XXXX秋季第8讲垂直机械制图北京航空航天大学出版社.pptx

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3.3垂直问题Perpendicularity,如果直线垂直于平面内的任意两条相交直线，则与该平面垂直。

反之，如果直线与平面垂直，则与平面内的任意直线垂直。

Alineisperpendiculartoaplaneifitisperpendiculartoatleasttwononparallellinesinaplane.Also,alineperpendiculartoalllinesinaplaneifitisperpendiculartothatplane.,要讨论的问题Problemstobesolved：

过点作直线与平面垂直。

Constructlinethroughagivenpointperpendiculartoaplane.,过点作平面与直线垂直。

Constructplanethroughagivenpointperpendiculartoaline.,一、直线与平面垂直Perpendicularityoflineandplane,直线与平面垂直Lineperpendiculartoplane,直线垂直于平面内的一对相交直线（一切直线）Lineisperpendiculartotwointersectinglinesinplane（alllinesinthatplane）,P,相交主直线,NPL1N（相交intersecting）L2N（交叉Skew）,N-法线Normaloftheplane,性质Characteristics:

P面所有直线垂直于NAlllinesinPareperpendiculartoN,过N的所有平面垂直于PAllPlanescontainingNareperpendiculartoP,平面的坡角与法线的倾角互余（p+N=90）,主直线平面Mainlinesplane,平面用一对相交主直线表示Planedefinedbyapairofintersectinglines,l1,l1,l2,l2,a,a,n,n,n正平线的V投影nl1,n水平线的H投影nl2,平面以其他形式表示Planedefinedbyothermethods,p,p,l,l,l1,l1,L与P平面不垂直LisnotperpendiculartoP,L1与P平面垂直LisperpendiculartoP,例1:

L,L1与平面P垂直吗？

LP?

L1P?

用一对相交主直线来判断Determinebyapairintersectingmainlines,例2：

过点A作直线垂直于DEF。

ConstructlinethroughpointAperpendiculartoDEF,注意：

不是垂足的正面投影Thisisnotthefrontalprojectionofperpendicularfoot.,注意：

不是垂足的平面投影ThisisnottheHorizontalprojectionofperpendicularfoot.,求出直线AB对DEF的穿点才是垂足ThepiercingpointoflineABandDEFistheperpendicularfoot.,例3过定点A作直线L的垂面PConstructplanePthroughgivenpointAperpendiculartolineL.,p,p,l,l,L,P,a,a,A,应用:

求距离问题Application:

Problemsofdistance,1）点到平面的距离distancebetweenpointandplane2）平行面间的距离distancebetweentwoplanes步骤Steps:

1.过定点作面的垂线（Constructlinethroughgivenpointperpendiculartoplane）2.求垂线对面的穿点-积聚性法或辅助平面法（Findpiercingpointofperpendicularlineandplane-CollectingmethodorAuxiliaryplanemethod）3.求定点到穿点的实长-直角三角形法（Truelengthofdistancebetweengivenpointandpiercingpoint.-Righttrianglemethod）,A,A,K,K,P,P,Q,二、两平面垂直Perpendicularityoftwoplanes,

（1）几何条件Geometrycondition,

（2）投影作图Projection,N,Q1,Q2,Q3,P,两平面互相垂直,则其中一个平面必经过（或平行于）另一个平面的垂线。

Iftwoplanesareperpendicular,oneplanemustcontainlineperpendiculartoanothertheotherplane.,过A点作平面Q垂直于平面P。

ConstructplaneQthroughpointAperpendiculartoplaneP,A,a,a,p,p,n,n,q,q,例4：

过点A作平面垂直于DEF。

ConstructplanethroughpointAperpendiculartoDEF,解法一：

Solutionmethodone:

过点A作DEF的垂线。

ConstructlineperpendiculartoDEF,过垂线任作一平面即为所求。

Constructaplanecontainingthatperpendicularline.,解法二：

Solutionmethodtwo:

在DEF上任取一直线，比如DF。

SelectalineinDEFarbitrarilysuchasDF.,过A点作DF的垂面即为所求。

ConstructplanethroughpointAperpendiculartoDF,三、直线与直线垂直Perpendicularitybetweenlines,

（1）几何条件Geometrycondition,

（2）投影作图Projection,NP,两直线互相垂直,则必有一线在另一直线的垂面上（或平行于另一直线的垂面）Ittwolinesareperpendicular,onemustlieintheperpendicularplaneoftheotherone.,过直线L上A点作垂线ConstructlinethroughpointAperpendiculartoL,L2与L是什么位置关系？

