四年级奥数排列组合问题.docx
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四年级奥数排列组合问题
1、如下图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。
那么，从甲地到丙地共有多少种走法？
2、有五面颜色不同的小旗，任意取出三面排成一行表示一种信号，问：
共可以表示多少种不同的信号？
3、一个篮球队有五名队员A，B，C，D，E，由于某种原因，E不能做中锋，而其余4个人可以分配到五个位置的任何一个上，问一共有多少种不同的站位方法？
排列组合题解题思路:
解排列组合问题,首先要弄清一件事是"分类"还是"分步"完成,对于元素之间的关系,还要考虑"是有序"的还是"无序的",也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理,排列定义和组合定义,其次,对一些复杂的带有附加条件的问题,需掌握以下几种常用的解题方法:
特殊优先法对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题,我们可以从这些特殊的东西入手,先解决特殊元素或特殊位置,再去解决其它元素或位置,这种解法叫做特殊优先法.例如:
用0,1,2,3,4这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有________个.（答案:
30个）
科学分类法对于较复杂的排列组合问题,由于情况繁多,因此要对各种不同情况,进行科学分类,以便有条不紊地进行解答,避免重复或遗漏现象发生例如:
从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台,其中至少有原装与组装计算机各两台,则不同的选取法有_______种.（答案:
350）
插空法解决一些不相邻问题时,可以先排一些元素然后插入其余元素,使问题得以解决例如:
7人站成一行,如果甲乙两人不相邻,则不同排法种数是______.（答案:
3600）
捆绑法相邻元素的排列,可以采用"整体到局部"的排法,即将相邻的元素当成"一个"元素进行排列,然后再局部排列例如:
6名同学坐成一排,其中甲,乙必须坐在一起的不同坐法是________种.（答案:
240）
排除法从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法.
b,排列组合应用题往往和代数,三角,立体几何,平面解析几何的某些知识联系,从而增加了问题的综合性,解答这类应用题时,要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如:
从集合{0,1,2,3,5,7,11}中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,所得的经过坐标原点的直线有_________条.（答案:
30）
◆第一讲找规律
（一）…………………………3
◆第二讲找规律
（二）…………………………6
◆第三讲长方形和正方形
（一）…………………………8
◆第四讲长方形和正方形
（二）…………………………11
◆第五讲算式谜
（一）…………………………14
◆第六讲算式谜
（二）…………………………17
◆第七讲植树问题
（一）…………………………19
◆第八讲植树问题
（二）…………………………23
◆能力测试
（一）…………………………26
◆第九讲和差问题
（一）…………………………30
◆第十讲和倍问题
（一）…………………………33
◆第十一讲和倍问题
（二）…………………………35
◆第十二讲差倍问题…………………………38
◆第十三讲年龄问题
（一）…………………………41
◆第十四讲年龄问题
（二）…………………………44
◆第十五讲还原问题
（一）…………………………46
◆第十六讲还原问题
（二）…………………………49
◆能力测试
（二）………………………………………52
第一讲找规律
（一）
事物的发展中有规律的，只有认为观察事物，找到事物发展变化的规律，才能深入地了解和掌握它，从而找到解决问题的方法和途径。
在数学竞赛中，常常出现按规律填数的题目，找规律的方法是根据已知数的前后（可上下）之间的联系，找出其中的规律，求得相应的数。
例题与方法
例1．请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（），21，25。
（2）3，6，12，24，（），96，192。
（3）1，4，9，16，25，（），49，64，81。
