解决问题与小学数学教学改革.docx
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解决问题与小学数学教学改革
解决问题与小学数学教学改革
孔企平
解决问题对改善我国的数学学习具有现实意义，解决问题的学习应该成为改善学生数学学习的切入口。
在我国的数学课堂中，解决问题学习应该处于数学学习的中心地位。
数学教师应该把学生引导到解决问题活动中去。
从国际的视野来看，解决问题已经成为了二十多年来数学教育改革的重点，生动活泼的、思考性的现实的解决问题活动正在成为数学学习中的一个重要内容。
概述
一．解决问题的概念
所谓数学问题，是指没有现成数学方法可以解决的情境状态。
指不能直接用已有的方法来处理的问题。
学生必须先寻找一个方法，才能找找出答案。
从心理过程中看到，指初始状态和目标状态的存在冲突或差异。
所谓解决问题，是指由初始状态向目标状态的移动或逼近的过程。
安德森（Anderson,.J.R）认为，问题解决被定义为任何指向目标的认知操作程序[i]。
其中包括三方面的因素：
目标的指引性、操作序列及认知性的操作。
将初始状态转变为目标状态，中间必须经过各种不同的状态，这种介于初始状态和目标状态之间的各种状态，称作中间状态，也称为问题空间。
安德森认为可以把解决问题看成是对问题空间的搜索，解决问题的任务在于找出一种能把初始状态转变为达到目标的目标状态的操作序列。
安德森认为，需要开发出新的步骤的称为创造性的解决问题。
对学生来说，一个数学问题就是学生要去找出解答方法的一个任务，他们还没有一种现成的数学方法来得到这种解答。
在问题解决时，“解决”有两层含义。
第一，找出问题的最后答案。
第二，找到解决问题的办法。
如果只有第一个要求，这就是练习题（如计算问题，应用题练习（反复操练的常规应用题）。
如果两个要求同时具备，就是解决问题理论含义中的问题。
练习与问题有以下几个方面的区别。
解决问题和我们平时讲的“解题”或“练习”有重大的区别。
解决问题和解题练习有如下区别。
。
第一，练习着重寻找答案；而解决问题着重寻找解决问题的过程。
第二，练习往往针对某个知识或技能，着重对某项数学技能的进行练习，解决问题综合性的特点。
第三，练习着重快速获得正确答案，而解决问题着重如何寻求创造性的方法，经历一个策略再创造的过程。
第四，练习可以对某一类习题反复演练，解决问题中的“问题”具有新颖性。
第五，练习主要要回忆以前的方法等简单的思维过程，而解决问题涉及一系列比较复杂的思维技巧。
二．影响解决问题的因素
在解决数学问题的过程中，影响解决问题的因素很多。
不同学派的学者用各自的理论解释解决问题，强调不同的解决问题的要素，从而构成了不同的解决问题的模式。
概括起来，影响学生解决数学问题的因素大约有以下几个方面。
第一，解决问题中的认知因素。
随着现代认知心理学的发展，许多认知心理学家认为解决问题是认知科学研究的重要领域，现代认知心理学是数学教育工作者研究解决问题的天然伙伴。
80年代以来很多认知心理学家对解决问题中的思维过程进行研究。
现代的认知心理学把解决问题看作是一种认知的活动。
他们认为，认知科学涉及发现一个现存的问题如何与解题者记忆中的概念和观念联系起来。
因此，解决问题实际上是把问题与记忆中的图式联系起
来的过程。
解决问题包含了问题表征和表征分析两个过程，这两个过程又可以分成具体的子过程。
认知心理学家认为，影响解决问题的基本因素是信息加加工的能力。
解决问题的信息加工模式包含了以下几个基本的要素：
1．对问题任务的环境的识别；2．长期记忆；3．工作记忆。
学生面对问题的任务情境从长期记忆中复现出工作记忆，并在工作记忆中不断调整并形成问题的空间。
因此，在解决问题的过程中，外在的问题环境和内在的间题空间之间的差异和交互作用是解决问题的关键。
在解决问题的过程中，影响学认知因素的主要是学生的认知结构。
认知结构是指个体原有知识的内容和组织。
学生的原有认知结构是影响他们解决问题的重要因素。
每一个学生的认知结构都是独特的。
