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初中数学竞赛试题及答案

【篇一：

初中数学竞赛试题及答案（免费）6】

s=txt>“《数学周报》杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.以下每道小题均给出了代号为a，b，c，d的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号填入题后的括号里.不填、多填或错填得零分）

12,1．方程组?

的解的个数为（）．

（a）1（b）2（c）3（d）4

答：

（a）．

12,解：

若x≥0，则?

于是y?

6，显然不可能．x?

6,?

12,若x?

0，则?

6,?

于是y?

18，解得y?

9，进而求得x?

3．

3,所以，原方程组的解为?

只有1个解．

故选（a）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（）．

（a）14（b）16（c）18（d）20答：

（b）．

解：

用枚举法：

红球个数白球个数黑球个数种数52，3，4，53，2，1，0443，4，5，63，2，1，0434，5，6，73，2，1，0425，6，7，83，2，1，04

所以，共16种．

故选（b）．

3．已知△abc为锐角三角形，⊙o经过点b，c，且与边ab，ac分别相交于点d，e．若⊙o的半径与△ade的外接圆的半径相等，则⊙o一定经过

△abc的（）．

（a）内心（b）外心（c）重心（d）垂心

答：

（b）．

解：

如图，连接be，因为△abc为锐角三角形，所以

bac，?

abe均为锐角．又因为⊙o的半径与△ade的外

接圆的半径相等，且de为两圆的公共弦，所以

若△abc的外心为o1，则?

boc2bac1?

一定过△abc的外心．

故选（b）．

4．已知三个关于x的一元二次方程，所以，⊙o

ax2?

bx?

0，bx2?

cx?

0，cx2?

ax?

0a2b2c2

恰有一个公共实数根，则?

的值为（）．bccaab

（a）0（b）1（c）2（d）3

答：

（d）．

解：

设x0是它们的一个公共实数根，则

ax0?

bx0?

0，bx0?

cx0?

0，cx0?

ax0?

0．

把上面三个式子相加，并整理得

2（a?

c）（x0?

x0?

1）?

0．222

132?

x0?

（x0?

）2?

0，所以a?

0．因为x024

于是

a2b2c2a3?

b3?

c3a3?

b3?

（a?

b）3

bccaababcabc

3ab（a?

b）?

3．abc

故选（d）．

5．方程x3?

6x2?

5x?

y3?

2的整数解（x，y）的个数是（）．

（a）0（b）1（c）3（d）无穷多

答：

（a）．

解：

原方程可化为

x（x?

1）（x?

2）?

（3x2?

x）?

y（y?

1）（y?

1）?

2，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选（a）.

二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）

6．如图，在直角三角形abc中，?

acb?

90?

，ca＝4．点p是半圆弧ac的中点，连接bp，线段bp把图形apcb分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是．

答：

4．

解：

如图，设ac与bp相交于点d，点d关于圆心o的对称

点记为点e，线段bp把图形apcb分成两部分，这两部分面积之

差的绝对值是△bep的面积，即△bop面积的两倍．而

11s?

bpo?

po?

co?

2．22

因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

7．如图,点a，c

都在函数y?

0）的图象上，点b，d都在x轴上，且使得△oab，△bcd都是等边三角形，则点d的坐标

为．

答：

（0）．

解：

如图，分别过点a，c作x轴的垂线，垂足分别

为e，f．设oe＝a，bf＝b，则ae

，cf

，

所以，点a，c的坐标为

（a

），（2a＋b

），

2a?

所以

（2a?

b）?

解得

因此，点d

的坐标为（0）．

8．已知点a，b的坐标分别为（1，0），（2，0）．若二次函数y?

x2?

3的图象与线段ab恰有一个交点，则a的取值范围是．

1答：

1≤a?

，

或者a?

解：

分两种情况：

（Ⅰ）因为二次函数y?

x2?

3的图象与线段ab只有一个交点，且点a，b的坐标分别为（1，0），（2，0），所以

1得?

．22?

（a?

3）?

22?

（a?

3）?

0，?

由12?

（a?

3）?

0，得a?

1，此时x1?

1，x2?

3，符合题意；

31由22?

（a?

3）?

0，得a?

，此时x1?

2，x2?

，不符合题意．22

（Ⅱ）令x2?

0，由判别式?

0，得a?

．

当a?

时，x1?

x2?