（4）2，3，5，8，12，17，（），30，38。
（5）21，4，16，4，11，4，（），（）。
（6）1，6，5，10，9，14，13，（），（）。
例2．根据下表中数的排列规律，在空格里填上适当的数。
13
20
7
9
17
8
5
9
24
7
5
36
12
6
14
16
（1）
（2）
例3．下面每个括号里两个数按一定规律组合，在里填上适当的数。
（9，13），（17，5），（14，8），（，16）。
例4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。
练习与思考
1．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上合适的数。
（1）1，4，3，6，5，（），（）。
（2）1，4，16，64，（）。
（3）11，3，8，3，5，3，（），（）。
（4）0，1，3，8，21，（）。
2．找规律，在空格里填上适当的数。
8
17
5
12
16
10
11
9
7
14
12
4
12
9
6
24
（1）
（2）
3．下面括号里和两个数是按一定规律组合，根据规律在里填上适当的数。
（1）（8，7），（6，9），（10，5），（，13）。
（2）（1，3），（5，9），（7，13），（9，）。
4．根据前面两个圈里三个数的关系，在第三个圈里的（）里填上适当的数。
（1）
（2）
（2）
第二讲找规律
（二）
例1．请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数。
1×8+1=
12×8+2=
123×8+3=
1234×8+4=
12345×8+5=
123456×8+6=
1234567×8+7=
12345678×8+8=
123456789×8+9=
例2．请先计算下现的一组算式的第一题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后几题的得数。
12345679×9=
1234679×27=
1234679×36=
12345679×54=
12345679×18=
12345679×45=
12345679×72=
12345679×63=
12345679×81=
例3．下面每行的数字是按一定规律排列下去的，请找出规律，并写出第六、七、八的数字。
第一行1
第二行11
第三行121
第四行1331
第五行14641
第六行
第七行
第八行
例4．有一列数组：
（1，1，1），（2，4，16），（3，9，81），…求第100组的三个数之和比第50组的三个数之和多多少？
练习与思考
1．找规律，写得数。
（1）1×9=
91×99=
991×999=
9991×9999=
99991×99999=
999991×999999=
（2）11×11=
111×111=
1111×1111=
11111×11111=
111111×111111=
2．找出规律后，直接填写出括号内的数。
3．找规律，写算式。
1999998÷9=2222223=3+27×0
（）99999（）÷9=33333333=6+27×1
（）99999（）÷9=444444333=9+27×12
（）99999（）÷9=5555553333=
（）99999（）÷9=66666633333=
（）99999（）÷9=777777333333=
（）99999（）÷9=888888
（）99999（）÷9=999999
4．找出下列算式的规律，把算式填写完整。
5．找规律，在里填上适当的数
1
19+9×9=10024
118+98×9=1000369
1117+987×9=10000481216
……5□□□□
（）+（）×9=1000000612□□□□
1111114+（）×9=（）
第三讲长方形和正方形
（一）
同学们已经学会长方形、正方形的周长与面积的计算，利用公式很容易算出它们的面积与周长。
但在遇到一些较复杂的有关长方形和正方形的周长和面积计算时，一些同学就会感到棘手。
这两讲我们将教给大家一些平移、转化、分解、合并等技巧，使大家在解题中能顺利地找到突破口，化难为易，化繁为简。
例1．有一块长8分米，宽4分米的长方形纸板与两块边长4分米的正方形拼也一个正方形。
拼成的正方形的周长是多少分米？
例2.两个大小数点相同的正方形拼成一个长方形后，周长比原来的两个正方形周长的和减少6厘米。
原来一个正方形的周长是多少厘米？
例3．求图3和图4的周长。
（单位：
米）
图3图4
例4．
图7是一座厂房的平面图，求这座厂房平面图的周长。
例5．
图9是个多边形，图中每个角都是直角，它的周长是多少？