在解决问题时，当一个人面临问题情境时，必须根据问题的性质和目的，在解决问题中调整和重组自己的认知结构。
这种调整和重组，会使学生的认知结构更合理。
第二个因素是元认知。
学生在解决问题中的元认知体现在二个方面：
监控自己的思维；解决问题过程的自我调控。
在认知心理学看来，也是一个元认知的过程，元认知行为是解决问题的驱动力量，它影响各个阶段的解决问题的活动。
数学解决问题的元认知能涉及对三系统的协调和推动。
第一．知识的系统。
长期记忆中的相关知识是解决问题的基础。
学习者的知识是解决问题的重要变量。
在解决问题的过程中，学习者经历了知识的激活和重组。
当学习者面临一个问题情境，存在于长期记忆中的绝大多数信息并没有被调动起来，只有少部分信息进人工作记忆中。
第二．执行要素的系统。
执行要素即认知过程方面的要素，包括：
计划、监控，评价和修正思维。
在这些要素中，调节是核心因素，所谓调节是指对于所从事的认知活动的自我意识、自我分析和自我调整。
元认知在解决问题中主要是指自我调节。
第三．情感因素的系统。
所谓情感因素，在这里是指学生解决问题的愿望和决心等。
学生的信念、对问题的态度等情感因素也影响学生解决问题的表现。
学生的信念包括数学观、数学教育观和自我意识等。
情感对于解决问题的重要性是明显的。
第三种因素是社会经验。
学生在社会生活中所积累的生活经验和合作交流技能，也会影响学生的解决问题的能力。
近年来出现的现实主义的数学教育学派从社会应用的角度考察解决问题，把数学的解决问题看作应用数学的一种经验的过程。
学习数学的起点不是引进抽象的数学概念，而是现实世界的情境，现实世界是来自学生的世界。
数学学习是一种经验的过程。
这个过程有两个基本点：
其一，数学学习的起始点是学生现实的世界；其二，上述的起始点也就是数学学习的终点。
第四种因素是情感态度因素。
学生的态度、兴趣等因素直接影响解决问题的效能。
高效的问题有以下几个点。
首先，学生具有对给定的问题的积极态度。
在解决问题过程中，学生会思考：
这个问题由何而来，是否值得进行思考等。
第二．形成积极的交流和合作的解决问题的方式，发展学生合作的技能。
解决问题应该包括课堂教学中集体活动的形式。
第三．以不同形式提出问题并使之与解决问题整合起来。
这种整合提供了一种气氛，使学生有一种情感的因素参与其中。
第五．在解决问题的思维过程中，直觉思维等思维形式是重要的，而不仅仅是逻辑思维。
总之，解决问题过程中的情感因素有助于促进学生自我指导，激发动机，有助于学生和现实世界的联系。
三、解决问题的过程
1. 解决问题的过程的理论研究
在解决问题过程方面有许多研究，奥苏伯尔与杜威的论述颇具代表性。
美国心理学家奥苏伯尔等认为，解决问题一般要经历四个阶段：
第一阶段，呈现问题情境命题。
第二阶段，明确问题最终目标与已知条件。
第三阶段，填补空隙过程。
学生看清了“已知条件”和“目标”之间的空隙或差距，并建立联系。
这一过程是解决问题过程的核心。
第四阶段，解答之后的检验。
心理学家澳勒斯根据发明家解决问题的经验，探索创造性解决问题的过程，将此过程划分为四个阶段，即准备、孕育、明朗和检证。
杜威提出了五步模式。
第一步，产生一种怀疑，即产生认知上的困惑感；第二步，尝试从情境中识别出问题；第三步，使问题情境中的命题与已有的认知结构联系起来，激活头脑中已有知识与方法，又进一步对这些知识和方法重新组织或转换，提出解决问题的假设；第四步，需对假设作检验；第五步，将成功的答案组合到认知结构中，解决问题的策略性知识具有迁移的作用，它可以应用于许多新的例子。
在不少的实际情况下，这五步顺序是交错使用的。
波利亚认为，假使教师能适当地应用一些问句和提示问你的学生，就可以帮助他们解决问题。
他认为解决问题可以分为以下几步。
第一步了解问题。
解题者要思考：
未知数是什么？
已知数据是什么？
条件是什么？
可能满足条件吗？
在这一过程可以考虑画一个图，引入适当的符号。
第二步找出已知数和未知数间的关系（假使你不能找出关系，就得考虑辅助问题，最后应想出一个计划。
）解题者要思考：
你以前曾见过它吗？