TherelativepositionofL2andL?

a,K,Q,P,L1,L2,NPL1L1P或L2/P,a,l,l,p,p,l1,l1,l2,l2,作业Homework：

P24P25-7,8,9复习refertotextbook：

P152-P157,3.4综合问题SyntheticalProblems,综合作图题是指点、线、面等几何元素及其相互关系同时出现于问题之中，并且对问题的解答，要求满足的条件较多，需要进行综合分析。

常用的求解方法有：

正推法：

从正面入手进行分析推理。

反推法：

假定问题已解，再反推回去，找出问题的相互联系或条件，从而得到解题的途径。

交轨法：

分析满足条件的几何元素各自的空间轨迹，然后求得可以同时满足所求条件的几何元素或关系，从而得到解题的途径。

一、点线面综合作图题,例1：

过点A作一条直线，使其与直线BC垂直相交。

ConstructalinethroughpointA,requiredtobeperpendiculartoandintersectingwithlineBC,过点A作一主直线平面AEF与直线BC垂直。

ConstructmainlinesAEandAFperpendiculartolineBC,作出直线BC对平面AEF的穿点K。

FindpiercingpointKoflineBCandAEF,直线AK在直线BC的垂面上，故AKBC，又K点在直线BC上，故直线AK为所求。

LineAKmeetstherequirements,例2：

已知等腰三角形ABC的底边AB的V投影ab平行于X轴，AC边的V、H投影ac、ac已知，试完成该等腰三角形的H面投影。

Given:

ABisthebottomedgeofisocelestriangleABC,abX.Reqd:

CompletetheHprojectionofABC,b,分析：

假设等腰三角形ABC的底边AB上的高为CD，因为AB为水平线，故cdab，又H为AB的中点，根据定比性可知ad=bd，因此adcbdc。

结论：

ac=bc,例3：

在平面DEF上求一点K与已知三点A、B、C等距，其中A点和C点的Z坐标相等。

FindapointKinplaneDEF,requiredtobeequidistantfrompointsA,BandC（ACH）,q,q,p,例4：

已知三条直线CD、EF、GH，要求作一直线AB平行于CD，且与EF、GH相交。

Given:

ThreelinesCD,EFandGH.Reqd:

ConstructalineAB,letABCD,andintersectingEFandGH.,p,p,例5：

已知一直角ABC，其中AB为一直角边，另一直角边AC平行于正垂面P，且C点距离V面20mm，试完成该三角形的V、H投影。

Given:

RightangleedgeABofABC,otherrightangleedgeACisparalleltoV-perpendicularplaneP,pointCis20mmfromVplane.Reqd:

completetheVandHprojectionsofABC,20mm,例6：

过已知点A求作一直线AB，使与已知二交叉直线L1、L2相交（P26-1）。

ThroughgivenpointAconstructalineABtobeintersectingwithtwoskewlinesL1andL2.,a,a,l1,l2,l1,l2,交轨法intersectionoftracks：

过A点与L1相交的直线的轨迹；ThetrackoflinesthroughpointAandintersectingwithL12.过A点与L2相交的直线的轨迹;ThetrackoflinesthroughpointAandintersectingwithL23.两轨迹的交集；Theintersectionoftwotracks,p,p,反推法Reverseinference：

假设此直线AB已作出，只限与L1相交，组成平面P即A点与L1组成的平面P。

AssumingthatlineABintersectingwithlineL1hadbeenfound,thentheplanewhichABandL1defineshouldbetheplanewhichL1andpointAdefine.AB在P面内，同时又与L2相交，交点必为P面与L2的公共点穿点。

ABPandintersectingwithL2whichmeanstheintersectionpointshouldbethepiercingpointofL2andP,例6：

过已知点A求作一直线AB，使与已知二交叉直线L1、L2相交（P26-1）。

ThroughgivenpointAconstructalineABtobeintersectingwithtwoskewlinesL1andL2.,例7：

过已知点A求作一直线AB，使与已知二交叉直线L1、L2垂直（交叉垂直）（P27-8）。

ThroughgivenpointAconstructalineABtobeperpendiculartotwoskewlinesL1andL2,p,p,交轨法？

提示：

垂直只是方向问题，与几何元素的具体位置无关。

Key:

Perpendicularityisacharacteristicofdirectionwhichhasnothingtodowiththepracticalpositionsofthegeometricelements,l1,题目转换为：

过A点作P平面的垂线。

Problemtransformedto:

ThroughpointAconstructlineperpendiculartoplaneP,作业：

P26,27,28复习：

P157-P160,