整理多元函数积分.docx
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整理多元函数积分
多元函数积分
1.利用积分区域的对称性化简多元函数的积分
1.1利用积分区域的对称性化简多元函数的重积分
题型一计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的重积分
类型
（一）计算积分区域具有对称性、被积函数具有奇偶性的二重积分
常用下述命题简化计算二重积分.
命题1若f（x,y）在积分区域D上连续，且D关于y轴（或x轴）对称，则
（1）f（x,y）是D上关于x（或y）的奇函数时，有
；
（2）f（x,y）是D上关于x（或y）的偶函数时，有
；其中D1是D落在y轴（或x轴）一侧的那一部分区域.
命题2若D关于x轴、y轴对称，D1为D中对应于x≥0,y≥0（或x≤0,y≤0）的部分，则
命题3设积分区域D对称于原点，对称于原点的两部分记为D1和D2.
（1）
（2）
命题4积分区域D关于
具有轮换对称性，则
记D位于直线y=x上半部分区域为D1,则
类型
（二）计算积分区域具有对称性，被积函数具有奇偶性的三重积分.
常用下述命题简化具有上述性质的三重积分的计算.
命题1若Ω关于xOy平面对称，而Ω1是Ω对应于z≥0的部分，则
若Ω关于yOz平面（或zOx平面）对称，f关于x（或y）为奇函数或偶函数有类似结论.
命题2若Ω关于xOy平面和xOz平面均对称（即关于x轴对称），而Ω1为Ω对应于z≥0,y≥0的部分，则
若Ω关于xOz平面和yOz平面均对称（即关于z轴对称），或者关于xOy平面和yOz平面均对称，那么也有类似结论.
命题3如果积分区域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则
命题4若积分区域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z为奇函数，即
题型三计算积分区域具有轮换对称性的三重积分
命题5如果积分区域关于变量x,y,z具有轮换对称性（即x换成y,y换成z,z换成x，其表达式不变），则
.
1.2利用积分区域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分
题型一计算积分曲线（面）具有对称性的第一类曲线（面）积分
类型
（一）计算积分曲线具有对称性的第一类曲线积分
命题1.2.1设曲线L关于y轴对称，则
其中L1是L在x≥0的那段曲线，即L1是L在y轴右侧的部分；若曲线L关于x轴对称，则有上述类似结论.
命题1.2.2设f（x,y）在分段光滑曲线L上连续，若L关于原点对称，则
其中L1为L的右半平面或上半平面部分.
类型
（二）计算积分曲面具有对称性的第一类曲面积分
第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分类似，可利用下述命题简化计算.
命题1.2.3设积分曲面Σ关于yOz对称，则
其中Σ1是Σ在yOz面的前侧部分.若Σ关于另外两坐标面有对称性，则有类似结论.
注意不能把Σ向xOy面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能为0.
题型二计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分
命题1.2.4若L关于直线y=x对称，则
.
题型三计算空间积分曲线具有轮换对称性的第一类曲线积分
命题1.2.5若曲线Γ方程中的三变量x,y,z具有轮换对称性，则
.
1.3利用积分区域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分
题型一计算积分曲线具有对称性的第二类曲线积分
第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.
命题1.3.1设L为平面上分段光滑的定向曲线，P（x,y）,Q（x,y）连续，
（1）L关于y轴对称，L1是L在y轴右侧部分，则
（2）L关于x轴对称，L1为L在x轴上侧部分，则
（3）L关于原点对称，L1是L在y轴右侧或x轴上侧部分，则
（4）L关于y=x对称，则
即若L关于y=x对称，将x与y对调，则L关于直线y=x翻转，即L化为L—.因而第二类曲线积分没有轮换对称性.
题型二计算积分曲面具有对称性的第二类曲面积分
命题1.3.2设Σ关于yOz面对称，则
其中Σ1是Σ在yOz面的前侧部分.这里对坐标y和z的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz面的对称性，而不能考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同.
2.交换积分次序及转换二次积分
题型一交换二次积分的积分次序
※直接例题，无讲解.
题型二转换二次积分
转换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分转换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.
