1．方程（x－a）2＋（y－b）2＝m2一定表示圆．（ × ）
2．确定一个圆的几何要素是圆心和半径．（ √ ）
3．圆（x＋1）2＋（y＋2）2＝4的圆心坐标是（1,2），半径是4.（ × ）
类型一 求圆的标准方程
例1
（1）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M（0，
）在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为
，则圆C的标准方程为________．
答案 （x－2）2＋y2＝9
解析 设圆心C的坐标为（a,0）（a＞0），
由题意知
＝
，解得a＝2，
则圆C的半径为r＝|CM|＝
＝3.
∴圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝9.
（2）与y轴相切，且圆心坐标为（－5，－3）的圆的标准方程为________．
答案 （x＋5）2＋（y＋3）2＝25
解析 ∵圆心坐标为（－5，－3），又与y轴相切，∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为（x＋5）2＋（y＋3）2＝25.
反思与感悟
（1）确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，因此用直接法求圆的标准方程时，要首先求出圆心坐标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
（2）确定圆心和半径时，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．
跟踪训练1 以两点A（－3，－1）和B（5,5）为直径端点的圆的方程是（ ）
A．（x＋1）2＋（y＋2）2＝10
B．（x－1）2＋（y－2）2＝100
C．（x＋1）2＋（y＋2）2＝25
D．（x－1）2＋（y－2）2＝25
答案 D
解析 ∵AB为直径，
∴AB的中点（1,2）为圆心，
|AB|＝
＝5为半径，
∴该圆的标准方程为（x－1）2＋（y－2）2＝25.
例2 求经过点P（1,1）和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的标准方程．
解 方法一 （待定系数法）
设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
则有
解得
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
方法二 （直接法）
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由
得
即圆心坐标为（4，－3），
半径为r＝
＝5.
∴圆的标准方程是（x－4）2＋（y＋3）2＝25.
反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
跟踪训练2 已知△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,5），B（1，－2），C（－3，－4），求该三角形的外接圆的标准方程．
解 方法一 设所求圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
因为A（0,5），B（1，－2），C（－3，－4）都在圆上，
所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
方法二 因为A（0,5），B（1，－2），
所以线段AB的中点坐标为
，直线AB的斜率为kAB＝
＝－7，
因此线段AB的垂直平分线的方程是y－
＝
，即x－7y＋10＝0.
同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由
得圆心坐标为（－3,1）．
又圆的半径长r＝
＝5，
故所求圆的标准方程是（x＋3）2＋（y－1）2＝25.
类型二 点与圆的位置关系
例3
（1）点P（m2,5）与圆x2＋y2＝24的位置关系是（ ）
A．点P在圆内
B．点P在圆外
C．点P在圆上
D．不确定
答案 B
解析 由（m2）2＋52＝m4＋25>24，
得点P在圆外．
（2）已知点M（5
＋1，
）在圆（x－1）2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_________．
答案 [0,1）
解析 由题意知
即
解得0≤a<1.
反思与感悟
（1）判断点与圆的位置关系的方法
①只需计算该点与圆的圆心之间的距离，与半径作比较即可．
②把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断．
（2）灵活运用
若已知点与圆的位置关系，也可利用以上两种方法列出不等式或方程，求解参数范围．
跟踪训练3 已知点（1,1）在圆（x－a）2＋（y＋a）2＝4的外部，则a的取值范围为______．
答案 （－∞，－1）∪（1，＋∞）
解析 由题意知，（1－a）2＋（1＋a）2>4，2a2－2>0，
即a<－1或a>1.
1．若某圆的标准方程为（x－1）2＋（y＋5）2＝3，则此圆的圆心和半径长分别为（ ）
A．（－1,5），
B．（1，－5），
C．（－1,5），3D．（1，－5），3
答案 B
2．圆心在y轴上，半径为1，且过点（1,2）的圆的标准方程是（ ）
A．x2＋（y－2）2＝1
B．x2＋（y＋2）2＝1
C．（x－1）2＋（y－3）2＝1
D．x2＋（y－3）2＝1
答案 A
解析 方法一 （直接法）
设圆的圆心为C（0，b），则
＝1，
∴b＝2，
∴圆的标准方程是x2＋（y－2）2＝1.
方法二 （数形结合法）
作图（如图），根据点（1,2）到圆心的距离为1易知，圆心为（0,2），
故圆的标准方程是x2＋（y－2）2＝1.
3．若点A（a＋1,3）在圆C：
（x－a）2＋（y－1）2＝m外，则实数m的取值范围是（ ）
A．（0，＋∞）
B．（－∞，5）
C．（0,5）
D．[0,5]
答案 C
解析 由题意知（a＋1－a）2＋（3－1）2>m，即m<5.
又m>0，∴04．经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径为2的圆的标准方程是________．
答案 （x＋2）2＋y2＝4
5．求过点A（1，－1），B（－1,1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．
解 设圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，
根据已知条件可得
解此方程组得
所以所求圆的标准方程为（x－1）2＋（y－1）2＝4.
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的方程组求a，b，r或直接求出圆心（a，b）和半径r.另外依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征（点的坐标是否满足圆的方程）或几何特征（点到圆心的距离与半径的关系）去考虑，其中利用几何特征较为直观、快捷．
一、选择题
1．圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心与半径分别为（ ）
A．（－1,2），2B．（1，－2），2
C．（－1,2），4D．（1，－2），4
答案 A
2．方程（x－1）
＝0所表示的曲线是（ ）
A．一个圆B．两个点
C．一个点和一个圆D．一条直线和一个圆
答案 D
解析 （x－1）
＝0可化为，
x－1＝0或x2＋y2＝3，
∴方程（x－1）
＝0表示一条直线和一个圆．
3．已知一圆的圆心为点A（2，－3），一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则圆的标准方程为（ ）
A．（x＋2）2＋（y－3）2＝13
B．（x－2）2＋（y＋3）2＝13
C．（x－2）2＋（y＋3）2＝52
D．（x＋2）2＋（y－3）2＝52
答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，原点在圆上，
圆的半径为r＝
＝
.
