高中数学必修一 专题二 集合的基本运算含详解.docx

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高中数学必修一专题二集合的基本运算含详解

专题二集合的基本运算

一．选择题（共10小题）

1．已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}

2．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B=（　　）

A．{x|x＜﹣1或x≥1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|x＞﹣1}

3．设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　）

A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}

4．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜2}，则∁AB=（　　）

A．（﹣1，0）B．（﹣1，0]C．（0，2）D．[0，2）

5．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}

6．设集合U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x2﹣x﹣2=0}，则∁UA=（　　）

A．{﹣2，1}B．{﹣1，2}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

7．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RB）=（　　）

A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}

8．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B=N，则集合（∁RA）∩B中元素的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

9．设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={x|2＜x＜5}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．{2，3，4，5}B．{1，2，5，6}C．{3，4}D．{1，6}

10．已知全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，B={3}，则（∁UA）∩（∁UB）等于（　　）

A．{1，2}B．{1，4}C．{2，3}D．{2，4}

二．填空题（共4小题）

11．若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x﹣6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为　　．

12．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有　　名同学参赛．

13．某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有　　人．

14．设U=R，集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|﹣1＜x≤4}，则如图中阴影部分表示的集合为　　．

三．解答题（共6小题）

15．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．

16．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}．

（1）若

，求A∩B；

（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x≤0}，B={x|m≤x≤m+2}．

（1）若m=3，求∁UB和A∪B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

18．不等式x2+2x﹣8≥0的解集为A，x2﹣（m+1）x+3m﹣6≤0的解集为B．

（1）若m=0，求A∩B；

（2）若A∪B=R，求实数m的取值范围．

19．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围．

20．已知集合

，关于x的不等式|x|＜2的解集为B

（1）求A∩∁RB；

（2）设P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．

专题二集合的基本运算

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=（　　）

A．{3}B．{5}C．{3，5}D．{1，2，3，4，5，7}

【分析】利用交集定义直接求解．

【解答】解：

∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，

∴A∩B={3，5}．

故选：

C．

【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

2．已知A={x|x＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∪B=（　　）

A．{x|x＜﹣1或x≥1}B．{x|1＜x＜3}C．{x|x＞3}D．{x|x＞﹣1}

【分析】解不等式得出集合B，根据并集的定义写出A∪B．

【解答】解：

A={x|x＞1}，

B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，

则A∪B={x|x＞﹣1}．

故选：

D．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．

3．设集合A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，C={x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C=（　　）

A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4}

【分析】直接利用交集、并集运算得答案．

【解答】解：

∵A={1，2，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，

∴（A∪B）={1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}={﹣1，0，1，2，3，4}，

又C={x∈R|﹣1≤x＜2}，

∴（A∪B）∩C={﹣1，0，1}．

故选：

C．

【点评】本题考查交集、并集及其运算，是基础的计算题．

4．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|0＜x＜2}，则∁AB=（　　）

A．（﹣1，0）B．（﹣1，0]C．（0，2）D．[0，2）

【分析】由全集A，确定出B的补集即可．

【解答】解：

∵A=（﹣1，2），B=（0，2），

∴∁AB=（﹣1，0]，

故选：

B．

【点评】此题考查了全集及其运算，熟练掌握全集的定义是解本题的关键．

5．已知集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（　　）

A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}

【分析】通过求解不等式，得到集合A，然后求解补集即可．

【解答】解：

集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，

可得A={x|x＜﹣1或x＞2}，

则：

∁RA={x|﹣1≤x≤2}．

故选：

B．

【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．

6．设集合U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x2﹣x﹣2=0}，则∁UA=（　　）

A．{﹣2，1}B．{﹣1，2}C．{﹣2，0，1}D．{﹣2，﹣1，0，1，2}

【分析】求出A中方程的解确定出A，根据全集U求出A的补集即可．

【解答】解：

由A中的方程变形得：

（x+1）（x﹣2）=0，

解得：

x=﹣1或x=2，即A={﹣1，2}，

∵U={﹣2，﹣1，0，1，2}，

∴∁UA={﹣2，0，1}．

故选：

C．

【点评】此题考查了补集及其运算，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．

7．设全集为R，集合A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁RB）=（　　）

A．{x|0＜x≤1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x＜2}

【分析】根据补集、交集的定义即可求出．

【解答】解：

∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≥1}，

∴∁RB={x|x＜1}，

∴A∩（∁RB）={x|0＜x＜1}．

故选：

B．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．

8．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B=N，则集合（∁RA）∩B中元素的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【分析】可先求出集合A={x|x＜﹣1，或x＞3}，然后进行交集、补集的运算即可．