由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分区域D的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该区域D在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，然后配置积分限.
3.计算二重积分
题型一计算被积函数分区域给出的二重积分
含绝对值符号、最值符号max或min及含符号函数、取整函数的被积函数，实际上都是分区域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.
题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分
当积分区域的边界由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为
或
的形状时，常作坐标变换
，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,得到用极坐标（r，θ）计算二重积分的公式：
（其中rdθdr是极坐标系下的面积元素）.
用极坐标系计算的二重积分，就积分区域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在位置分为下述六个类型（其中a,b,c均为常数）.
类型
（一）计算圆域x2+y2≤a上的二重积分.
类型
（二）计算圆域x2+y2≤2ax上的二重积分.
类型（三）计算圆域x2+y2≤-2ax上的二重积分.
类型（四）计算圆域x2+y2≤2ay上的二重积分.
类型（五）计算圆域x2+y2≤-2ay上的二重积分.
类型（六）计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分.
4.计算三重积分
题型一计算积分区域的边界方程均为一次的三重积分
当积分区域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，如果积分区域Ω的边界方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。
题型二计算积分区域为旋转体的三重积分
可选用柱面坐标计算。
特别当被积函数是两个变量的二次齐式时，常用柱面坐标计算。
题型三计算积分区域由球面或球面与锥面所围成的三重积分
积分区域为球面或球面与锥面所围成的三重积分，采用球面坐标系计算可以减少计算工作量，特别当被积函数为形如
的形式时，常用球面坐标系计算三重积分。
用球面坐标计算三重积分时，首先，应明确球面坐标变换
，
，
及其参数ρ，θ，φ几何意义；其次，要记住球面坐标变换后的体积元素为
；最后，根据积分区域的几何形状及ρ，θ，φ的几何意义正确定出三重积分的积分限。
本题型还可以选用柱面坐标及先二后一的方法进行计算。
题型四计算被积函数至少缺两个变量的三重积分
法一用先二后一法（截面法）计算
当被积函数至少缺两个变量且平行于所缺两变量的坐标面的截面面积又易求时，可用下述公式将三重积分化为定积分求之。
为方便计，设被积函数为f（x），则
，
其中z1，z2是Ω向z轴投影而得到的投影区间[z1，z2]的端点，而D（z）是用垂直于z轴（平行于xOy平面）的平面截Ω所得的截面，如D（z）的面积易求出，则上述积分即可求出。
易知当积分区域Ω由椭球面、球面、柱面、圆锥面或旋转面等曲面或其一部分所围成时，相应截面D（x）或D（y）或D（z）为圆域，其面积S（x）或S（y）或S（z）易求出。
如果被积函数又至少缺两个变量，可先对所缺的两个变量积分，用先二后一法计算其三重积分。
法二用重心计算公式求之
当被积函数只有一个变量，而Ω的体积又易求出，则可利用重心计算公式求其三重积分。
题型五计算易求出其截面区域上的二重积分的三重积分
可用先二后一法计算。
虽然这时界面区域上的二重积分不等于其面积，但由于易求出其值，再计算一个单积分，该三重积分也就求出。
这时对被积函数不可作要求。
当截面为圆域或其一部分，被积函数又为
型，常选用上法计算其三重积分，且常用极坐标计算其截面区域上的二重积分。
因而当Ω为旋转体时，其上的三重积分也可用上法求之。
5.计算曲线积分
题型一计算第一类平面曲线积分
计算这类曲线积分的主要方法是根据积分曲线方程的类型（直角坐标、极坐标、参数方程），正确写出弧长元素ds的表达式，将第一类曲线积分转化为定积分（其下限必不超过上限）的计算。
计算中要始终注意利用曲线方程化简被积函数（因为在积分过程中动点始终沿着曲线移动，从而其坐标满足曲线方程），这是计算曲线（面）积分特有的方法，因而可用曲线方程化简被积函数。
代换后归结为计算
，而L的弧长是已知的或易求的。
此外，还应注意曲线的对称性及被积函数的奇偶性和周期性和物质曲线的重心简化计算。
注意若曲线有对称性，虽然整个被积函数不一定关于x（或y）为奇、偶函数，但可进一步考察其某一部分是否具有奇偶性，尽量利用对称性简化计算。
题型二求解平面上与路径无关的第二类曲线积分有关问题
类型
（一）判断（证明）平面曲线积分与路径无关，并求该积分
定理5.1满足下列四条件之一，则积分
在L所围的区域D内与路径无关：
（1）存在u（x,y）使得
；
（2）若D为单连通区域，且
；（但若D不是单连通区域，
在D内成立，不能证明
在D内与路径无关）
（3）
，l为D内任一分段光滑闭曲线；
（4）若D为有唯一奇点M0的复连通域，存在一条环绕M0的路径C，使
。
对于单连通区域D，为证Pdx+Qdy存在原函数u（x,y），使du=Pdx+Qdy常验证
成立。
若在单连通区域D内积分与路径无关，则可在D中选取特殊的路径计算
，其中右端积分为终点变动的积分，通常取D中平行于坐标轴的折线路径计算，设（x0,y0）为D内任一点有
，
或
.