你知道什么有关的问题么？
未知数是什么？
试想出一个有相同或相似的未知数的熟悉的问题？
这里有一个与你有关而且以前解过的问题，你能应用它呢？
你若不能解决问题，试先解一个有关的问题，你能想出一个更容易着手的有关问题吗？
一个类似的问题？
你能解问题的一部分吗？
你用了全部条件吗？
第三步实行你的计划。
实行你的解题计划，校核每一步骤。
第四步验证所得的解答。
解题者要思考：
你能验证结果吗？
你能验证论证吗？
你能用不同的方法得出结果吗？
你能应用这结果或方法到别的问题上去吗？
概括起来，解决问题的心理过程概括为审题进入、分析解题和回顾反思三个基本阶段。
当我们面对问题时，就进入了“审题进入”的阶段。
对于呈现的问题，“审题进入”在大部分情况下可以简化成详读题目与理解题意，因此审题进入过程的基本问题就是“用简短形式表示问题，并确定到底要求什么”。
我们可以采用两种方法达到这种目的，一是吸收题目给的信息；二是了解题目到底在问什么。
在“审题进入”阶段，也要为“分析解题”做一些准备，例如，决定使用什么符号记录特殊化的结果。
审题的策略如再读一次题目，写下已知的信息；找寻关键语句；找出重要信息；用自己的话复述等。
一般说，在这一阶段学生要回答以下三个方面的问题。
第一，我的已知是什么？
我的所求是什么？
我能引入些什么（方法或者理论）？
回答这三个问题的次序并不重要，因为它们紧密地结合在一起。
解题者小心地读问题，找出有关联的因素，有什么相关的想法/技巧/事实。
有任何相近的问题等。
分析问题的策略找出数量关系，画图，猜测并检验，列出清单或表格，使用物体模仿题目情境，使用推理策略，简化问题，倒回来解题等。
当学习者觉得问题已经进入脑中，成为自己的东西时，就可以想如何解决问题。
如果问题被放弃或是解决了，也就是这个阶段的结束。
在分析解题阶段，学习者的数学活动复杂且多变，他们会使用猜想、证实、特殊化、一般化等思维方式。
在这一阶段，尝试起到重要作用，学习者往往会尝试几种不同的方法与计划。
这时解题者往往会用描绘、图表、符号、等方法寻找突破。
第三个阶段是回顾反思。
反思的策略包括：
学生可以问自己有没有使用所有重要的信息？
工作过程有无错误？
得出答案是否有意义？
等等。
当学生得到满意的解答或是要放弃这个问题时，有经验的解题者总会回顾解决问题的过程。
回顾过程是为了改善与推展解决问题的思考技巧，并且尝试把解答推到更一般化的情况。
它包含了以下一些内容：
第一，检查做了什么；第二，反思关键点的做法；第三，试着把方法及结果推展至更广的情况。
这一阶段，包括检查和反思二个方面。
在检查阶段，解题者思考：
结论合理吗？
解答合乎题目吗？
在反思阶段，解题者会思考：
关键点的重要性。
猜想和证明的含意是什么？
解法能更清楚吗？
将“推广”作为回顾与反思的一部分，可以使回顾与反思的过程更完整，这是绝对有必要的。
检查解答；反思关键的想法与关键的时刻；推广到更一般的情况是回顾与反思的基本要素，而且与一般化和特殊化的数学思考方法紧密联系。
在推广阶段，解题者一般化以得到更广泛的结果，寻找解法的新途径，修改一些条件。
2. 对解决问题过程的课堂调查及相应的教学策略
对课堂观察表明，目前在课堂中，教师引导学生解决问题的过程步骤大致可以归纳为五个方面。
认清问题、分析问题、提出设想、解决问题和进行反思。
下面具体叙述小学生如何按这几个基本步骤开展活动。
第一步骤：
认清问题。
有了问题后，学生开始了解题目的意义，确定研究的主题。
学生会试着重新叙述一遍题目，以了解题意，进一步明确要解决的问题。
在这一步骤中，学生的主要特点是化时间少，有的学生精一看就开始做题。
第二步骤：
分析问题。
在这一阶段，学生收集必要的信息，弄清问题中涉及的基本数量关系。
学生可能会不断向自己提出以下问题：
是否发现一些值得注意的细节？
题目想要表达什么？
能否找到有利的线索？
题目的插图有无特殊的意义？
题目问了哪些问题？
必须要找出什么线索？
若将题目再看一遍，能否寻找到线索？
解题时需要具备一些什么概念？
希望发现什么？
