切割线定理习题.docx

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切割线定理习题

切割线定理

回顾旧知:

请结合以上的两图写出相交弦圧理及推论的内容：

相交弦窪理：

二、探索发现：

P点从圆内向圆外移动时结论：

PA・PB=PC・PD是否成立你能给出合理的证明吗

三、练习：

（1）已知PAB.PCD是圆0的割线，PA=5,AB=3,CD二3,则PC=

（2）已知PT是圆0的切线，PA二4,PT=6,

则圆O的而积=

D

（3）已知：

圆0、O?

圆相交于A、B,P是BA延长线上的一点，PCD是圆。

的割线,

PEF是圆Q的割线,

求证:

PC・PD二PE・PF

巩固加深

一、选择题（共15小题）

1.如图，PAB为割线且PA二AB,P0交OO于C,若0C=3,OP二5,则AB的长为（）

A.V10B.2^2C.V6D.V5

第1题第2题第3题

2・如图，00的割线PAB交00于点A,B,PA=14cm,AB二10cm,P0二20cm,则OO的半径是（）

A.8cmB.10cmC.12cmD.14cm

3.如图，已知00的弦AB、CD相交于点P,PA二4cm,PB=3cm,PC=6cm.EA切OO于点A,

AE与CD的延长线交于点E,若AE=2V5cm,则PE的长为（）

A.4cm

B.3cm

C.5cm

4.如图，OOi与002相交于A、B两点，PQ切OOi于点P,延长线于点N・

若MN=1.MQ=3,则NP等于（）

C.2

D.V2cm

交002于点Q、M,

交AB的

第4题

5.如图，PAB、

第7题

则CD等于（）

第5题

PCD是OO的两条割线,PA二3,AB二5,PC二4,

D.

15

T

B.3

12

45

A.15cm

B.10cm

D.5cm

6.已知PA是OO的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=10cm,PB=5cm,则00的半径长为（）

7.（2004・锦州）如图，00和OCT都经过点A和点B,点P在BA的延长线上，过P作00

的割线PCD交00于C.D,作00,的切线PE切OCT于E,若PC=4,CD=5,则PE等于（）

B.

A.6

C.20

2V5

&如图OO的两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）

A.CE*CD=BE*BA

B.CE・AE=BE・DE

D.PGPA二PB・PD

C.POCA二PB・BD

第8题

9・已知AB为OO的直径，

CD二4,则OO的半径长是（）

第口题

第10题

C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D,若BC=2,

D.无法计算

10.如图.已知OOi.002相交于A、B两点，且点6在002上，过A作001的切线AC

交B0i的延长线于点P,交002于点C,BP交OOi于点D,若PD=1,PA出，则AC的长为（）

a.VbB.2a/bc.2+a/bd.3晶

11.如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB,PCD分別为这两圆的割线.若PA=3,

PB二6,PC=2,则PD等于（）

C.8

22・如图，在RtAABC中，AC=5t则OO的半径是（

A.卫

3

BC=12,

OO分别与边AB,AC相切，切点分别为E,C,

20

3

第12题第13题第14题

23・如图，已知PAC为OO的割线，连接P0交00于B,PB=2,0P=7,PA二AC,则PA的长

为（）

A.VrB.2^3c.V14D.3V2

14.如图,PA,PB为OO的切线，A,B分别为切点,ZAPB二60。

，点P到圆心0的距离0P=2,

则OO的半径为（）

15.（2007＜双柏县）如图，已知PA是OO的切线，A为切点,00相交于B、C两点，PB=2cm,BC=8cm»则PA的长等于（

A.4cm

C.20cm

B.16cm

D.

二填空题（共15小题）（除非特别说明，请填准确值）

交于点P，PN与002相切于点N,若PB=10,AB二6,则PN二

16.（2003＞泸州）如图，OOi与002相交于C、D两点，001的割线PAB与DC的延长线

第16题第27题第18题

17.如图，PA切OO于点A,割线PBC交OO于点B、C,若PA=6,PB二4,狐AB的度数为

60%贝ljBC=,ZPCA=度，ZPAB=度.