若找到了原函数u（x,y）,则
.
类型
（二）求平面上与路径无关的第二类平面曲线积分被积式中的待定函数或常数
在单连通区域内由
或其他与积分路径无关的等价条件建立待定函数（或常数）所满足的微分方程,求解次微分方程即可确定所求函数（或常数）.
类型（三）证明Pdx+Qdy存在原函数u（x,y）并求出u（x,y）.
定理5.2设P（x,y）,Q（x,y）在区域D上连续,则
在D内与路径无关的充要条件是在D内存在函数u（x,y）使
.
值得注意的是,定理5.2只要P,Q在区域D上连续,对区域D是单连通或复连通都成立.由该定理可知,讨论
是否与路径无关与讨论Pdx+Qdy是否存在原函数是一回事.
题型三计算平面上与路径有关的第二类曲线积分
虽然题型不同,计算第二类曲线积分方法有别,但将曲线L的方程代入被积式,化简被积函数,及利用各种对称性简化计算是计算第二类曲线积分的各种题型都采用的方法和技巧.
类型
（一）计算平面上与路径有关的平面曲线积分
求法一用格林公式求之
由
知,曲线积分
与路径有关,因而不能改变其积分路径求积分,其值可用格林公式求之.该法是计算平面上第二类曲线积分的重要方法.常有以下三种情况:
（1）曲线积分满足格林公式的各个条件,可使用该公式将曲线积分转化为二重积分求之.
（2）曲线不封闭,添加辅助线（例如添加平行于坐标轴的直线段使之构成封闭曲线）,然后用格林公式把求曲线积分转化为易求的二重积分及辅助线上的曲线积分.
（3）L所围区域含P,Q不连续点时,设法使用格林公式.
这时L所围区域为复连通区域,设法去掉P,Q不连续的点,常用下述各法求出其积分.
方法一将L的方程代入被积函数,有时可去掉其不连续的点.
方法二构造单连通区域D.常用抠除P,Q不连续点的小（椭）圆与曲线L和其他曲线围成单连通区域D,再在D上使用格林公式.
方法三使用下述复连通域上的格林公式求之.
命题5.1（复连通域上的格林公式）设P（x,y）,Q（x,y）在D内有一阶连续偏导数,且
在D内处处成立.L1,L2是任意两条通向闭路径,且在各自所围的区域内有相同的不属于D的点（称为奇点或洞点）,则
.
求法二写出积分曲线的参数方程化为定积分计算
计算与路径有关又不便使用格林公式的第二类曲线积分时,常写出其参数方程,化为定积分计算.
题型四计算空间第二类曲线积分
计算沿空间闭合曲线的第二类曲线积分常用下述各法..
法一借助曲线的参数方程,化为定积分计算.
法二投影到坐标面上,化为平面上第二类曲线积分计算.
因第二类曲线积分是对坐标的曲线积分,dx,dy,dz是有向弧长元素在各坐标轴上的投影,可将空间曲线上的第二类曲线积分投影到坐标面上去计算.当曲线方程含一次方程时,常将一个变量用另外两个变量表示的式子代入被积式,被积函数就化成二元函数,积分曲线就向相应坐标面上投影,空间曲线积分就化为平面曲线积分.再用格林公式可化为二重积分计算.