能预知答案吗？
这种答案合理吗？
第三步骤：
提出计划。
当明确了要探讨的问题以后，学生在脑中应付就会出现以下一些问题。
学生先要问自己，有无有关知识与方法可以用？
解决这一问题的关键是什么？
知识愈丰富，更能认清解决问题关键的所在。
同时，学生还会想一下以前解答过的问题，有无类似的经验？
他们通过尝试、比较找到一个方案。
小学生可以大胆设想解决问题的方案。
如果过早地限制选择，可能会扼杀思维的创造性。
第四步骤：
解决问题。
小学生在脑子中思考，慎重筛选，找到对当前问题最为切合的解决方法，并按步解题。
这一步骤涉及逻辑推理。
学生按部就班，小心解题，得出答案。
第五步骤：
进行反思。
有些学生可在产生答案后进行一些反思。
看一看是否有进一步可以改进的地方。
另外，还可以进行一些拓展性思考。
例如，能否将此答案的适用性与不适用性分别列出，或者注明某些限制的情况。
又如，能否将答案变成一般的原则，这样收获就大了。
但进行这一步工作的学生很少。
不少人以为，在解决问题过程中中分析解题最具决定性的，因为它包含数学思考的大部分，但事实上并非如此。
根据我们的观察，大部分学生无法适切地解决问题，甚至解决问题的能力总是提不高，正是因为对“分析进入”和“回顾反思”不够重视。
进入是解决问题的基础，而回顾是提高解决问题能力的关键。
只有对问题完整了解并回顾以往解题的关键后，解决问题的过程才会比较顺利。
所以。
在教学过程中，关注学生审题和反思意识和能力的培养是至关重要的。
第一节解决问题与数学思考
解决问题与数学思维是紧密联系的。
没有数学思维就没有真正的解决问题。
在解决问题的的过程中，学生应用并逐步发展各种数学思考的基本方法，如归纳、类比、猜想与论证等。
解决数学问题活动它涉及数学思考过程。
认知心理家思维归结为问题解决，即一系列有目的指向的认知操作过程[ii]。
这一认知操作过程包括三个基本要素：
目的指向性、操作序列和认知操作功能。
在解决数学问题的过程中，解题者的任务是寻找适当的途径，从初始状态经由中间状态到达目的状态。
这一过程就充分着各种思维活动。
解决问题的过程也是学生思维发展的过程。
在解决问题活动的过程中，学生在尝试寻找“答案”时，对信息进行加工，重新组织若干已知的规则，形成新的高级规则，用以达到一定的目标。
在解决问题中，学生会根据解决问题的目的、已有的工具对已经掌握的数学知识进行组织，找出对当前问题适用的对策。
问题一旦解决，学生的思维能力随之而发生变化。
在解决问题的过程中，由于学生要寻找新的方法解决问题，涉及到策略创新的过程，因此学生创造性地解决问题不仅能发展策略性知识，还有助于思维的新颖性和独创性发展。
一般说来，学生在解决问题的过程中思维是一个特殊化与一般化、猜想与验证等互动过程。
一、逻辑推理与合情推理
数学思维涉及很多成份，但它的核心是逻辑推理。
在教学中，应该使学生能根据已有事实进行数学推测和论断和解释，养成“推理有据”的习惯，能够反思自己的思考过程；使他们能够理解他人的思考方式和推理过程，并能与他人沟通。
逻辑推理表现了一种由已知推求未知的过程，这一过程所经历的心理活动，就是思维活动。
在解决问题过程中，学生进行逻辑推理有以下二种情况。
第一种是演绎推理。
演绎推理是以一个被认同的命题为前提，推演到其它命题，得到一个论论的思维方法。
如逻辑中的三段论法，就是最典型的演绎推理。
有一种说法，说小学生开展演绎推理能力比较薄弱，这种说法并不全面。
一般说来，小学生在解决问题的过程中能进行演绎推理，但演绎推理中涉及的材料相对比较具体。
第二种是归纳推理。
归纳推理是以观察到多个事例后所获的经验为根据，由此归结出一个概括性的原则的一种思维过程。
归纳推理具有完全归纳与不完全归纳两种情况。
学生在解决问题的过程中，以不完全归纳为多。
对学生解决问题的过程的观察表明，学生在思考问题时除了演绎推理和归纳推理之外，还有第三种方法。
这就是“捷径推理”或“合情推理”。
合情推理是指在解决问题过程中，学生根据经验进行猜测和推导的一种思维过程。