不合题意；

当a?

x1?

x2?

符合题意．

1综上所述，a的取值范围是?

1≤a?

，或者a?

9．如图，?

90?

，则n＝答：

6．

解：

如图，设af与bg相交于点q，则

aqg?

g，

于是

aqg

bqf

540?

90?

．

所以，n＝6．

10．已知对于任意正整数n，都有a1?

a2?

则11?

a2?

1a3?

1a100?

an?

n3，?

．

33．100

解：

当n≥2时，有答：

a1?

a2?

an?

n3，

a1?

a2?

an?

（n?

1）3，

2两式相减，得an?

3n，?

3n?

所以11111?

（?

）,n?

2,3,4,?

an?

13n（n?

1）3n?

11?

a2?

1a3?

因此a100?

1111?

（?

）399100111111?

（1?

）?

（?

）?

32323

1133?

（1?

）?

．3100100

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11（a）．已知点m，n的坐标分别为（0，1），（0，－1），点p是抛物线y?

上的一个动点．

（1）判断以点p为圆心，pm为半径的圆与直线y?

1的位置关系；

（2）设直线pm与抛物线y?

证：

pnm?

qnm．

解：

（

1）设点p的坐标为（x0,12

x0），则412x的另一个交点为点q，连接np，nq，求412x4

12pm＝?

x0?

1;4

1212?

（?

1）?

x0?

1，又因为点p到直线y?

1的距离为x044

所以，以点p为圆心，pm为半径的圆与直线y?

1相切．

…………5分

（2）如图，分别过点p，

q作直线y?

1的垂线，垂

足分别为h，r．由

（1）知，ph＝pm，同理可得，qm＝qr．

【篇二：

最新全国初中数学竞赛试题及答案】

a．0b．1c．3d．5

【分析】n?

5时，n！

的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3.本题选c．

2x?

2.已知关于x的不等式组?

3恰好有5个整数解，则t的取值范围是（）．?

a.?

11111111b.?

c.?

d.?

2222

2x?

3【分析】?

2t?

20，则5个整数解是x?

19,18,17,16,15．

注意到x?

15时，只有4个整数解．所以

3.已知关于x的方程14?

2t?

15?

112，本题选cxx?

2a?

2x恰好有一个实根，则实数a的值有（）个．?

2x?

2xx?

a．1b．2c．3d．4

【分析】xx?

2a?

2x?

2x2?

2x?

4，下面先考虑增根：

2xx?

2ⅰ）令x?

0，则a?

4，当a?

4时，2x?

2x?

0,x1?

1,x2?

0（舍）；

ⅱ）令x?

2，则a?

8，当a?

8时，2x?

2x?

0,x1?

1,x2?

2（舍）；

再考虑等根：

ⅲ）对2x?

2x?

0，?

8（4?

a）?

故a?

4,8,

22771，当a?

x1,2?

.22271，x?

1,?

1,共3个.本题选c．22

4.如图，已知△abc的面积为24，点d在线段ac上，点f在

线段bc的延长线上，且bc=4cf，dcfe是平行四边形，则图

中阴影部分的面积为（）．

a．3b．4c．5d．6

【分析】设?

abc底边bc上的高为h，则

48481212?

bc4cfcfde，

111s?

ade?

bde?

de?

h1?

de?

h2?

de?

（h1?

h2）222

1112?

de?

622de本题选d．

5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是（）．

1257a.b.c.d.491836

11c4?

c2?

182?

本题选b．【分析】p?

c92369

（b?

2）3的值为．6.设a?

，b是a2的小数部分，则

222?

27?

3,b?

2,b?

9【分析】考虑到a?

3，则a?

9，

（b?

2）?

（）?

9则

7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是．

【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有12?

6，而总次数是6?

6次，则其概率为p?

12?

1.336?

8.已知正整数a、b、c满足a+b2-2c-2=0,3a2-8b+c=0，则abc的最大值为．

【分析】先消去c，再配方估算．6a2?

b2?

16b?

6（a?

121）?

（b?

8）2?

66?

1224

观察易知上式中a?

3，故a?

1,2,3，经试算，a?

1,2时，b均不是整数；当a?

3时，b?

5,11，于是有（a,b,c）?

（3,5,13）,（3,11,61），故abcmax?

11?

61?