18.如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆0的直径，CE切00于E,与BA的延长线交于F,EF的长•

29.如图，已知OO的割线PAB交OO于点A和B,PA二6cm,AB二8cm,P0交00于点C,

第19题第20题第21题

20.如图，PA、PB与OO分别相切于点A、点B,AC是00的直径，PC交00于点D,已

知ZAPB=60\AC=2,那么CD的长为・

21・如图.在ZkABC中，ZC=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D,且AD二，BD=»则AC=cm.

22.如图，PT是半径为4的00的一条切线，切点为T,PBA是经过圆心的一条割线，若B是0P的中点，则PT的长是・

第22题第23题第24题

23・如图，已知OO的弦AB、CD相交于点P,PA=4,PB二3,PC=6>EA切00于点A,AE

与CD的延长线交于点E.AE=2街，那么PE的长•

24・如图，00的割线PAB交00于点A、B,PA=7cm,AB二5cm,P0=10cm,则OO的半径为.

26.如图，PT是OO的切线，切点是T,M是OO内一点，PM及PM的延长线交OO于B,

C,BM=BP=2,PT=2V5>0M=3,那么OO的半径为・

27.如图，已知AB是O0的直径，BC是和00相切于点B的切线，。

0的弦AD平行于0C,

若0A=2,且AD+OC二6,贝IJCD二・

28.如图，已知PA为00的切线，PBC为00的割线，PA=6血，PB=BC,的半径0C=5・那么弦BC的弦心距0M二

第28题第29题第30题

29.如图，已知RtAABC的两条直角边AC,BC的长分别为3,4,以AC为直径作圆与斜边

AB交于点D,则AD二・

30.如图，PT切00于点T,直径BA的延长线交PT于点P,若PT二4,PA二2,则OO的半径

长是■

31.如图，AB是（30的直径，CB、CE分别切00于点B、D,CE与BA的延长线交于点E,连接OC、0D.

（1）△OBC与厶ODC是否全等（填"是"或“否"）:

（2）已知DE=a,AE=b,BC=c,请你思考后，选用以上适当的数，设计出计算00半径r的

一种方案：

1你选用的已知数是;

2

写出求解过程.（结果用字母表示）

【单点训练】切割线定理

参考答案与试题解析

一.选择题（共15小题）

1.（2004・呼和浩特）如图，PAB为割线且PA=AB,P0交00于C,若0C=3,0P=5,则AB的长为（）

A.

c.Ved.V5

考点：

v

切割线定理.

专题：

计算题.

分析：

延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EB,AC,由半径0C的长，得到半径0E的长，再由0E+0P得岀EP的长，0P・0C得出CP的长.由PA二AB,设出PA=AB=x,则BP=2x，根据四边形ACEB为圆0的内接四边形，利用圆内接四边形的外角等于它的内对角得到一对角相等，再由公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形ACP与三角形EBP相似，由相似得比例，将各自的长代入列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AB的长.

解答：

解：

延长P0到E,延长线与圆0交于点E,连接EB・AC,

:

.EP=OE+OP=3+5=8,CP=0P-0C=5-3=2,设PA二AB二x,则BP=2x,

・・・四边形ACEB为圆0的内接四边形，

・•・ZACP=ZE,又ZP=ZP,

・•・△ACP-△EBP,

・p[]2x

■■II-■•Rp・・■■,

BPEP2k8

解得：

x=2近或x=-2近（舍去），

则AB二2近・

故选B

点评：

-

此题考査了圆内接四边形的性质，相似三角形的判左与性质，利用了转化及方程的思想，其中作岀如图所示的辅助线是解本题的关键.

2.（2006*泰安）如图，00的割线PAB交00于点A,B,PA=14cm,AB二10cm,PO=20cm,

则OO的半径是（）

10cm

C.

12cm

D.14cm

考点：

切割线泄理.

分析：

根据切割线左理代入公式即可求解.

解答：

解：

设圆O的半径是x,

则PA>PB=（PO-r）（PO+r）,

・•・14x（14+10）=（20-x）（20+x）,

解得x=&故选A.

点评：

本题的关键是利用割线左理求线段的长.

3.（2004＞镇江）如图，已知OO的弦AB.CD相交于点P,PA=4cm,PB=3cm,PC=6cm,EA

4cm

B・3cm

C・5cm

则PE的长为（

D・V2cm

A.

考点:

切割线定理：

相交弦左理.