例6．
一个正方形被分成3个大小、形状完全不一样的长方形（如图10），每个小长方形的周长都是24厘米，求这个正方形的周长。
图10
例7．图11是由四个一样大的长方形和一个周长是4分米的小正方形拼成的一个边长是11分米的大正方形。
每个长方形的长和宽各是多少？
周长是多少？
例8．一根铁丝长12厘米，能围成几种长和宽都是整厘米数的长方形，每咱长方形的长和宽各是几厘米？
围成的正方形的边长是几厘米？
练习与思考
1．把一个长10厘米，宽5厘米的长方形，分成两个大小一样的正方形，每个正方形的周长是多少？
2．用一个长8厘米，宽4厘米的长方形与7个边长4厘米的正方形，拼成一个大正方形。
拼成的大正方形的周长是多少？
3．求图12、图13的周长。
4．图14是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？
5．
把一个正方形分成甲、乙两个部分（如图15），比较甲、乙两个部分周长的长短，并求出乙的周长。
1米
6．有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，把它们按图（16）的样子重叠在一起，这个图形的周长是多少厘米？
7．一个正方形被分成6个大小、形状完全一样的长方形（如图17），每个长方形的周长都是14厘米。
原来正文武的周长是多少厘米？
8．一块长方形布，周长是18米，长比宽多1米，这块布的长是几厘米？
宽是几米？
9．
用4个一样大的长方形和一个小正方形，拼成一个边长是16分米的大正方形（如图18），每个长方形的周长是多少？
第四讲长方形和正方形
（二）
例1.一块长方形土地，长是宽的2倍，中间有一座雕塑，雕塑的底面是一个正方形，周围是草坪（如图1），草坪的面积是多项式少平方米？
例2.图2是由6个相等的三角形拼成的图形，求这个图形的面积。
例3.已知图3中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形面积比小正方形多96平方厘米。
大正方形和小正方形的面积各是多少？
例4.如图4，正方形中套着一个长方形，正方形的边长是15厘米，长方形的四个角的顶点，恰好分别把正方形四条边都公成两段，其中长的一段是短的2倍。
这个长方形的面积是多少？
例5.如图5，已知正方形ABCD的边长为6分米，长方形BCEF和长方形AGHD的面积分别为24平方分米和20平方分米，求阴影部分和面积。
例6.一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能裁出多少个长是4厘米，宽是1厘米的纸条，请画图说明。
练习与思考
1.用长36厘米长的一根铁丝围成一个正方形，它的面积是多少？
用这根铁丝围成一个长12厘米的长方形，它的面积是多少？
2.有一个长方形的市民广场，长100米，宽80米。
广场中间留了宽4米的人行道，把广场平均分成四块（如图6），每一块的面积是多少？
3.图7是由12个相等的三角形拼成的，这个图形的面积是多少？
4.如图8，已知大正方形的面积比小正方形多52平方分米，大正方形比小正方形的边长多2分米。
小正方形的面积是多少？
大正方形的面积是多少？
5.图9是由9个小长方形组成的，按图中编号，第1，2，3，4，5号的面积分别是1平方米，2平方米，3平方米，4平方米，5平方米，那么，第6号长方形和面积是多少呢？
6.如图10，一个正方形中套着一个长方形，已知正方形的边长是16分米，长方形的四个角的顶点恰好把正方形四条边都分成两段，其中长的一段是短的3倍。
阴影部分的面积是多少？
7.图11中阴影部分的面积是多少？
8.把一块长6分米，宽5分米的长方形钢板，截成长3分米波，宽2分米的小长方形钢板，最多能截几块？
请画图说明。
第5讲算式谜
（一）
算式谜是一种有趣的数学问题，它的特点是在算术运算的式子中，使一些数字或运算符号“残缺”，要我们根据运算法则，进行判断推理，从而把“残缺”的算式补充完整。
研究和解决算式谜问题，有利于培养我们观察、分析、归纳、推理等思维能力。
从这个意义上讲，算式谜问题是一种很好的锻炼思维的“体操”。
例1．在下面算式的括号里填上合适的数。
（1）（）6（）（）
（2）（）0（）（）
+2（）15-3（）16
80914857
例2．A、B、C、D分别代表4个不同的数字，相同的字母代表相同的数字，求使得下面算式成立A、B、C、D各自代表的数字。
ABCD
ACD
+CD
1989
例3．A、B、C、D分别代表不同的数字，它们各是什么数字时同上面的算式成立？
ABCD
-CDC
ABC
例4．下面的算式中的“数”、“学”、“俱”、“乐”、“部”这五个汉字各应代表什么数字？