表面上看，学生在解决问题时的合情推理的特征是不按逻辑程序去思考，但实际上是学生把自己的经验与逻辑推理的方法有机地整合进来的一种跳跃性的表现形式。
表明，这种合情推理是不按常理看问题，但仔细分析却有一定道理。
这一推理方式，有时在解决问题的过程中可收事半功倍之效。
在“捷径推理”过程中，直觉和顿悟发挥了很大的作用。
直觉和顿悟是数学发现的重要因素。
首先，直觉和顿悟在发现有价值的研究对象和问题时具有重要作用。
其次，在研究的思路同时存在几种可能时，直觉和顿悟能帮助人们快速地从中作出抉择；再次，当解决问题的逻辑通道阻塞，思路发生中断时，直觉和顿悟能够帮助人们打破僵局，另辟全新思路。
因此，直觉和顿悟是数学学习的重要能力。
二、特殊化与一般化
特殊化与一般化是解决问题中数学思维的对立统一。
学生学习数学的过程，实质上是数学抽象的过程，是概括与一般化的数学思维过程，学生通过一般化的思考，逐步建立数学模型。
另一方面，数学的应用往往更多地涉及学生特殊化的思维过程，把一般的数学模型具体化。
在解决数学问题的过程中，特殊化与一般化交互作用，促进了学生数学思维的展开。
所谓特殊化或具体化的策略涉及理解问题的过程。
特别在解决问题“进入”阶段，学生使用比较多。
中小学生比较多地使用这种思考方法和学生的心理特点有关。
具体有以下几种策略。
（1）举例。
这项解题策略的实质就是把问题情境图解化。
例子可以基于熟悉的具体事实上，学生通过举例使问题的情境具体化，使思路比较清晰。
例如，对于a＋b＝b＋a，可以举例：
3＋4二4＋3，这样学生比较容易理解。
（2）情境。
学生在解决问题的过程中，用人或物模拟问题的情境，使学生比较清楚问题的具体条件，使语言叙述的问题变得生动具体，便于理解。
例如，对于行程问题，学生可以用一些实物模拟问题的情境，使自己比较清楚地把握其中的数量关系的变化。
（3）作图。
这是一项具体化的策略，可以帮助审题、分析和检验。
作图不仅包括线段图，而且包括实物简图等，小学生在纸上涂涂画画可以拓展思路。
使用这项解题策略，比较符合中小学生思维具体性的特点。
例如，在解决行程问题时，学生画了一个图，对于问题中的运动情况就比较清楚了。
（4）简化。
这种策略，对于叙述比较复杂的问题非常必要。
简化去掉无关的因素，也可以把大问题变化为几个小问题，使因果关系更清晰。
省略也是一种基本做法，即除去不适用的资料，减少解题活动时的干扰。
简化题目的目的是使学生的思路比较清楚。
（5）学生在应用各种策略解决问题的过程中，核心的环节是理解问题中的数量关系。
在解决问题活动中，优秀学生的特点是比较清楚地理解问题中的数量关系。
美国数学教育家西尔弗（SilverE．A．）对学生如何区分应用题数量关系进行了研究。
西尔弗要求学生分类16道问题，以把握学生对数量关系的理解。
根据学生们在解题上的表现，西尔弗将这些学生分成好、普通和较差的解题者。
他特别感兴趣的是，这些在应用问题方面数量关系方面的分析，分类问题时会有不同表现。
好的解题者显然较倾向于根据数量关系和解决问题的程序分类，而较差的解题者则倾向于用内容分类。
这些结果显示了好的解题者对问题的概念性理解比较差的解题者为佳。
一般化就是在具体例子的基础上进行概括，由例子推测大多数的情况。
一般化反映数学思维的本质特点。
学生具体有以下几种做法。
（1）建立模型。
一般化也是数学建立模型过程。
用数学算式表达问题情境就是一般化的过程。
建立模型是数学探索的过程。
如我们用方程表达一个问题情境，实际上就是建立了一个数学模型。
（2）符号化。
为了进行数学概括，在处理数学问题时需要选择有效的符号来表达。
开始时，一切关键性的内容都应判明并标记，当发现了相关的关系后，就可以消去多余的记号。
（3）反推。
反推的含义是假定结论存在，然后由结论引出推论直到某个已知命题，再把上述的论证逐步逆转进行推理，直到结论。
（4）反证。
反证的意思是假定结论不真，必然会导致矛盾。
那么，结论只能是正确的。
（5）延伸。
学生利用这种策略，能够对问题进一步思考，使结论更一般化，这对知识的迁移有好处。
学生利用这种解题策略，能更清楚地看到研究结果的意义。
