三次正多项式p不可约的充要条件精.docx
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三次正多项式p不可约的充要条件精
第19卷第2期宁波大学学报（理工版Vol.19No.22006年6月JOURNALOFNINGBOUNIVERSITY（NSEEJune2006
文章编号:
1001-5132（200602-0193-03
三次正多项式p-不可约的充要条件
解烈军
（宁波大学理学院,浙江宁波315211
摘要:
通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式p-不可约的显式充要条件,该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式.本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等.
关键字:
正多项式;p-不可约;充要条件
中图分类号:
O151.1文献标识码:
A
在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合（protein-ligandbinding”过程.在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中,WymanJ[1]引入了键合多项式（bindingpolyno-mial这个基本工具.在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:
如果某个大分子的键合多项式是p-不可约的,则其所有键合位点组成“联动结构”（linkage,即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程.反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响.
这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为p-不可约的问题,而键合多项式都是正多项式.所以,由一个正多项式的系数直接给出其p-不可约的充要条件,就显得非常重要.
关于这个问题,已有不少学者进行了讨论[1-3].但是研究的多项式都是四次正多项式.显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多项式显得有些平凡,但这不失为一件很有意义的事情.本文就给出一个三次正多项式为p-不可约的显式充要条件,该条件是由多项式的系数构成的一个简单的不等式,判断起来相当方便.
1概念
记为实数域,若非特别说明,本文中提到的多项式
\
（[]
fxx
∈\.
记半代数系统11
（0
（0
...
（0
nn
fx
x
x
ϕθ
ϕθ
=
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
的解的个数为11
（（0（0
fnn
cxx
ϕθϕθ
⋅⋅⋅
,,其中（
i
x
ϕ（1i=,2n（12
i
in
⋅⋅⋅
,表示多项式,θ=⋅⋅⋅
,,表示符号<>=≤≥≠
,,,,中的任意一个.
定义1对于多项式
如果它的系数满足、且
1
01
（nn
fxaxax−
=++⋅⋅⋅+
n
a
a0
n
a>0i
a≥（121
in
=⋅⋅⋅−
,,,那么这个多项式称为正多项式.定义2正多项式的一个正分解是指将其分解
收稿日期:
2005-09-19.
作者简介:
解烈军（1974-,男,浙江余姚人,讲师,主要研究方向:
计算代数.E-mail:
xieliejun@
194宁波大学学报（理工版2006
成2个或2个以上正多项式的乘积.
定义3不能正分解的正多项式称作p-不可约的.
定义4设为一列不为0的实数,它的变号数定义为以下集合中的负数的个数
.
12naaa⋅⋅⋅,
,S1{|1iiSaain+=≤≤1}−定义5由多项式（fx的系数所构成的一个序列称为系数列,该序列的变号数记为var（f.例如
多项式的系数列就是,而.
32
（54fxxx=+−1,5,4−var（1f=2主要结论及其证明
引理1[4]如果多项式（fx的根都是实的,那么它的正根个数（重根按重数计等于它的系数列的变号数.
引理2多项式21201（nnfxaxax+=++⋅⋅⋅+
至少有1个实根,并且实根的个数为
奇数.特别地,三次多项式的实根可能情况为1个和3个（重根按重数计.
210（0naa+≠引理3多项式3
2
（fxxaxbxc=+++所有可能的根的分类情况如下:
（1当时,1对共轭虚根,一个单实根;
30Δ<（2当,20Δ>30Δ=时,1个单实根,1个二重实根;
（3当,20Δ=30Δ=时,1个三重实根;（4当,时,3个单实根.20Δ>30Δ>其中:
223baΔ=−+323418babcabΔ2=−++−
.
32427acc−证明根据文献[5]方法,结论显然.
引理4若n次正多项式（fx有n个（重根按重数计实根,则（fx不是p-不可约的.
证明不失一般性,假设多项式的首项系数为1.由于1212（nnnnfxxaxaxa−−=+++⋅⋅⋅+为正
多项式,所以,而00（12niaain>≥=⋅⋅⋅−,
,,1var（0f=.又易知（fx在复数域上有个根,
而n（fx有个实根,即n（fx的根全部是实根.根据引理1,可知（fx的正根个数为0.
假设（1
2ixin=⋅⋅⋅,,,（为fx全部实根,则有0（12ixin<=⋅⋅⋅,,,.