【解答】解：

A={x|x＜﹣1，或x＞3}；

∴∁RA={x|﹣1≤x≤3}；

∴（∁RA）∩B={0，1，2，3}．

故选：

C．

【点评】考查一元二次不等式的解法，以及描述法、列举法表示集合的概念，交集和补集的运算．

9．设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={x|2＜x＜5}，则A∩（∁RB）等于（　　）

A．{2，3，4，5}B．{1，2，5，6}C．{3，4}D．{1，6}

【分析】进行补集、交集的运算即可．

【解答】解：

∁RB={x|x≤2，或x≥5}；

∴A∩（∁RB）={1，2，5，6}．

故选：

B．

【点评】考查描述法、列举法表示集合的定义，交集、补集的运算．

10．已知全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，B={3}，则（∁UA）∩（∁UB）等于（　　）

A．{1，2}B．{1，4}C．{2，3}D．{2，4}

【分析】分别求出∁UA和∁UB，取交集即可．

【解答】解：

全集U={1，2，3，4}，若A={1，3}，B={3}，

故∁UA={2，4}，∁UB={1，2，4}，

则（∁UA）∩（∁UB）={2，4}，

故选：

D．

【点评】本题考查了集合的运算，考查交集、补集的运算，是一道基础题．

二．填空题（共4小题）

11．若全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x﹣6=0}，则如图中阴影部分表示的集合为　{2}　．

【分析】先分别求出集合A，B，由韦恩图表示的阴影部分为A∩B，按照交集的含义求解即可．

【解答】解：

∵全集U=R，A={x∈N|1≤x≤10}，B={x∈R|x2+x﹣6=0}，

∴A={1，2，3，4，5，…，10}，

B={﹣3，2}，

∴A∩B={2}．

图示中阴影部分表示的集合为A∩B，

即阴影部分表示的集合为{2}．

故答案为：

{2}．

【点评】本题考查集合的含义、运算和表示等知识，考查数形结合思想在解题中的应用．

12．学校先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，该班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人．两次运动会中，这个班共有　17　名同学参赛．

【分析】设A为田径运动会参赛的学生的集合，B为球类运动会参赛的学生的集合，那么A∩B就是两次运动会都参赛的学生的集合，card（A），card（B），card（A∩B）是已知的，于是可以根据上面的公式求出card（A∪B）．

【解答】解：

设A={x|x是参加田径运动会比赛的学生}，B={x|x是参加球类运动会比赛的学生}，

A∩B={x|x是两次运动会都参加比赛的学生}，

A∪B={x|x是参加所有比赛的学生}．

因此card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）=8+12﹣3=17．

故两次运动会中，这个班共有17名同学参赛．

故答案为：

17．

【点评】本题考查集合中元素个数的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意公式card（A∪B）=card（A）+card（B）﹣card（A∩B）的合理运用．

13．某校高一某班共有40人，摸底测验数学成绩23人得优，语文成绩20人得优，两门都不得优者有6人，则两门都得优者有　9　人．

【分析】用方程思想解题：

设两门都得优的人数是x人，则依据“数学得优人数+语文得优人数+两门都得优人数+两门都不得优人数=40”列出方程．

【解答】解：

设两门都得优的人数是x，则依题意得

（23﹣x）+（20﹣x）+x+6=40，

整理，得：

﹣x+49=40，

解得x=9，

即两门都得优的人数是9人．

故答案为：

9

【点评】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．

14．设U=R，集合A={x|﹣2＜x＜1}，B={x|﹣1＜x≤4}，则如图中阴影部分表示的集合为　{x|x≤﹣2，或﹣1＜x＜1，或x＞4}　．

【分析】图中阴影部分由A∩B与CR（A∪B）组成，按照补集和并集交集的含义求解即可．

【解答】解：

图中阴影部分由A∩B与CR（A∪B）组成，而A∩B={x|﹣1＜x＜1}，CR（A∪B）={x|x≤﹣2，或x＞4}，

故答案为：

{x|x≤﹣2，或﹣1＜x＜1，或x＞4}．

【点评】本题考查集合的含义、运算和表示等知识，考查数形结合思想在解题中的应用．

三．解答题（共6小题）

15．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）根据条件求出集合A，B结合Venn图即可求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）根据集合关系进行转化求解即可．

