初中的数学公式定理大全.docx

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初中的数学公式定理大全

在数学学习中最重要、最根本的东西是什么？

是基本概念。

基本概念（包括定义、公理、定理、公式等）是数学思维过程中最基本的思维单位，是构建数学这座宏伟大厦的基石。

一个学生的数学学得优还是差，从根本上讲，取决于他对数学基本概念能不能准确、清晰、深刻、系统地理解与把握。

“欲求木之长者，必固其根本”。

所以老师特别要求：

一定要下功夫学好数学概念。

要深入钻研课本，切实弄清概念的产生背景、来龙去脉；要一字字仔细揣摩定义和定理，深刻理解其科学内涵、适用范围；要亲手证明每一条定理、推导每一个公式，从中体会所蕴含的基本数学思想方法；要边学边总结，将概念系统化，理清概念之间的内在联系。

做题要以理解概念为前提，做题过程中要想清楚所运用的概念，做题的最重要的目的是为了加深攻固对概念及其体系的理解。

初中几何定义定理大全

直线

【定义】直线是向相反的两方无限延伸着的

【性质】过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）

线段

【定义】直线上两点和它们之间的部分叫做线段

【性质】两点之间，线段最短

角

【定义1】从一点引出的两条射线形成的图形叫做角

【定义2】一条射线绕着它的端点旋转时，旋转终止位置与旋转开始位置所形成的图形叫做角

【性质1】同角（或等角）的补角相等_

【性质2】同角（或等角）的余角相等

相交线

【定义】有一个公共点的两条直线叫做相交直线

【性质】公理两条直线相交，有且只有一个交点_

【性质】对顶角相等_

垂直

【定义】两条直线相交所成的四个角中，如果其中有一个角是直角，那么就称这两条直线互相垂直

【性质1】过一点有且只有一条直线与已知直线垂直

【性质2】直线外一点与直线上各点联结的所有线段中，垂线段最短

平行线（上）

【定义】同一平面内不相交的两条直线叫做平行线

【性质1】平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【性质2】两直线平行，同位角相等

【性质3】两直线平行，内错角相等

【性质4】两直线平行，同旁内角互补

【性质5】如果两条平行线中的一条垂直于某直线，那么另一条也垂直于这条直线

【性质6】平行线间的距离，处处相等。

【性质7】如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补

【判定1】同位角相等，两直线平行

【判定2】内错角相等，两直线平行

【判定3】同旁内角互补，两直线平行

【判定4】平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性）

【判定5】垂直于同一条直线的两条直线平行

平移变换

【定义】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

平移二要素：

①平移的方向；②平移的距离。

【性质1】对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，

【性质2】对应点所连接的线段平行且相等；

【性质3】平移前后的两个图形是全等形。

三视图

【定义】三视图是观测者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形

【性质】三视图的投影规则

主视、俯视：

长对正；主视、左视：

高平齐；左视、俯视：

宽相等

三角形

【定义】由三条线段顺次首尾相接组成的图形叫三角形

【性质1】三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

【性质2】三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

【性质3】三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

【性质4】三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

【性质5】在同一个三角形中大边对大角，大角对大边

多边形

【定义】由N条线段顺次首尾相接组成的平面图形叫N边形，又称为多边形

【性质1】多边形内角和定理：

n边形的内角的和等于（n-2）×180°

【性质2】推论任意多边形的外角和都等于360°

全等三角形

【定义】能完全重合的两个三角形叫做全等三角形

【性质】全等三角形的对应边、对应角相等

【判定1】边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

【判定2】角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

【判定3】角角边定理（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

【判定4】边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

【判定5】斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

轴对称变换

【定义1】轴对称：

把一个图形沿着一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，该直线叫做对称轴。

【定义2】轴对称图形：

如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称轴图形。

【性质1】关于某条直线对称的两个图形是全等形

【性质2】如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线

【性质3】两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上

【判定】如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称

角平分线

【定义】如果经过角的顶点的一条射线把一个角分成相等的两个角，那么这条射线叫做这个角的角平分线

【性质1】在角的平分线上的点到角的两边的距离相等

【性质2】三角形的三条角平分线相交于一点，这一点叫三角形的内心

【判定】到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上

【概念】角的平分线就是到角的两边距离相等的所有点的集合

线段垂直平分线

【定义】垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

【性质1】线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

【性质2】三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这一点叫做三角形的外心

【判定】和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

【概念】线段的垂直平分线是和线段两端点距离相等的所有点的集合

等腰三角形

【定义】有两条边相等的三角形叫做等腰三角形

【性质1】等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）

【性质2】等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合（三线合一）

【判定】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

等边三角形

【定义】三条边都相等的三角形叫做等边三角形

【性质】等边三角形的各角都相等，并且都等于60°

【判定1】三个角都相等的三角形是等边三角形

【判定2】有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

直角三角形

【定义】有一个角是直角的三角形叫做直角三角形

【性质1】直角三角形的两个锐角互余

【性质2】在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半

【性质3】在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么它所对锐角等于30°

【性质4】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

【性质5】勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a^2+b^2=c^2

【性质6】直角三角形中，斜边大于任意一条直角边

【性质7】直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积

【判定1】两内角互余的三角形是直角三角形

【判定2】一条边上的中线等于该边的一半，这条边所对的角是直角

【判定3】勾股定理的逆定理如果三角形的三边a、b、c满足a^2+b^2=c^2，那么这个三角形是直角三角形

平行四边形

【定义】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

【性质1】平行四边形的对边相等

【性质2】平行四边形的对角相等

【性质3】推论夹在两条平行线间的平行线段相等

【性质4】推论平行直线间的距离处处相等

【性质5】平行四边形的对角线互相平分

【性质6】平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点

【判定1】两组对角分别相等的四边形是平行四边形

【判定2】两组对边分别相等的四边形是平行四边形

【判定3】对角线互相平分的四边形是平行四边形

【判定4】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

矩形

【定义】有一个角是直角的平行四边形叫做矩形

【性质1】矩形的四个角都是直角

【性质2】矩形的对角线相等

【判定1】有三个角是直角的四边形是矩形

【判定2】对角线相等的平行四边形是矩形

菱形

【定义】有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

【性质1】菱形的四条边都相等

【性质2】菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

【判定1】四边都相等的四边形是菱形

【判定2】对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【性质3】菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷2