分析：

首先根据相交弦上理得PA・PB=PC・PD,得PD=2.设DE=x,再根据切割线左理得ae2=ed*ec,即

x（x+8）=20>x=2或（负值舍去），则PE=2+2=4・

解答：

解：

•・•PA・PB二PC・PD,PA=4cm,PB二3cm,PC=6cm,

・•・PD=2；

设DE二x,

•・•AE?

二ED・EC,

x（x+8）=20,

（

・•・x=2或x=-10（负值舍去）,

・•・PE=2+2=4・

故选A.

点评：

此题综合运用了相交弦左理和切割线怎理.

4.（2004・淮安）如图，001与002相交于A、B两点，PQ切OO］于点P,交于点Q、M,交AB的延长线于点N.若MQ=3,则NP等于（）

A.-B.V3

C.2

D・3

考点：

切割线立理：

切线长左理.

•根据切线长左理得PN2=NB>NA,根据割线左理得NB・NA二NM・NQ,所以PN2=NM*NQ

分析：

即可求得PN的长.

解答：

解：

•・•pn2=nb*na,nb・na二nm・nq,

・•・PN2=NM>NQ=4,

・•・PN=2・

故选c.

点评：

此题能够有机地把切割线定理和割线定理相结合，把要求的线段和已知的线段联系到—起.

5.（2004・三明）如图，PAB、PCD是00的两条割线，PA二3,AB二5,PC=4,则CD等于（）

B

D

12

5

考点：

切割线定理.

分析：

首先求得PB的长，再根据割线左理得PC・PD=PA・PB即可求得PD及CD的长.

解答:

解：

・••PA=3,AB二5,PC=4i

・・.PB二&

•・•PC・PD二PA・PB,

I

・•・PD二6,

・•・CD二6-4=2・

故选B.

点评：

此题主要是运用了割线左理.

6.（2005>荆门）已知PA是00的切线，A为切点，PBC是过点0的割线，PA=10cm,PB=5cm,则OO的半径长为（）

A.15cm<10cmC.D・5cm

B・

考点：

切割线泄理.

分析」

根据切割线宦理分析解答.

解答：

解：

根据切割线定理的pa2=po*pc,

所以100=5xPC,PC=20cm,BC=20-5=15cm・

因为PBC是过点0的割线，

所以00的半径长为15xi・

2

故选C.

点评：

利用切割线解题时要注意BC是直径，而求得是半径，不要误选A.

7.（2004・锦州）如图，00和OCT都经过点A和点B,点P在BA的延长线上，过P作00的割线PCD交00于C.D,作00,的切线PE切OCT于E,若PC=4,CD=5,则PE等于（）考点：

切割线泄理.

A.6

B

C.20

D.

分析：

根据割线定理得PA・PB=PC・PD,根据切割线立理得PE2=PA・PB,所以PE2=PC*PD.从而可求得PE的长.

解答：

解：

•・•PA・PB二PC・PD,PE2=PA*PB,PC=4,CD=5,

・•・PE2=PC*PD=36t

・•・PE=6・

故选A・

点评：

注意：

割线定理和切割线泄理的运用必须在同一个圆中.这里借助割线PAB,把要求的线段和已知线段建立了关系.

&（2004・天津）如图OO的两条弦AB、CD相交于点E,AC与DB的延长线交于点P,下列结论中成立的是（）

C.PC・CA二PB・BDD・PC・PA二PB・PD

CE・AE二BE・DE

考点：

切割线泄理：

相交弦左理.

分析：

根据相交弦建理的割线能理即可求解.

-解：

由相交弦定理知，CE・ED=BE・AE,由割线泄理知，PC・PA=PB・PD,只有D正确.

解答：

故选D.

点评：

本题利用了相交弦定理和割线宦理.

9・（2003・资阳）已知AB为OO的直径，C为AB的延长线上一点，过C的直线与相切于点D,若BC=2,CD二4,则00的半径长是（）

A.3，6C.8D・无法计算

B.

考点：

切割线定理.

分析：

I

设圆的半径是x,根据切割线宦理得CD2=CB・AC,可求得CA与AB的长，从而可得到圆的半径.

解答：

解：

设圆的半径是x；

•・•CD2二CB・AC,BC=2tCD二4.

・•・CA二&

AB=6>

・・・圆的半径是3・

故选A・

点评：

此题主要是运用了切割线泄理.