1数学俱乐部
×3
数学俱乐部1
例5．下面算式中不同的字母所找表的数字均不同，当这些字母代表什么数时，算式成立？
ABC
×DC
BEA
FAGH
FIGAA
例6．在括号里填数，使下面的竖式成立。
例7.下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，求这个算式。
新新×春春=新年年新
练习与思考
1．在□里填上适当的数，使等式成立。
（1）□64
（2）□□3
7□3-□□
+48□8
□042
2．下面算式中不同的图形代表不同的数，不同的字母代表不同的数，请将算式中的图形或字母还原成数字。
（1）1○2□
（2）ABCD
-□1△+ABED
3○○EDCAD
3．在（）里填上适当的事，使算式成立。
4．下面算式中汉字或字母分别代表不同的数字，请将汉字或字母还原成数字。
（1）
（2）
5．在□里填上适当的数，使算式成立。
（1）
（2）
6．下面算式中不同的汉字代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字，求出每个汉字所代表的数字。
认认×真真=踏踏实实
第六讲算式谜
（二）
例1．在五个3之间，添不适当的运算符号+,-,×,÷和（），使下面的算式成立。
33333=6
例2．将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个不同的数字分别填在□中，使下面三个算式成立。
□+□=□
□–□=□
□×□=□
例3．在1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中，添上+、-两种运算符号，使其结果都等于100（数字的顺序不能改变）。
123456789=100
例4．在下面的式子里加上括号，使等式成立。
（1）7×9+12÷3-2=23
（2）7×9+12÷3-2=75
练习与思考
1．从+、-、×、÷、（）中选出合适的符号，添入下列算式的五个数字之间，使算式成立。
（1）33333=1
（2）33333=5
（3）55555=10
（1）99999=20
2．把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字填到下面的圆圈内，使三道算式成立（每个数字只能用一次）。
○+○=○○-○=○○×○=○○
3．在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使结果等于99（数的顺序不能改变）。
987654321=99
4．把一个乘号和七个号添在下面算式合适的地方，使结果等于100（数的顺序不能改变）。
123456789=100
5．把+、-、×、÷分别填在适当的圆圈内6．在下面的算式中加上括号，
（每个运算符号只能用一次），并在方框中使等式成立。
填上适当的整数，使两个等式成立。
9○13○7=100
（1）6+36÷3-2×4=6
14○2○2=□
（2）6+36÷3-2×4=150
第七讲植树问题
（一）
在一定长度的线路上，等距离地安排若干个点植树，植树的棵数、株距（相邻两棵树之间的距离）与线路的总长之间存在某种数量关系，研究这种数量关系的问题通常被称为植树问题。
植树问题一般分为线段上的植树问题和环形线路上的植树问题。
1．线段上的植树问题分以下三种情形讨论：
（1）如果植树线路的两端都要植树，那么，
植树的棵数=线路和全长÷株距+1
线路的全长=株距×（植树的棵数-1）
株距=线路的全长÷（植树的棵数-1）
（2）如果植树线路的一端要植树，另一端不要植树，那么，
植树的棵数=线路和全长÷株距
线路的全长=株距×植树的棵数
株距=线路的全长÷植树的棵数
（3）植树的棵数=线路和全长÷株距-1
线路的全长=株距×（植树的棵数+1）
株距=线路的全长÷（植树的棵数+1）
2．环形线路上的植树问题，线路的全长、植树的棵树、株距之间的数量关系是：
植树的棵数=线路和全长÷株距
线路的全长=株距×植树的棵数
株距=线路的全长÷植树的棵数
从以上数量叛乱中容易看出：
植树的棵树，株距与线路的全长三个量中，只要知道其中的两个量，就能求出第三个量。
例1．在一条路的一边种树，从头到尾一共种了45棵，相邻两棵树之间相距5米，这条路长多少米？
例2．在一条长42米的街道两边，每隔6米插一面彩旗（两端不插），一共需要插多少面彩旗？
例3．在一个湖泊周围筑成周长是3060米的大堤，堤上每隔6米栽柳树1棵，然后在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，大堤上栽柳树和桃树各多少棵？
