高考函数专题函数图像.docx

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高考函数专题函数图像

函数图像

作图：

1．步骤：

（1）确定函数的定义域；

（2）化简函数的解析式；（3）讨论函数的性质即奇偶性、

周期性、单调性、最值（甚至变化趋势）；（4）描点连线，画出函数的图象．

2．图象变换法作图（对于需要掌握的基本初等函数或者已知部分图像的函数）

（1）平移变换【变化是针对自变量的】

（2）对称变换

①y＝f（x）

y＝；

②y＝f（x）

y＝；

③y＝f（x）

y＝；

④y＝ax（a>0且a≠1）

y＝．

（3）翻折变换

①y＝f（x）

y＝.

②y＝f（x）

y＝

（4）伸缩变换

①y＝f（x）

y＝．

②y＝f（x）

y＝．

【练习】

作函数图象

1.分别画出下列函数的图象：

（1）y＝|lgx|；　　　　

（2）y＝2x＋2；

（3）y＝x2－2|x|－1;（4）y＝

.

2.作出下列函数的图象：

（1）y＝|x－2|（x＋1）；

（2）y＝10|lgx|.

3.函数f（x）＝1＋log2x与g（x）＝21－x在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

【图像题的几点依据】

（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

（4）从函数的周期性，判断图象的循环往复；

（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．

函数图象的应用：

5已知函数f（x）＝|x2－4x＋3|.

（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；

（2）求集合M＝{m|使方程f（x）＝m有四个不相等的实根}．

6（2011·课标全国）已知函数y＝f（x）的周期为2，当x∈[－1,1]时f（x）＝x2，那么函数y＝f（x）的图象与函数y＝|lgx|的图象的交点共有（　　）

A．10个B．9个

C．8个D．1个

7直线y＝1与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是________．

高考中和函数图象有关的题目主要

的三种形式

一、已知函数解析式确定函数图象

二、函数图象的变换问题

典例：

若函数y＝f（x）的图象如图所示，则函数y＝－f（x＋1）的图象大致为

（　　）

三、图象应用

典例：

讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．

【练习题】

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．把函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，所得图象对应的函数的解析式是（　　）

A．y＝（x－3）2＋3B．y＝（x－3）2＋1

C．y＝（x－1）2＋3D．y＝（x－1）2＋1

答案　C

解析　函数y＝（x－2）2＋2的图象向左平移1个单位，将其中的x换为x＋1，得到函数y＝（x－1）2＋2的图象；再向上平移1个单位，变成y＝（x－1）2＋3的图象．

2．若函数f（x）＝loga（x＋b）的大致图象如图，其中a，b（a>0且a≠1）为常数，则函数g（x）＝ax＋b的大致图象是（　　）

答案　B

解析　由f（x）＝loga（x＋b）的图象知0

则g（x）＝ax＋b为减函数且g（x）的图象是在y＝ax图象的基础上上移b个单位，只有B适合．

3．（2011·陕西）设函数f（x）（x∈R）满足f（－x）＝f（x），f（x＋2）＝f（x），则y＝f（x）的图象可能是

（　　）

答案　B

解析　由于f（－x）＝f（x），所以函数y＝f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错

误；由于f（x＋2）＝f（x），所以T＝2是函数y＝f（x）的一个周期，D错误．所以选B.

4．（2012·北京）函数f（x）＝x

－

x的零点的个数为（　　）

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　将函数零点转化为函数图象的交点问题来求解．

在同一平面直角坐标系内作出y1＝x

与y2＝

x的图象如图所

示，易知，两函数图象只有一个交点．

因此函数f（x）＝x

－

x只有1个零点．

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．已知下列曲线：

以及编号为①②③④的四个方程：

①

－

＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.

请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．

答案　④②①③

解析　按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．

6.如图所示，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2，AB＝1，M，N分

别在AD1，BC上移动，始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN＝x，MN

＝y，则函数y＝f（x）的图象大致是________．

答案　③

解析　过M作ME⊥AD于E，连接EN.

则BN＝AE＝x，ME＝2x，MN2＝ME2＋EN2，

即y2＝4x2＋1，y2－4x2＝1（0≤x≤1，y≥1），图象应是焦点在y轴上的双曲线的一部分．

7．（2011·北京）已知函数f（x）＝

若关于x的方程f（x）＝k有两个不同的实

根，则实数k的取值范围是________．

答案　（0,1）

解析　

画出分段函数f（x）的图象如图所示，结合图象可以看出，若f（x）＝k有两个不同的

实根，也即函数y＝f（x）的图象与y＝k有两个不同的交点，k的

取值范围为（0,1）．

三、解答题（共25分）

8．（12分）已知函数f（x）＝

.

