抛物线大题专练30题docx.docx

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抛物线大题专练30题docx

目录--------------------------------------------------------------------------------------------------------1

抛物线大题专练

（一）--------------------------------------------------------------------------------------1

抛物线大题专练

（二）--------------------------------------------------------------------------------------4

抛物线大题专练（三）--------------------------------------------------------------------------------------7

抛物线大题专练-----------------------------------------------------------------------------------------------9

参考答案与试题解析-----------------------------------------------------------------------------------------9

抛物线大题专练

（一）

1．已知抛物线

C的方程为

2

，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线

C上，且它到抛物线

C的准线距离为

；

x=2py

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），

求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线

2

y=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，﹣2）作抛物线的切

线MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点

B，C，与直线OA交于点N．

1

（1）求抛物线的方程；

（2）试问：

的值是否为定值？

若是，求出定值；若不是，说明理由．

3．如图所示，设

F是抛物线

2

（p＞

0）的焦点，过点

F作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2

，且k1?

k2=

E：

x=2py

﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点

C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为

3（O为

坐标原点）．

（1）求抛物线E的方程；

（2）若?

+?

=64，求直线l1、l2的方程．

2

4．已知抛物线C：

y=2px（p＞0），点A、B在抛物线C上．

（Ⅰ）若直线AB过点M（2p，0），且|AB|=4p，求过A，B，O（O为坐标原点）三点的圆的方程；

（Ⅱ）设直线OA、OB的倾斜角分别为α，β且α+β=，问直线AB是否会过某一定点？

若是，求出这一定点的

坐标，若不是，请说明理由．

2

2

5．已知点A（2，1）在抛物线E：

x=ay上，直线l1：

y=kx+1（k∈R，且k≠0）与抛物线E相交于B，C两点，直

线AB，AC分别交直线l2：

y=﹣1于点S，T．

（1）求a的值；

（2）若|ST|=2，求直线l1的方程；

（3）试判断以线段ST为直径的圆是否恒过两个定点？

若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由．

2

6．已知抛物线y=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）

①求抛物线方程；

②求△ABS面积的最大值．

7．已知抛物线

2

x+b与抛物线交于

A，B两点．

y=4x，直线l：

y=﹣

（Ⅰ）若x轴与以AB为直径的圆相切，求该圆的方程；

（Ⅱ）若直线

l与y轴负半轴相交，求

△AOB面积的最大值．

3

2

2

t（t＞0）为半径的圆分

8．抛物线M：

y=2px（p＞0）的准线过椭圆N：

+y=1的左焦点，以原点为圆心，以

别与抛物线M在第一象限的图象以及

y轴的正半轴相交于点A和B，直线AB与x轴相交于点C．

（Ⅰ）求抛物线

M的方程；

（Ⅱ）设点A

的横坐标为a，点C的横坐标为c，抛物线M上点D的横坐标为a+2，求直线CD的斜率．

9．已知抛物线

2

与F2关于坐标原点对称，以

F1，F2

为焦点的椭圆C，过点（1，

），

y=4x的焦点为F2，点F1

（Ⅰ）求椭圆

C的标准方程；

（Ⅱ）设T（2，0），过点F2作直线l与椭圆C交于A，B两点，且

=λ

，若λ∈[﹣2，﹣1]，求|+

|2的

最小值．

抛物线大题专练

（二）

10．（2015?

福建模拟）如图，已知抛物线

2

的焦点为F，过点P（2，0）且斜率为k1

的直线交抛物线于

A（x1，

y=4x

y1），B（x2，y2）两点，直线AF、BF分别与抛物线交于点

M、N．

（Ⅰ）证明

?

的值与k1无关；

（Ⅱ）记直线MN的斜率为k2，证明为定值．

11．已知过点M（，0）的直线l与抛物线

2

?

=﹣3，其中O为坐标原点．

y=2px（p＞0）交于A，B两点，且

（1）求p的值；

（2）当|AM|+4|BM|最小时，求直线

l的方程．

12．已知过点

M（，0）的直线

l与抛物线

2

（p＞0）交于A，B两点，且

?

=﹣3，其中O为坐标原

y=2px

点．

（1）求p的值；

4

（

2）若圆x2+y2﹣2x=0与直线l相交于以C，D（A，C两点均在第一象银），且线段AC，CD，DB长构成等差数列，求直线l的方程．

13．已知点A（﹣4，4）、B（4，4），直线AM与BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率之差为﹣

2，点M的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的轨迹方程；

（Ⅱ）Q为直线y=﹣1上的动点，过Q做曲线C的切线，切点分别为D、E，求△QDE的面积S的最小值．

2

14．如图所示，已知过抛物线x=4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点．

（1）求证：

以AF为直径的圆与x轴相切；

2

M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程：

（2）设抛物线x=4y在A，B两点处的切线的交点为

（3）设过抛物线

2

=1的交点为C、D，是否存在直线l使得|AF|?

|CF|=|BF|?

|DF|，

x=4y焦点F的直线l与椭圆+

若存在，求出直线

l的方程，若不存在，请说明理由．

15．已知抛物线C：

y

2

=2px（p＞0），直线交此抛物线于不同的两个点

A（x1，y1）、B（x2，y2）

（1）当直线过点

M（p，0）时，证明y1．y2为定值；

（2）如果直线过点

M（p，0），过点M再作一条与直线垂直的直线

l′交抛物线C于两个不同点D、E．设线段AB

的中点为P，线段DE的中点为Q，记线段PQ的中点为N．问是否存在一条直线和一个定点，使得点

N到它们的

距离相等？

若存在，求出这条直线和这个定点；若不存在，请说明理由．

16．（2014?