显然1
（（n
i
ifxx=x=
−∏就是（fx的一个正
分解,也即（fx不是p-不可约的.
据此引理,可知:
如果三次正多项式有3个实根（重根按重数计,那么它肯定不是p-不可约的.
定理1三次正多项式3
2
（fxxaxbx=+++
能够分解成一个一次正多项式和一个二次正多项
式的充要条件是c（0fa−≤.
证明假设3
2
（fxxaxbxc=+++有一次因式xu−,则由于
32（fxxaxbxc=+++=
2（（（xuxauxd−+++,（1为保证（1是正分解,必须有.又c0u<=（0ud−>,因此.从而（1是正分解当且仅当0d>（fx有负根,使得成立,也即:
u0au+≥（00fcxax0<+≥>,.
（2显然（0fcx0==,所以（2式等价于
（0,0fcxax0≤+≥>.
（3又0x≤,0（axxax0+≥⇔+≤（因为
所以（3式等价于
0a≥（（00fcxax+≤>.
（4
（4式成立当且仅当或
者（（00fcxax+=>（（00fcxax+<>.下面分别讨论:
第1情况（（00fcxax+=>.
显然（（00（00ffcxaxcx+=>⇔=>或（0fcax0+=>,而,并且（0fcx==0fc
（0（fxacxa+===−.所以（（fcxax+=
等价于00>（fcxa0=−>.也即（fcx=
1a−=,从而（0（fcxafa0=−>⇔−=.
第2情况（（00fcxax+<>.
第2期解烈军:
三次正多项式p-不可约的充要条件195
（（00（00ffcxaxcax+<>⇔−<<>,
就是说多项式（fx在中至少存在一个零点,必须有,而,所以有.
0ax−<<（（00faf−<（0f=0c>（0fa−<综上,结论得证.
定理2三次正多项式3
2
（fxxaxbx=+++能够分解成3个一次正多项式的充要条件是
其中定义如上.
c30Δ≥3Δ证明根据引理3易知,当时,30Δ≥（fx有3个实根.进一步,由引理4知道,此时（fx必然能分解成3个一次正多项式的乘积.必要性显然.证毕.
定理3三次正多项式3
2
（fxxaxbx=+++
为p-不可约的充要条件是,也即多
项式的系数满足关系.
c（0fa−>abc<证明若3
2
（fxxaxbxc=+++存在正分解,则要么分解成1个一次和1个二次的正多项式,要么分解成3个一次正多项式.结合定理1和定理2,
得到（fx能够正分解的充要条件是:
（fa−≤（300Δ∨≥（.所以32
（fxxaxbxc=+++为p-不可约的充要条件是（fa−>.
30<∩Δ0而当（0fa−>,
即时,abc<2327cΔ=−+3322233（1844844abacbabcacb−−+<−−−0<就是说3<0（0（0fafa−>−Δ>∩⇒.证毕.
参考文献:
[1]WymanJ.Thebindingpotential:
aneglectedlinkage
concept[J].JMolBiol,1965（11:
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[2]BriggsWE.Zerosandfactorsofpolynomialswith
positivecoefficientsandprotein-lingandbinding[J].JMath,1985,15（1:
75-89.
[3]XiaBingcen,YangLing.Anewresultonthep-
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1811-1817.[4]王东明.符号计算选讲[M].北京:
清华大学出版社,
2003.
[5]YangLu,HouXiaorong,ZengZhenbing.Acomplete
discriminationsystemforpolynomials[J].ScienceinChina,1996,39（6:
628-646.
TheNecessaryandSufficientConditionforDeterminationofp-Irreducibilityof
PositivePolynomialswithDegree3
XIELie-jun
（FacultyofScience,NingboUniversity,Ningbo315211,China
Abstract:
Bystudyingallpossiblepositivedecompositioncasesforpositivepolynomialswithdegree3,thenecessaryandsufficientcondition,whichisaninequalitycomposedofthecoefficientsbelongingtopolynomials,isestablishedfordeterminingp-Irreducibility.ThemaintoolsinthepaperareDescartessignmethodandcompletediscriminationsystemforpolynomials.
Keywords:
positivepolynomials;p-Irreducibility;necessaryandsufficientconditionCLCnumber:
O151.1
Documentcode:
A
（责任编辑史小丽
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