（1）画出f（x）的草图；

（2）指出f（x）的单调区间．

解　

（1）f（x）＝

＝1－

，函数f（x）的图象是由反比例函数y＝－

的图象向左平移1个单

位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．

（2）由图象可以看出，函数f（x）有两个单调递增区间：

（－∞，－1），（－1，＋∞）．

9．（13分）已知函数f（x）的图象与函数h（x）＝x＋

＋2的图象关于点A（0,1）对称．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若g（x）＝f（x）＋

，且g（x）在区间（0,2]上为减函数，求实数a的取值范围．

解　

（1）设f（x）图象上任一点P（x，y），则点P关于（0,1）点的对称点P′（－x,2－y）在h（x）

的图象上，

即2－y＝－x－

＋2，∴y＝f（x）＝x＋

（x≠0）．

（2）g（x）＝f（x）＋

＝x＋

，g′（x）＝1－

.

∵g（x）在（0,2]上为减函数，

∴1－

≤0在（0,2]上恒成立，即a＋1≥x2在（0,2]上恒成立，∴a＋1≥4，即a≥3，故

a的取值范围是[3，＋∞）．

【练习题2】

一、选择题（每小题5分，共15分）

1．（2012·厦门模拟）函数f（x）＝

则y＝f（x＋1）的图象大致是（　　）

答案　B

解析　将f（x）的图象向左平移一个单位即得到y＝f（x＋1）的图象．

2．函数y＝f（x）与函数y＝g（x）的图象如图

则函数y＝f（x）·g（x）的图象可能是（　　）

答案　A

解析　从f（x）、g（x）的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f（x）·g（x）是奇函数，排除

B项．又g（x）在x＝0处无意义，故f（x）·g（x）在x＝0处无意义，排除C、D两项．

3．（2011·课标全国）函数y＝

的图象与函数y＝2sinπx（－2≤x≤4）的图象所有交点的横

坐标之和等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

答案　D

解析　令1－x＝t，则x＝1－t.

由－2≤x≤4，知－2≤1－t≤4，所以－3≤t≤3.

又y＝2sinπx＝2sinπ（1－t）＝2sinπt.

在同一坐标系下作出y＝

和y＝2sinπt的图象．

由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称．

因此这8个交点的横坐标的和为0，即t1＋t2＋…＋t8＝0.

也就是1－x1＋1－x2＋…＋1－x8＝0，

因此x1＋x2＋…＋x8＝8.

二、填空题（每小题4分，共12分）

4．（2012·课标全国改编）当0

时，4x

答案　

解析　易知0

>2，解得

a>

，∴

5．用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0），

则f（x）的最大值为________．

答案　6

解析　f（x）＝min{2x，x＋2,10－x}（x≥0）的图象如图．令x＋2＝10－x，得x＝4.

当x＝4时，f（x）取最大值，f（4）＝6.

6．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列之一，则a的值为________．

答案　－1

解析　本题考查二次函数的图象与性质，先根据条件对图象进行判断是解题的关键．因

为b>0，所以对称轴不与y轴重合，排除图象①②；对第三个图象，开口向下，则a<0，

对称轴x＝－

>0，符合条件，图象④显然不符合．根据图象可知，函数过原点，故f（0）

＝0，即a2－1＝0，又a<0，故a＝－1.

三、解答题（13分）

7．已知函数y＝f（x）的定义域为R，并对一切实数x，都满足f（2＋x）＝f（2－x）．

（1）证明：

函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称；

（2）若f（x）是偶函数，且x∈[0,2]时，f（x）＝2x－1，

求x∈[－4,0]时f（x）的表达式．

（1）证明　设P（x0，y0）是函数y＝f（x）图象上任一点，

则y0＝f（x0），点P关于直线x＝2的对称点为P′（4－x0，y0）．

因为f（4－x0）＝f[2＋（2－x0）]

＝f[2－（2－x0）]＝f（x0）＝y0，

所以P′也在y＝f（x）的图象上，

所以函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称．

（2）解　当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，

所以f（－x）＝－2x－1.又因为f（x）为偶函数，

所以f（x）＝f（－x）＝－2x－1，x∈[－2,0]．

当x∈[－4，－2]时，4＋x∈[0,2]，

所以f（4＋x）＝2（4＋x）－1＝2x＋7，

而f（4＋x）＝f（－x）＝f（x），

所以f（x）＝2x＋7，x∈[－4，－2]．

所以f（x）＝

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