三、猜测与验证
猜测与验证在解决问题过程中发挥重要的作用。
猜测与验证是学生解决问题时的一对基本矛盾，学生的数学思维在这对矛盾展开过程中逐步深入。
在解决问题的过程中，猜测与验证是数学思维的基本过程
猜测与验证是学生解决问题的重要思考方法。
哥德巴赫猜想是许多杰出的数学猜想中最有名的，它的叙述简单而深刻。
在分析解题阶段，学生一般较多采用猜测与验证的方法。
猜测是一项重要的思考策略。
学生在解决问题的过程中，要大胆猜测，并核对猜测与问题的情况是否符合，再根据核对得出较正确的推测，形成解题的有效策略，并灵活应用。
学生在探索之后，需要对结果验证。
验证是确定结果的过程，可以用多种方法，如图表等。
验证涉及多种思考的方法，如反向思维等，也涉及对解决问题过程的回顾。
更进一步，学生可以通过演绎或图解说明某一假设或者某一个结果。
并非所有猜想都重要，事实上大部分是错的，而且几乎一出现就被修改。
学生的猜想依赖对问题和对数学的理解，猜想和验证构成学生解决问题中数学思考的主干。
猜想通常由潜伏在思绪背后、黑暗中的模糊感觉开始。
渐渐地，试着将它描述清楚，拉至前方，展现在研究的光明之中。
若猜想是错的，就会被修改或放弃。
若被有力地证明，便会在连续证明及猜想中被解决。
为了说明猜想的重要性，从下面的例子可以看到数学猜想和验证的互动，使解决问题逐步深入。
在数学教学时，培养学生证明的思想十分重要。
另外，评估与监控也是重要的思考过程。
在解决问题的思考过程中还有一对互相制约与促进的矛盾，这就是认知系统和对认知的监控与调整系统，即元认知系统。
这两方面的互动表现为对解决问题过程的评估与监控上。
在解决问题过程中，还需要有一个评估与反思的环节，这是解决问题思维品质的重要体现。
这种监控行为随时了解学习者的想法及思考活动，调整他们的思考活动，为思考的发展提供了动力。
在教学实践中，反思是“解答问题”学习活动中最重要的一个步骤，它是对解决过程的“评估”。
对解决问题的反思并不是以“答案”为惟一目标的。
反思重点主要是针对如何“考核”解答问题的“进行程序”。
具体说来，反思内容包括下列几个方面：
讨论利用某种计算方法的理由；是否能找出其他更快捷的解题步骤；是否有更好的解题方式？
是否能简化一些步骤？
是否有更好更有趣的解题方式？
对于整个解决问题方案，若用另一种方式的话，将会有怎样的影响呢？
解题过程中的关键重点在那里？
解题过程中是否有些“误导”的想法，值得提醒别人不要重蹈覆辙。
一般说来，评估与监控主要包括以下几个方面：
①注意计算过程，以确使它们保持和题目的关联。
如果冗长沉闷的计算把你从真正的问题中拉入了死巷，监控系统就会提醒注意。
②注意一个计划的执行过程，以确定它没有偏离方向太远。
③评估各种想法以看看它们是否值得采用。
④建议你回到解决问题的过程，考虑是否要改变思考方向。
⑤建议尝试用不同的方法进行一般化，建立数学模型。
⑥严格地检查理论，看看有没有假设或逻辑上的错误。
⑦不管数学的思考或平常的活动，保持眼光向外并提出那些因事物刺激而产生的新问题。
因此，数学思考实际上分两层次：
投入思考之中和监控这层思考。
我们可以把思考过程和对思考的认知区分开来，而意识到反思对思考认知的重要性。
把对解决问题的关键做诚实的反思，应该能使学习者对这种区分有更加清楚认识。
如果能努力不懈地思考和反思，就会经常地在思考过程的关键处获得顿悟。
学生的语言表达在发展学生思维方面具有十分重要的意义。
语言不仅是人类交流各种信息的工具；而且语言为人们提供了思考这些事件的提供了一种基本手段。
语言不仅有助于我们思维，而且也可以记载和传递我们的思维，致使人类的思维和知识具有累积性与迁移性。
在教学实践中，如果能让学生把语言表达作为深入思考的重要途径，会收到很好的效果。
三、数学思想方法和解决问题
在解决问题的过程中，数学思想方法发挥了很大的作用。
学生进行数学思维，离不开数学的思维方法。
学生掌握一些数学思维
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