故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝13.
4．过点A（1，－1），B（－1,1），且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程是（ ）
A．（x－3）2＋（y＋1）2＝4
B．（x＋3）2＋（y－1）2＝4
C．（x－1）2＋（y－1）2＝4
D．（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
答案 C
解析 根据圆在直线x＋y－2＝0上可排除B，D，再把点B的坐标代入A，C选项中，可得C正确．
5．若点（5a＋1,12a）在圆（x－1）2＋y2＝1的内部，则实数a的取值范围是（ ）
A．|a|＜1B．a＜
C．|a|＜
D．|a|＜
答案 D
解析 依题意有（5a）2＋144a2＜1，
所以169a2＜1，
所以a2＜
，即|a|＜
，故选D.
6．若直线y＝ax＋b通过第一、二、四象限，则圆（x＋a）2＋（y＋b）2＝1的圆心位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案 D
解析 （－a，－b）为圆的圆心，由直线经过第一、二、四象限，得到a<0，b>0，即－a>0，－b<0.再由各象限内点的坐标的性质，得圆心位于第四象限．
7．已知直线（3＋2λ）x＋（3λ－2）y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：
（x－2）2＋（y＋3）2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为（ ）
A．（x－2）2＋（y＋3）2＝36
B．（x－2）2＋（y＋3）2＝25
C．（x－2）2＋（y＋3）2＝18
D．（x－2）2＋（y＋3）2＝9
答案 B
解析 由（3＋2λ）x＋（3λ－2）y＋5－λ＝0，
得（2x＋3y－1）λ＋（3x－2y＋5）＝0，
则
解得
即P（－1,1）．
∵圆C：
（x－2）2＋（y＋3）2＝16的圆心坐标是（2，－3），
∴|PC|＝
＝5，
∴所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝25，故选B.
8．若圆心在x轴上，半径为
的圆C位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆C的标准方程为（ ）
A．（x－
）2＋y2＝5
B．（x＋
）2＋y2＝5
C．（x－5）2＋y2＝5
D．（x＋5）2＋y2＝5
答案 D
解析 设圆心坐标为（a,0），
由题意知
＝
，∴|a|＝5.
∵圆C位于y轴左侧，∴a＝－5，
∴圆C的标准方程为（x＋5）2＋y2＝5.
二、填空题
9．若实数x，y满足x2＋y2＝1，则
的最小值是______．
答案
解析
的几何意义是两点（x，y）与（1,2）连线的斜率，而点（x，y）在圆x2＋y2＝1上，
过点P（1,2）作圆的切线，
由图知PA的斜率不存在，PB的斜率存在，则PB的斜率即为所求．
∴设PB的方程为y－2＝k（x－1），得kx－y－k＋2＝0.
又∵PB和圆相切，
∴
＝1，得k＝
.
∴
的最小值是
.
10．已知圆C与圆（x－1）2＋y2＝1关于直线y＝－x对称，则圆C的标准方程为________________．
答案 x2＋（y＋1）2＝1
解析 由已知圆（x－1）2＋y2＝1，得圆心C1的坐标为（1,0），半径长r1＝1.
设圆心C1（1,0）关于直线y＝－x对称的点的坐标为（a，b），即圆心C的坐标为（a，b），
则
解得
所以圆C的标准方程为x2＋（y＋1）2＝1.
11．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是____________．
答案 （x－2）2＋（y－1）2＝1
解析 ∵圆心在第一象限，而且与x轴相切，
∴可设圆心坐标为（a,1），a>0，
则圆心到直线4x－3y＝0的距离为1，
即
＝1，得a＝2或a＝－
（舍去），
∴该圆的标准方程是（x－2）2＋（y－1）2＝1.
三、解答题
12．已知三点A（3,2），B（5，－3），C（－1,3），以点P（2，－1）为圆心作一个圆，使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，求这个圆的标准方程．
解 要使A，B，C三点中一点在圆外，一点在圆上，一点在圆内，则圆的半径是|PA|，|PB|，|PC|的中间值．
因为|PA|＝
，|PB|＝
，|PC|＝5，
所以|PA|<|PB|<|PC|，
所以圆的半径r＝|PB|＝
.
故所求圆的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝13.
四、探究与拓展
13．设P（x，y）是圆C：
（x－2）2＋y2＝1上任意一点，则（x－5）2＋（y＋4）2的最大值为（ ）
A．6B．25C．26D．36
答案 D
解析 （x－5）2＋（y＋4）2的几何意义是点P（x，y）到点Q（5，－4）的距离的平方．
因为点P在圆（x－2）2＋y2＝1上，且点Q在圆外，
所以其最大值为（|QC|＋1）2＝36.
14．过点A（1,2）和B（1,10）且与直线x－2y－1＝0相切的圆的标准方程为________．
答案 （x－3）2＋（y－6）2＝20或（x＋7）2＋（y－6）2＝80
解析 设圆心坐标为（a，b），
∵AB的中点坐标为（1,6），
∴AB的垂直平分线为y＝6.
∵圆心（a，b）在AB的垂直平分线上，
∴b＝6.
由题意得
＝
，
解得a＝3或－7，
当a＝3时，r＝
＝2
.
当a＝－7时，r＝
＝4
.
∴所求圆的标准方程为（x－3）2＋（y－6）2＝20
或（x＋7）2＋（y－6）2＝80.
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