例4．把一根木头锯成4段需要6分，如果要锯成13段，需要多少分？
例5．小平和小亮同住在一幢大楼里，小平住五楼，小亮住四楼，小平每天回家要走80级台阶，小亮回家要走多少级台阶？
练习与思考
1．一条路长100米，在这条路的一旁从头到尾每隔5米插1面彩旗，一共要插多少面彩旗？
2．在一条长75米的长廊一边摆花盆，起点和终点都摆，一共摆了26盆。
相邻两盆花之间的距离相等，相邻两盆花之间相距多远？
3．在一条马路的两侧种树，每隔10米种一棵（两端都不种），这条马路全长240米，一共需种多少棵树？
4．在一条道路的两旁栽树，一共栽了32棵，每隔8米栽一棵（两端各栽一棵），这条路长多少米？
5．在一个鱼塘周围筑成周长是1200米的土堤，堤上每隔8米栽一棵杨树，然后要相邻两棵杨树中间栽一棵松树。
土堤上栽杨树和松树各多少棵？
6．有4根木料，每根都锯成6段，每锯开一处需付锯板费2元，全部锯完需付锯板费多少钱？
7．要把一根木头锯成5小段，每锯一小段要用15分。
李叔叔从上午8时10分开始锯，中间不休息，锯完时是几时几分？
8．小红家所在的那座楼房，每上一层楼要走21个台阶，到小红空要走126个台阶，小红家住几楼？
9．一个人到一幢十层大楼的第八层办事，不巧停电，电梯停开。
如果这个人从第一层走到第四层要48秒，那么，他以同样的速度从第四层走到第八层，需要多少秒？
10．在一条路的一边每隔8米放一盆花，连两端在内共放了16盆。
现在拿走花盆，种植小松树，连两端在内共种了7棵，相邻两棵小松树相距多远？
第8讲植树问题
（二）
例1．四年级学生260人排成十路纵队做操，也就是每十个人一排，排成放多排。
已知相邻两排之间相隔1米，这支队伍长多少米？
例2．时钟4点钟敲4下，6秒敲完，那么，8点钟敲8下，几秒敲完？
例3．在一个正方形广场四周安装路灯，四个顶点都装有一盏，这样每边都有15盏，四周共装路灯多少盏？
例4．一个老人以变的速度在公路上散步，他从第1根电线杆走到第12根电线杆用了22分。
如果这个老人走了36分，那么，他应该走到第几根电线杆？
（相邻两根电线杆之间的距离相等。
）
例5．两棵树相隔115米，中间原来没有树，现在中间以相等的距离增加22棵树后，第16棵树与第1棵树之间相隔多少米？
练习与思考
1．在马路的一边摆一排菊花，一共5盆，再在每两盆菊花中间摆3盆桂花，一共要摆我少盆桂花？
2．五
（1）班48名学生排成四路纵队，已知相邻两排之间相隔2米，这支队伍长多少米？
3．时钟6时敲6下，5秒敲完。
那么，这只钟12时敲12下，几秒敲完？
4．一位科学家在做一项实验，他从下午9时30分开始做第一次记录，以后每隔20分做一次记录，他做第七次记录时是几时几分？
5．在一个正方形操场四周插彩旗，四个顶点都插一面，这样每边都有10面。
四周共插彩旗多少面？
6．小平以不变的速度在小路上散步，他从第1棵树走到第7棵树用了24分。
如果他走了40分，应该走到第几棵树？
（相邻两棵树之间的距离相等。
）
7．两棵树相隔220米，在中间以相等的距离增加10棵树后，第1棵树与第7棵树之间相隔多少米？
8．要两棵松树之间以相等的距离摆放了14盆花（松树与相邻花盆的间隔等于相邻两盆花的间隔），第1棵松树与第5盆花相隔10米，那么，两棵松树相隔多远？
9．一座桥全长168米，计划在桥的两侧栏杆上各安装16志广告牌，每块广告牌的横长为3米，靠近桥两头的广告牌距离桥端都是15米。
相邻两块广告牌之间相隔几米？
10．有一根180厘米长的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断，绳子共被剪成了多少段？
能力测试
（一）
（满分100分，90分钟完成）
一、填空题（每小题4分，共44分）。
1．已知1993个6月1日是星期二，那么，1994年6月1日是星期（）。
2．一场排球赛，从19时30分开始，共进行了155分。
这场比赛（）时（）分结束。
3．找出下面各组数排列的规律，并根据规律在括号或方框里填上合适的数。
（1）8，12，16，20，（）。
（2）1，5，25，125，（）
（3）1，4，9，16，25，36，49，（）
（4）（1，4），（6，12），（11，20），（16，28），（21，□），（26，44）。
（5）
5
11
6
3
18
15
8
4
4．用一块长6米、宽3米的长方形铁皮，拼成的大方形铁皮的周长是（）。
5．两个大小相同的正方形拼成一个长方形后，长方形的周长比原来的两个正方形周长的和减少了10厘米，原来每个正方形的周长是（）。
6．在一个湖泊周围筑了一条大堤，堤上每隔
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