正方形

【定义】有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形

【性质1】正方形的四个角都是直角，四条边都相等

【性质2】正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

【性质3】正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形

旋转变换

【定义】在平面内，把一个图形绕点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转，点O叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点Pˊ，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转三要素：

①旋转中心；②旋转方向；③旋转角度。

【性质1】对应点到旋转中心的距离相等。

【性质2】对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

【性质3】旋转前、后的图形全等。

中心对称图形

【定义1】中心对称　把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。

【定义2】中心对称图形在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形。

这个旋转点，就叫做中心对称点。

【性质1】关于中心对称的两个图形是全等的

【性质2】关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

【性质3】关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

【判定】如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

等腰梯形

【定义】两腰相等的梯形叫做等腰梯形

【性质1】等腰梯形在同一底上的两个角相等

【性质2】等腰梯形的两条对角线相等

【性质3】等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线

【判定1】在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

【判定2】对角线相等的梯形是等腰梯形

比例

【性质1】基本性质内项之积等于外项之积若a/b=c/d则ad=bc

【性质2】合比性质若a/b=c/d则（a+b）/b=（c+d）/d

【性质3】分比性质若a/b=c/d则（a-b）/b=（c-d）/d

【性质4】合分比性质若a/b=c/d则（a+b）/（a-b）=（c+d）/（c-d）

【性质5】更比性质若a/b=c/d则c/a=d/b

【性质6】反比性质若a/b=c/d则b/a=d/c

【性质7】等比性质若a/b=c/d=…=m/n（b+d+…+n≠0），则（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a/b=c/d…=m/n

平行线（下）

【性质1】平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等

推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

【性质2】三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

【性质3】梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h

【性质4】平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例

【性质5】如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行

于三角形的第三边

【性质6】平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

相似三角形

【定义】对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形

【判定1】平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似

【判定2】两角对应相等，两三角形相似（ASA）

【判定3】直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

推论射影定理在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项

【判定4】两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）

【判定5】三边对应成比例，两三角形相似（SSS）

【判定6】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

【性质1】相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

【性质2】相似三角形周长的比等于相似比

【性质3】相似三角形面积的比等于相似比的平方

位似变换

【定义】如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，那么这两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。

【性质1】位似图形的对应点和位似中心在同一直线上，它们到位似中心的距离之比等于相似比。

【性质2】位似多边形的对应边平行或共线。

三角函数

【性质1】任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

【性质2】任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

圆

点与圆的位置关系圆上、圆内与圆外

【定义1】圆是定点的距离等于定长的点的集合

【定义2】圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

【定义3】圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

【性质1】平面上点和⊙O三种位置关系：

①点在圆上d=r②点在圆内d＜r③点在圆外d＞r

【性质2】不在同一直线上的三点确定一个圆。

圆的轴对称性垂径定理

【性质】垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

圆的旋转性圆心角与圆周角

【性质1】同圆或等圆的半径相等

【性质2】圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

【性质3】在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等

【性质1】定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形

圆与直线的位置关系圆的切线

【性质】平面上直线L和⊙O三种位置关系：

①相交d＜r②相切d=r③相离d＞r

【判定】经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

【性质1】切线性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

【性质2】切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

【性质3】弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等

圆与四边形

【性质1】圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角

【性质2】圆的外切四边形的两组对边的和相等

圆与比例线段

【性质1】相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

推论如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

【性质2】切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

圆与圆的位置关系

【性质1】平面上的两圆有五种位置关系：

①外离d＞R+r②外切d=R+r③相交R-r＜d＜R+r（R＞r）④内切d=R-r（R＞r）⑤内含d＜R-r（R＞r）

【性质2】如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

【性质3】相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

【性质4】内公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）

圆与正n边形

【定义】把圆分成n（n≥3）:

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

【性质1】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

【性质2】正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°／n

【性质3】正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

【性质4】正n边形的面积Sn=pnrn／2，p表示正n边形的周长

【性质5】正三角形面积√3a／4，a表示边长

【性质6】如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×（n-2）180°／n=360°化为（n-2）（k-2）=4

弧长与扇形面积

（1）圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式

圆周长

弧长

圆面积

扇形面积

公

式

（2）扇形与弓形的联系与区别

图

示

面

积

（3）圆锥与圆柱的侧面积与全面积

名称

圆锥

圆柱

图形

图形的形成过程

由一个直角三角形旋转得到的，如Rt△SOA绕直线SO旋转一周。

由一个矩形旋转得到的，如矩形ABCD绕直线AB旋转一周。

图形的组成

一个底面和一个侧面

两个底面和一个侧面

侧面展开图的特征

扇形

矩形

面积计算方法

 点的轨迹

【性质1】到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

【性质2】和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线

【性质3】到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

【性质4】到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线