10.（2003>武汉）如图，已知OO1.002相交于A、B两点，且点01在002±,过A作001的切线AC交BOi的延长线于点P,交002于点C,BP交001于点D,若PD=1,PA=V5，则AC的长为（）

A-VsB・2VsC・2+Vs》3Vs

考点：

切线的性质；勾股泄理；切割线左理.

专题：

综合题.

分析：

根据PA2=PD*PB,作为相等关系可求得PB=5,BD=4,0iD=0iB=2,再根据割线定理PA・PC二P0—PB,可求得PC=3（^,从而求得AC=2V5・

&解：

•・•PA2=PD*PB>即（馅〉2=lxPBt

解答：

解得PB=5,

・•・BD=BP-PD=5-1=4,OiD=OiB=44-2=2,

•・・PA>PC=P0i*PB,

VSxPC=3x5,

即PC=3码

・•・AC=PC-AP=3a/5-衝.

故选B.

点评：

•

根据切割线左理和割线定理解答.此题要关注两个关键点：

A为两圆交点，PB过点

01.

11.（2004.温州）如图，PT是外切两圆的公切线，T为切点，PAB.PCD分别为这两圆的割线.若PA二3,PB二6,PC=2,则PD等于（）

考点：

切割线泄理.

分析：

根据切割线左理得PT?

二PA・PB,PT2=PC>PD,所以PA・PB二PC・PD,从而可求得PD的长.

解答:

解：

•・•PT2=PA>PBtPT2=PC>PD,

・・.PA・PB二PC・PD,

・.・PA二3,PB二6,PC二2,

・・・PD二9・

故选B.

点评：

注意：

切割线左理和割线左理都是在同一个圆中运用的.此题借助切线把要求的线段和已知线段联系到了一起.

12.（2006・临沂）如图,在RtAABC中，AC=5,BC=12,OO分别与边AB,AC相切,切点

分别为E,c,5

UJOO的半径是（）

B

b

2c

>卫

B.16

c.20

D.23

A.3

3

3

3

考点：

1

切割线定理：

切线长左理.

分析：

根据切线长左理得AE二AC,根据勾股泄理得AB的长，从而得到BE的长，再利用切割线立理得BE2=BD*BC,从而可求得BD的长，也就得到了半径的长.

解答：

解:

B/AE=AC=5,AC=5,BC=12,

・•・AB二13,

・•・BE二&

・・•BE?

二BD・BC,

・・・圆的半径是丄p,

3

故选A.

点评：

此题综合运用了切线长左理、勾股龙理和切割线左理.

13.（2004・沈阳）如图，已知PAC为OO的割线,连接PO交OO于B,PB=2,OP=7,PA二AC,则PA的长为（）

PB\0

A.VYe2^3c.V14D.3^2

B.

考点：

切割线泄理.

分析:

•

设PA=x,延长P0交圆于D,根据割线泄理得PA・PC=PB・PD即可求得PA的长，也就求得了AC的长.

解答：

解：

设PA=x,延长P0交圆于D,

•/PA・PC=PB・PD,PB=2,0P=7,PA=AC,

/.x・2x=24,

x=2a/3・

故选B・

C

点评：

此题通过作辅助线构造割线定理列方程求解.

14.（2006*永州）如图,PA,PB为00的切线，A,B分别为切点,ZAPB=60\点P到圆心0的距离0P=2,则00的半径为（）

考点：

切割线左理；等边三角形的性质；勾股立理.

分析：

根据切线长左理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角,可知zAPO的度数，连接0A,可知0A丄AP,故在RtAAOP中，根据三角函数公式，可将半径求出.

解答：

解：

连接0A

•・・PA为00的切线

・•・PA丄OA

・.・zAPO=-lzAPB=3O°

2

・•.OA=OPxsinZAPO=2xil

2

00的半径为i

故选B・

A

点评：

本题主要考查圆的切线长泄理.

15.（2007・双柏县）如图，已知PA是00的切线，A为切点，PC与OO相交于B.C两点,PB=2cm,BC=8cm,则PA的长等于（）

16cm

C.20cm

考点：

切割线定理.

分析：

根据已知得到PC的长，再根据切割线左理即可求得PA的长.

解答：

解：

PB=2cm,BC=8cm>

PC=10cmt

・.・PA?

二PB・PC=20,

・•・PA二2屈

>

故选D・

点评：

此题主要是运用了切割线定理.注意：

切线长的平方应是PB和PC的乘积.