陕西）如图，曲线

C由上半椭圆C1：

+=1（a＞b＞0，y≥0）和部分抛物线

2

（y≤0）

C2：

y=﹣x+1

连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为．

（Ⅰ）求a，b的值；

（Ⅱ）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．

5

2

（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点

A的直线l交

17．（2014?

山东）已知抛物线C：

y=2px

C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有丨FA丨=丨FD丨．当点A的横坐标为

3时，△ADF为正三角形．

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）若直线

l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点

E，

（ⅰ）证明直线

AE过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值？

若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

18．（2014?

安徽）如图，已知两条抛物线

2

2

E1：

y=2p1x（p1＞0）和E2：

y=2p2x（p2＞0），过原点O的两条直线l1

和l2，l1与E1，E2分别交于A1、A2两点，l2与E1、E2分别交于B1、B2两点．（Ⅰ）证明：

A1B1∥A2B2；

（Ⅱ）过O作直线l（异于l1，l2）与E1、E2分别交于C1、C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与

S2，求的值．

19．（2014?

福建）已知曲线Γ上的点到点F（0，1）的距离比它到直线y=﹣3的距离小2．

（Ⅰ）求曲线Γ的方程；

（Ⅱ）曲线Γ在点P处的切线l与x轴交于点A．直线y=3分别与直线l及y轴交于点M，N，以MN为直径作圆C，

过点A作圆C的切线，切点为B，试探究：

当点P在曲线Γ上运动（点P与原点不重合）时，线段

AB的长度是否

发生变化？

证明你的结论．

20．（2014?

江西）如图，已知抛物线

2

C相交于A，B两点，过点B作y

C：

x=4y，过点M（0，2）任作一直线与

轴的平行线与直线

AO相交于点D（O为坐标原点）．

（1）证明：

动点

D在定直线上；

2

（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N1，与

（1）中的定直线相交于点

N2，证明：

|MN2|

2

﹣|MN1|为定值，并求此定值．

6

抛物线大题专练（三）

2

）（t是大于0的常数）．

21．（2014?

杭州二模）设抛物线Γ：

y=2px（p＞0）过点（t，

（Ⅰ）求抛物线Γ的方程；

（Ⅱ）若F是抛物线Γ的焦点，斜率为1的直线交抛物线

Γ于A，B两点，x轴负半轴上的点

C，D满足|FA|=|FC|，

|FD|=|FB|，直线AC，BD相交于点E，当

时，求直线AB的方程．

22．（2014?

包头一模）设抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴交于点R，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．

（1）若∠BFD=120°，△ABD的面积为8，求p的值及圆F的方程；

（2）在

（1）的条件下，若A，B，F三点在同一直线上，FD与抛物线C交于点E，求△EDA的面积．

23．（2014?

长春三模）已知抛物线C：

y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，

N两点，且|MN|=8．

（1）求抛物线C的方程；

（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．

2

B在第四象限，l1、l2

24．（2014?

长沙二模）已知A、B为抛物线C：

y=4x上的两个动点，点A在第一象限，点

分别过点A、B且与抛物线C相切，P为l1、l2的交点．

（Ⅰ）若直线AB过抛物线C的焦点F，求证：

动点P在一条定直线上，并求此直线方程；

（Ⅱ）设C、D为直线l1、l2与直线x=4的交点，求△PCD面积的最小值．

2

A（x1，y1）、B（x2，

25．（2015?

上海模拟）如图，直线l：

y=kx+b与抛物线x=2py（常数p＞0）相交于不同的两点

y2），且|x2﹣x1|=h（h为定值），线段AB的中点为D，与直线l：

y=kx+b平行的切线的切点为

C（不与抛物线对称

轴平行或重合且与抛物线只有一个公共点的直线称为抛物线的切线，这个公共点为切点）

．

（1）用k、b表示出C点、D点的坐标，并证明CD垂直于x轴；

（2）求△ABC的面积，证明△ABC的面积与k、b无关，只与h有关；

（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连AC、BC，再作与AC、BC平行的切线，切点分别为E、F，

小张马上写出了△ACE、△BCF的面积，由此小张求出了直线l与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？

请你说出理由．

7

26．（2014?

乌鲁木齐三模）已知抛物线

2

A，B

y=2px（p＞0）的焦点过F，过H（﹣，0）引直线l交此抛物线于

两点．

（1）若直线AF的斜率为2，求直线BF的斜率；

（2）若p=2，点M在抛物线上，且

+=t，求t的取值范围．

27．（2014?