2013．

9.实数a、b、c、d满足：

一元二次方程x2+cx+d=0的两根为a、b，一元二次方程x2+ax+b=0的两根为c、d，则所有满足条件的数组（a、b、c、d）为．

【分析】由根与系数关系知a?

d,ab?

d,cd?

b，然后可得（a、b、c、d）=（1,-2,1,-2）

本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．

10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了支圆珠笔．

【分析】设4元的卖x支，7元的卖y支，则4x?

7y?

2013,x?

350

4x?

7y?

2013?

4x?

2012?

8y?

503?

2y?

令y?

14y?

4k?

1，则x?

503?

2（4k?

1）?

505?

7k，又x?

350，即4

n505?

7k?

4k?

350?

51?

52，y?

4k?

52?

2073

即他至少卖了207支圆珠笔．

11．如图，抛物线y=ax2+bx-3，顶点为e，该抛物线与x轴交于a、b两点，与y轴交于点c，且ob=oc=3oa．直线y?

求∠dbc-∠cbe．

【分析】易知y?

2x?

（x?

1）?

4，

作ef⊥ca（?

1,0）,b（3,0），c（0,?

3），d（1,?

4），

o于f，连ce，易知△obc、△cef都是等腰直

角三角形，则△cbe是直角三角形．分别在rt

△obd、rt△bce中运用正切定义，即有221x?

1与y轴交于点d，3

tan?

od1ce21?

，tan?

，则?

ob3bc323

从而可得∠dbc-∠cbe=45o．

12．如图，已知ab为圆o的直径，c为圆周上一点，d

为线段ob内一点（不是端点），满足cd⊥ab，de⊥co，e为垂足，若ce=10，且ad与db的长均为正整数，求线段ad的长．

【分析】设圆o半径为r，则由相似或三角函数或射影定理可知，

de2?

ce?

oe?

de2?

10（r?

10），又cd2?

ce2?

de2?

102?

10（r?

10）?

10r由相交弦定理（考虑垂径时）或连ac、bc用相似

或三角函数，易知

ad?

bd?

cd2?

10r①，而ad?

bd?

2r②

令ad?

x,bd?

y，①/②即

xy10ryy?

1，显然有0?

x，x?

y2rx5

则0?

yy?

1，即0?

10，y为x5

正整数，故y?

6,7,8,9，又x也为正整数，经逐一

试算，仅当y?

6,x?

30这一组是正整数，故ad?

30.

13．设a、b、c是素数，记x?

a,y?

b,z?

c，当z?

y,x?

a、b、c能否构成三角形的三边长？

证明你的结论．2y?

2时，

8az2?

2a?

z2?

2a?

【分析】?

c2?

a、b、c是素数，则a?

z为整数，则?

8a?

2k?

1，k为正整数．化简整理后，有

1,k?

2a?

1（非质数）?

k（k?

1）?

2a?

2,k?

8aa?

3,22

ⅰ）z?

3,y?

9,x?

25,x?

2b?

11,b?

17,a?

17?

20?

17?

c不能围成三角形;

ⅱ）z?

2,y?

4,x?

16,b?

9是合数

综上所述，以a、b、c不能围成三角形．

14．如果将正整数m放在正整数m左侧，所得到的新数可被7整除，那么称m为m的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数）．求正整数n的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，．．．，an，满足对任意一个正整数m，在a1，a2，．．．，an中都至少有一个为m的“魔术数”．

【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a1，a2，．．．，an互不相等，不妨设a1?

a2?

...?

an，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设ai?

7ki?

t，（i?

1,2,.,.3.,

k，至少有一个为m的n;t?

0,1,2,3,4,5,6）k“魔术数”．因为ai?

10?

m（k是m的位数），是7的倍数，当i?

6时，而ai?

10除以7的余数都是

0，1，2，3，4，5，6中的6个；当i?

7时，而ai?

10除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当i?

7时，依抽屉原理，ai?

10与m二者余数的和至少有一个是7，此时kk

ai?

10k?

m被7整除，即n=7．

【篇三：

1991-2013年全国初中数学联合数学竞赛试题及答案（word版本）】

一、选择题

本题共有8个小题，每小题都给出了（a）、（b）（c）、（d）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．

设等式a（x?

a）?

a（y?

a）?

y在实数范围内成立，其中

3x2?

xy?

a，x，y是两两不同的实数，则2的值是

xy?