【解答】解：

（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

所以B={x|2≤x≤4}，

根据题意，由图可得：

C=A∩（CUB），

因为B={x|2≤x≤4}，则CUB={x|x＞4或x＜2}，

而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（CUB）={x|1≤x＜2}；

（Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，

所以A∪B={x|1≤x≤4}，．

若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），

则有

，

解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围为（2，3]．

【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．

16．已知集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}．

（1）若

，求A∩B；

（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．

【分析】

（1）当a=

时，求出集合A和集合B，由此能求出A∩B．

（2）当A=∅时，a﹣1＞2a+1，当A≠∅时，a﹣1≥1或2a+1≤0，由此能求出实数a的取值范围．

【解答】解：

（1）当a=

时，

A={x|﹣

}，B={x|0＜x＜1}，

∴A∩B={x|0＜x＜1}．

（2）∵集合A={x|a﹣1＜x＜2a+1}，B={x|0＜x＜1}．A∩B=∅，

∴当A=∅时，则a﹣1＞2a+1，即a＜﹣2，

当A≠∅时，则a﹣1≥1或2a+1≤0，

解得：

a

或a≥2．

综上：

实数a的取值范围是{a|a

或a≥2}．

【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．

17．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣4x≤0}，B={x|m≤x≤m+2}．

（1）若m=3，求∁UB和A∪B；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围；

（3）若A∩B=∅，求实数m的取值范围．

【分析】

（1）当m=3时，B={x|3≤x≤5}，集合A={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，由此能求出∁UB和A∪B．

（2）由集合A{x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，B⊆A，列出不等式组，能求出实数m的取值范围．

（3）由集合A={x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，A∩B=∅，得到m+2＜0或m＞4，由此能求出实数m的取值范围．

【解答】解：

（1）当m=3时，B={x|3≤x≤5}，

集合A={x|x2﹣4x≤0}={x|0≤x≤4}，…（2分）

∴CUB={x|x＜3或x＞5}，…（4分）

A∪B={x|0≤x≤5}．…（6分）

（2）∵集合A{x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}，B⊆A，

∴

，…（8分）

解得0≤m≤2．

∴实数m的取值范围[0，2]．…（10分）

（3）∵集合A={x|0≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}．

A∩B=∅，

∴m+2＜0或m＞4，…（12分）

解得m＜﹣2或m＞4．

∴实数m的取值范围（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）．…（14分）

【点评】本题考查补集、并集、实数的范围的求法，考查补集、并集、交集等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

18．不等式x2+2x﹣8≥0的解集为A，x2﹣（m+1）x+3m﹣6≤0的解集为B．

（1）若m=0，求A∩B；

（2）若A∪B=R，求实数m的取值范围．

【分析】

（1）根据一元二次不等式的解法，解出集合A，B，再根据交集的定义即可求出；

（2）由x2﹣（m+1）x+3m﹣6≤0，可得（x﹣3）（x﹣m+2）≤0，再根据A∪B=R，可得m﹣2≤﹣4，解不等式即可．

【解答】解：

（1）∵x2+2x﹣8≥0，解得x≤﹣4或x≥2，

∴A=（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞），

∵m=0，

∴x2﹣x﹣6≤0，解得﹣2≤x≤3，

∴B=[﹣2，3]，

∴A∩B=[2，3]；

（2）∵x2﹣（m+1）x+3m﹣6≤0，

∴（x﹣3）（x﹣m+2）≤0，

∵A∪B=R，

∴m﹣2≤﹣4，

解得m≤﹣2．

【点评】此题主要考查集合的定义及集合的交集并集的运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，要认真掌握．

19．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围．

【分析】由题意可得当B=∅，可得m+1＞2m﹣1；当B≠∅，可得

或

，解不等式即可得到所求范围．

【解答】解：

集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，

若A∩B=∅，

当B=∅，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2；

当B≠∅，可得

或

，

得

或

，

即为m∈∅或m＞4，

综上可得m的范围是m＞4或m＜2．

【点评】本题考查集合的定义和应用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的解法，属于中档题．

20．已知集合

，关于x的不等式|x|＜2的解集为B

（1）求A∩∁RB；

（2）设P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．

【分析】

（1）解不等式得集合A、B，根据补集和交集的定义写出A∩∁RB；

（2）用列举法写出集合P，根据题意列不等式组求出m的取值范围．

【解答】解：

集合

={x|﹣3＜x＜4}，

关于x的不等式|x|＜2的解集为B={x|﹣2＜x＜2}；

（1）∁RB={x|x≤﹣2或x≥2}，

∴集合A∩∁RB={x|﹣3＜x≤﹣2或2≤x＜4}；

（2）P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}={﹣2，2，3}，

Q={x|m﹣1≤x≤m+1}，

若P中只有两个元素属于Q，

则

，或

，

解得m∈∅，或2≤m≤3，

∴m的取值范围是2≤m≤3．

【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，也考查了元素与集合的应用问题，是综合题．