太原二模）已知抛物线

2

与抛物线交于不同的两点

A、B，直线l2与抛物线交

y=4x的焦点为F，直线l1

于不同的两点C、D．

（Ⅰ）当l1过F时，在l1上取不同于F的点P，使得

=

，求点P的轨迹方程；

（Ⅱ）若l1与l2相交于点Q，且倾斜角互补时，|QA|?

|QB|=a|QC|?

|QD|，求实数a的值．

28．（2014?

合肥一模）已知△ABC的三个顶点都在抛物线

2

F满足

，

y=2px（p＞0）上，且抛物线的焦点

若BC边上的中线所在直线l的方程为mx+ny﹣m=0（m，n为常数且m≠0）．（Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）O为抛物线的顶点，△OFA、△OFB、△OFC的面积分别记为S1、S2、S3，求证：

为定值．

29．（2014?

呼和浩特一模）已知抛物线

2

C：

y=2px（p＞0），直线l过定点A（4，0）且与抛物线C交于P、Q两点，

若以弦PQ为直径的圆E过原点O．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当圆E的面积最小时，求

E的方程．

30．（2014?

普陀区一模）已知点

P（2，0），点Q在曲线C：

y

2

=2x上．

（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|=2，求点Q的坐标；

（2）求|PQ|的最小值．

8

抛物线大题专练

参考答案与试题解析

2

C上，且它到抛物线

C的准线距离为

；

1．已知抛物线C的方程为x=2py，设点M（x0，1）（x0＞0）在抛物线

（1）求抛物线C的方程；

（2）过点M作倾斜角互补的两条直线分别交抛物线C于A（x1，y1），B（x2，y2）两点（M、A、B三点互不相同），求当∠MAB为钝角时，点A的纵坐标y1的取值范围．

考点：

抛物线的简单性质．

专题：

计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）由抛物线的定义，求出

p，即可求抛物线C的方程；

（2）设直线AM的方程为：

y=k（x﹣1）+1，与抛物线方程联立，求出

k的范围，利用

，即可求

出点A的纵坐标y1的取值范围．

解答：

解：

（1）由定义得

2

，则抛物线C的方程：

x=y

（2）设直线

AM的方程为：

y=k（x﹣1）+1

联立方程

得x2﹣kx+k﹣1=0，A（k﹣1，（k﹣1）2），△1＞0即k≠2

同理B（﹣k﹣1，（﹣k﹣1）2），△2＞0即k≠﹣2，

令，

则

所以k＞2或，

所以

点评：

本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．

9

2．（2015?

淮安一模）在平面直角坐标系

2

xOy中，已知抛物线y=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，过点M（0，

﹣2）作抛物线的切线

MA，切点为A（异于点O）．直线l过点M与抛物线交于两点

B，C，与直线OA交于点N．

（1）求抛物线的方程；

（2）试问：

的值是否为定值？

若是，求出定值；若不是，说明理由．

考点：

抛物线的简单性质．

专题：

计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）由抛物线的准线方程可得

p，进而得到抛物线方程；

（2）求出函数y=﹣

的导数，求出切线的斜率，以及切线方程，联立切线方程和抛物线方程求得切点

A，进而直

线OA的方程，设出直线

BC的方程，联立抛物线方程运用韦达定理，求出

N的坐标，代入所求式子化简即可得到

定值2．

解答：

解：

（1）由题设知，

，即

，

2

所以抛物线的方程为y=x；

（2）因为函数的导函数为，

设A（x0，y0），则直线MA的方程为，

因为点M（0，﹣2）在直线MA上，所以﹣2﹣y0=﹣?

（﹣x0）．

联立，解得A（16，﹣4），

所以直线OA的方程为．

设直线BC方程为y=kx﹣2，

由，得k2x2﹣（4k+1）x+4=0，

所以．

由，得．

10

所以，

故

的为定值2．

点评：

本题考查抛物线的方程和性质，

考查直线方程和抛物线方程联立，

运用韦达定理，以及导数的运用：

求切线方程，考查运算能力，属于中档题和易错题．

3．（2014?

九江三模）如图所示，设

2

F作斜率分别为k1、k2的两条直

F是抛物线E：

x=2py（p＞0）的焦点，过点

线l1、l2，且k1?

k2=﹣1，l1与E相交于点A、B，l2与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．

（1）求抛物线E的方程；

（2）若?

+?

=64，求直线l1、l2的方程．

考点：

抛物线的简单性质．

专题：

综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析：

（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段

OF的垂直平分线

y=上，求出p，即可求抛物线

E的方程；

（2）利用

?

+?

=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线

l1、l2的方程．

解答：

解：

（1）由题意，F（0，），△AFO外接圆的圆心在线段

OF的垂直平分线

y=上，

∴+

=3，∴p=4．

2

；

∴抛物线E的方程是x=8y

2

2

（2）设直线

l1的方程y=k1

x+2，代入抛物线方程，得

y﹣（8k

1+4）y+4=0

2

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=8k1+4，y1y2=4

设C（x3，y3），D（x4，y4），同理可得y3+y4=

+4，y3y4=4