（a）3；（b）；（c）2；（d）．

答（）２．如图，ab‖ef‖cd，已知ab=20，cd=80，bc=100，那么ef的值是（a）10；（b）12；（c）16；（d）18．

答（）

３．（a）

方程x2?

0的解是

；（b）；221?

或；（d）?

．

222

（c）

答（）４．

是

（Ａ）1991?

1；（Ｂ）?

1991?

1；（Ｃ）（?

1）n1991；（Ｄ）（?

1）n1991?

1．

答（）

５．

若1?

99?

100?

12nm，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的

已知：

（1991?

1991n）（n是自然数）．那么（x?

x2）n，的值

最大的自然数，则Ｍ

（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；

（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．

答（）

６．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足a?

c，b?

d，c?

a，

那么

d的最大值是（Ａ）?

1；（Ｂ）?

5；（Ｃ）0；（Ｄ）１．

答（）

别是s1?

1，s2?

3和s3?

1，那么，正方形opqr的边长是（Ａ）2；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．

答（）

８．

s2?

s1?

s3=1

1，则11

（Ａ）c2；（Ｂ）0c≤；

答（）

（c）c2；（d）c=2．

答（）

二、填空题

２．已知关于x的一元二次方程ax2?

bx?

0没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两

根为－１和４，那么，?

．

（x?

1）m（x?

1）p

3．设m，n，p，q为非负数，且对一切x０，恒成立，nq

则

（m2?

2n?

p）2q?

．

４．四边形abcd中，∠abc?

135?

，∠bcd?

120?

，ab?

6，bc?

3，

cd=6，则ad=．

120?

135?

第二试

x+y，x－y，xy，

四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．

求证：

bf＝af＋cf

三、将正方形abcd分割为n2个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点a，c染成红色，把b，d染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：

恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．

一九九二年

第一试

一.选择题

本题共有8个题,每小题都给出了（a）,（b）,（c）,（d）四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.

1.满足a?

ab?

1的非负整数（a,b）的个数是

（a）1;（b）2;（c）3;（d）4.

2.若x0是一元二次方程ax2?

bx?

0（a?

0）的根,则判别式?

b2?

4ac与平方式m?

（2ax0?

b）2的关系是

（a）?

m（b）?

=m（c）?

m;（d）不确定.3.若x2?

13x?

0,则x4?

4的个位数字是

（a）1;（b）3;（c）5;（d）7.

答（）

4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于2,则这个多边形的边数必为

（a）7;（b）6;（c）5;（d）4.

答（）

5.如图,正比例函数y?

x和y?

ax（a?

0）的图像与反比例函

（k?

0）的图像分别相交于a点和c点.若rt?

aob和?

codx

的面积分别为s1和s2,则s1与s2的关系是y?

数

（a）s1?

s2（b）s1?

s2（c）s1?

s2（d）不确定

答（）

6.在一个由8?

8个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为s1,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为s2,则

的整数部分是s2

（a）0;（b）1;（c）2;（d）3.

答（）

7.如图,在等腰梯形abcd中,ab//cd,ab=2cd,?

60?

又e是底边ab上一点,且fe=fb=ac,fa=ab.

则ae:

eb等于

（a）1:

2（b）1:

3（c）2:

5（d）3:

答（）

8.设x1,x2,x3,?

x9均为正整数,且

x1?

x2?

x9,x1?

x2?

x9?

220,则当x1?

x2?

x3?

x4?

x5的值最大

时,x9?

x1的最小值是

（a）8;（b）9;（c）10;（d）11.

答（）

二.填空题

1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.

x2?

x4?

2.若x?

0,则的最大值是__________.

3.在?

abc中,?

90?

a和?

b的平分线相交于p点，又pe?

ab于e点，若bc?

2,ac?

3，则ae?

eb?

4.若a,b都是正实数，且

111ba?

0，则（）3?

（）3?

aba?

bab

第二试

一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程x2?

6x?

0的两根，当这样的三角形只有一个时，求a的取值范围.

二、如图，在?

abc中，ab?

ac,d是底边bc上一点，e是线段ad上一点，且?

bed?

ced?

求证：

bd?

2cd.

三、某个信封上的两个邮政编码m和n均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：

a：

320651b：

105263c：

612305d：

316250

已知编码a、b、c、d各恰有两个数字的位置与m和n相同.d恰有三个数字的位置与m和n相同.试求：

m和n.

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