二、填空题（共15小题）（除非待别说明，请填准确值）

16.（2003・泸州）如图，OO1与002相交于C、D两点，001的割线PAB与DC的延长线交于点P,PN与002相切于点N,若PB=10,AB=6,贝ljPN=2顷•

02

fD

考点：

切割线泄理.

>根据割线泄理和切割线左理，可以证明pa・pb=pc・pd=pn2,从而求得PN的值.

分析：

解答：

解：

根据割线定理,得PA・PB二PC・PD二（10-6）xl0=40,

根据切割线建理，得PN2=PC・PD=40,

则PN=2VT0・

故答案为：

2\/10.

点评：

此题综合运用了割线左理和切割线立理进行计算.

17・（2003・常州）如图，PA切OO于点A,割线PBC交00于点B.C,若PA=6,PB二4,弧

ZPCA=

30

度，ZPAB二30

度.

考点：

切割线定理：

圆心角、弧、弦的关系：

圆周角泄理.

分析：

根据切割线左理得PA2=PB.PC可求得PC与BC的长，根据圆周角左理知：

圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，即ZPCA=30°,最后根据弦切角左理得ZPAB=30。

.

解答：

解：

•・•PA2=PB>PC.PA二6,PB=4；

・•・PC=9,

・•・BC=5；

•.•弧AB的度数为60。

・•・ZPCA=30%

・•・ZPAB=30°.

点评：

此题综合运用了切割线左理和圆周角、弦切角与弧的度数的关系.

18.（2001*内江）如图，ABCD是边长为2a的正方形，AB为半圆O的直径，CE切OO于E,与BA的延长线交于F,求EF的长.

答：

EF二_§a・

D

考点：

切割线泄理：

圆周角左理.

分析：

本题利用切线的性质，割线泄理，及圆周角定理，结合相似三角形的性质解答.解答：

解：

连接0E：

•・•CE切00于E,

・•・0E丄CF,

・•・△EF0〜&BFC,

・0E.FE.

'■bcTb'

又•・•oe」ab=Abc,

22

・•・EF=-FB；

2

设EF二x,则FB二2x,FA=2x-2a：

•・•FE切00于E,

・•・FE2=FA*FB,

・•.x2=（2x-2a）・2x,

解得

3

EF」a.

3

%本题考査切线的性质、切割线宦理、相似三角形性质、以及正方形有关性质.解答此

点评：

题的关键是连接0E,构造出相似三角形，再解答.

19.（1999*贵阳）如图，已知00的割线PAB交OO于点A和B.PA=6cm,AB=8cm,P0交00于点C,且PO=10cm＞则OO的半径为4cm・

考点：

切割线定理.

分析：

延长P0交OO于D,设OO的半径是xcm.根拯割线左理列方程求解./解：

延长PO交00于D,设00的半径是xcm.

解答：

根据割线定理，得

PA・PB二PC・PD・

即（10・x）（10+x）=6x（6+8）,

100-x2=84,

x2=16>

x=±4（负值舍去）.

即圆的半径是4cm・

此题主要是通过作辅助线，构造割线，熟练运用割线立理列方程求解.点评：

20.（2002・四川）如图，PA、PB与OO分别相切于点A、点B,AC是OO的直径，PC交OO

于点D,已知ZAPB二60°,AC=2,那么CD的长为

考点：

切割线泄理：

切线的性质.

分析：

连接AD,OB,OP,根据已知可求得AP,PC的长，再根据切割线定理得，PA2=PD*PC,从而可求得PD与CD的长.

・解：

连接AD,OB・OP：

解答：

TPA、PB与OO分别相切于点A、点B,

・•・ZOAP二ZOBP=90°,ZAOB=180°・ZP=120%

・・・ZAOP二60°,AP=AOtan60°=V3>

・•・pc=Vt；

・・・PA2=PD

本题考查切线的性质，勾股左理，四边形的内角和为360%切割线左理等的综合运用.

点评:

21.（2004・泸州）如图，在AABC中.ZC=90度.以BC为直径作00与斜边AB交于点D,且AD二,BD二，则AC=4cm・

考点：

切割线定理：

切线的判左.

分析：

先根据已知条件，证得AC是00的切线：

然后运用切割线泄理求出AC的长.色解:

BC是OO的直径，AC丄BC,