，以及________的运算性质来计算．

3．单项式与单项式相乘，把它们的________、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则__________________________．

三、合作探究，达成目标

　单项式乘以单项式运算法则

活动一：

1.填出下列运算每一步的依据：

（3×105）×（5×102）　　　　依据

＝（3×5）·（105×102）→____________

＝15×107→____________

＝1.5×108→____________

2．运用上述规律及运算性质计算：

ac5·2bc2＝________＝________.

展示点评：

归纳：

单项式与单项式相乘，把它们的________、________分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则____________________．

小组讨论：

单项式与单项式相乘，在计算时应注意什么问题？

反思小结：

当系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意运算顺序．应用法则时，一要注意首先确定积的系数和符号；二要注意勿漏仅在一个单项式里含有的因式．

针对训练：

1．见《学生用书》第1题．

2．（－5ax）（3x2y）2的计算结果是（A）

A．－45ax5y2　　　　　B．－15ax5y2

C．－30ax5y2D．45ax5y2

　单项式乘以单项式运算法则的运用

活动二：

计算：

（1）（－5a2b）（－3a）；

（2）（2x）3（－5xy2）．

（解答过程见课本P98例4）

展示点评：

在这两道运算中，系数分别含有负号，要注意什么问题？

小组讨论：

归纳单项式乘以单项式的一般步骤．

（先确定积的符号，再运算）

反思小结：

运用单项式乘以单项式的法则时，可按如下三个步骤进行：

一是先把各因式的系数相乘，作为积的系数；二是把各因式的同底数幂相乘，底数不变，指数相加；三是只在一个因式里出现的字母，连同它的指数作为积的一个因式．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

1．填空：

（1）a2－2a2＝__－a2__；

（2）a2·2a3＝__2a5__；

（3）4y·（－2xy2）＝__－8xy3__．

2．已知单项式－3x4m－ny2与2x3ym＋n的和为一个单项式，则这两个单项式的积是__－x6y4__．

3．见《学生用书》第6题．

四、总结梳理，内化目标

1．单项式乘以单项式的法则，并能灵活运用单项式乘以单项式的法则进行运算；

2．运用单项式乘以单项式的法则时，注意其运算步骤，以及系数和符号的问题．

3．单项式与单项式的和与积，有什么区别？

五、达标检测，反思目标

1．下列运算正确的是（D）

A．（－2xy）（－3xy）3＝－54x4y4　　　　B．5a3·（3a3）2＝15a12

C．（－0.1x）（－10x2）3＝－x2D．（2×10n）（×10n）＝102n

2．化简（－3x2）·2x3的结果是（A）

A．－6x5　　　　B．－3x5　　　　C．2x5　　　　D．－6x6

3．用科学记数法表示：

（1.2×103）×（2.5×1011）×（4×109）的结果是__1.2×1024__．

4.如果单项式－3x4a－by2与x3ya＋b是同类项，那么这两个单项式的积是（D）

A．3x6y4B．－3x3y2C．3x3y2D．－3x6y4

5．计算：

（1）x2y3·；

解：

原式＝－×·x3y4z2

＝－x3y4z2

（2）（－4x2y）·（－x2y2）·.

解：

原式＝－4×（－1）×·x4y6

＝2x4y6

1．上交作业：

课本P104第3、9题．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第5课时　单（多）项式乘以多项式

1．单（多）项式与多项式相乘的运算法则的探索与运用；

2．会进行整式的混合运算．

单项式与多项式相乘的法则．

灵活运用法则进行单项式乘以多项式，多项式乘以多项式的运算．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

三家连锁店以相同的价格m（单位：

元/瓶）销售某种商品，它们在一个月内的销售量（单位：

瓶）分别是a、b、c.你能用不同的方法计算它们在这个月内销售这种商品的总收入吗？

展示点评：

你可以用几种方法求出三家连锁店销售商品的总收入？

它们有何关系？

这将为我们学习单（多）项式乘以多项式打开知识的大门．

二、自主学习，指向目标

自学教材第99－101页，思考并回答下列问题：

1．单项式乘以多项式的依据是乘法的分配律，其法则是：

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．

2．多项式乘以多项式，可以先把其中的一个多项式看作一个整体，再进行运算，因此它的运算依据是单项式乘以多项式的运算法则．其法则是：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

3．在进行单项式乘以多项式和多项式乘以多项式运算的过程中，应当注意什么问题？

（一是要注意符号；二是要注意不要漏乘，重复乘．）

三、合作探究，达成目标

　单项式乘以多项式

活动一：

填空

（1）m（a＋b＋c）＝________，其依据是________________________________________________________________________．

（2）归纳：

单项式与多项式相乘，就是根据________________________，就是用单项式去乘多项式的____________，再把所得的积________________．

例1　计算：

（1）（－4x2）（3x＋1）；

（2）·ab.

小组讨论：

在进行单项式乘以多项式的运算时，关键是什么？

同时要注意什么问题？

展示点评：

关键是把单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，再运用幂的运算法则进行运算；运算时要注意符号的变化．

解答过程见课本P100例5

反思小结：

①单项式与多项式相乘实质上是转化为单项式乘以单项式，在相乘时不能漏项；②注意确定积的符号．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

　多项式乘以多项式

活动二：

看图填空：

（1）①如上图，大长方形的长是________，宽是________，则面积等于____________．

②图中四个小长方形的面积分