法三用斯托克斯公式转化为曲面积分计算.
特别当曲线Γ封闭,且被积函数为x,y,z的一次或二次多项式,空间曲线所张成的曲面为平面片或为部分球面比较简单时常用此法求之.求时要注意由Γ的定向按右手法则确定曲面的定向.
特别当
时,可选择特殊的积分路径求
.
※使用上述三法计算时,还应注意将曲线方程代入被积函数以化简被积式,空间第二类曲线积分对称性的情况同平面曲线第二类曲线积分类似,且同样要加以充分利用以化简计算.
法四当Pdx+Qdy+Rdz的原函数存在并易求时,通过求原函数求得曲线积分.
6.计算曲面积分
题型一计算第一类曲面积分
类型
（一）计算与曲面外法线向量无关的第一类曲面积分
这类曲面积分算法是将曲面积分化为投影区域上的二重积分,为此,需按下列步骤进行
（1）确定曲面Σ的方程,积分曲面的显式表示应当是单值函数,否则需将曲面Σ分片,使分片后的各片曲面为单值函数;
（2）由曲面Σ的方程（例如z=z（x,y））算出曲面微元dS（例如
）;（3）由曲面方程及题中所指出的范围确定曲面在相应的坐标面（例如xOy平面）上的投影区域（例如Dxy）,然后将Σ的方程及dS的表达式代入被积式,且将积分区域变为投影区域,余下的就是计算二重积分.
上述求解过程可归纳为一定（曲面Σ的方程）、二求（曲面微元dS）、三代（将Σ的方程及dS的表示式代入被积式）、四替换（将积分区域Σ用投影区域替换）、五计算（二重积分）.
由于第一类曲面积分不考虑曲面的侧,利用对称性的情况与重积分类似,且解题中同样要充分利用,此外还可以利用物质曲面的重心简化计算.
类型
（二）计算与曲面外法线向量有关的第一类曲面积分
利用第一类与第二类曲面积分之间的关系,有时将第一类曲面积分转化为第二类曲面积分,再用高斯公式:
.
或利用斯托克斯公式化为第二类曲线积分
计算.
题型二计算第二类曲面积分
法一化为投影区域上的二重积分计算
以计算
为例的计算步骤为
（1）确定积分曲面Σ的方程z=z（x,y）及其在xOy面上的投影区域Dxy,并确定曲面的侧是上侧还是下侧;
（2）把曲面方程z=z（x,y）代入被积函数中,得到
若曲面Σ是由方程z=z（x,y）所给出的曲面上侧,取正号,否则取负号.
另外,两个积分
及
可类似计算.
这样需将一个完整的积分向三个坐标面投影.如果曲面方程由z=z（x,y）给出,也可由下述命题,将三个坐标面上的积分转化为一个坐标面上的积分.此法常成为合一投影法.
利用上述方法计算曲面积分时,仍需注意利用奇偶性、对称性简化计算.
命题6.1若定曲面Σ由方程z=z（x,y）给出,Σ在xOy平面上的投影区域为Dxy,z（x,y）在Dxy上有连续的偏导数,P,Q,R在Σ上连续,则
其中正负号由Σ的定向确定:
法向量指向上侧取正号,否则取负号.
若将Σ投影到yOz或zOx平面可得类似计算公式.
设曲面Σ由方程z=z（x,y）给出,当Σ取上侧时,有
而
故
即
.
于是
这样三个坐标面上的积分就转化为一个坐标面上的积分.
同样,若曲面Σ由方程x=x（y,z）或y=y（x,z）表示且将Σ投影到yOz或zOx平面也可得到类似公式.
一般地,如果曲面方程由z=z（x,y）给出较简单.例如,曲面为平面或为旋转抛物面等可用上述合一投影法求其上的第二类曲面积分.
法二使用高斯公式求之
高斯公式设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面Σ所围成,函数P（x,y,z）,Q（x,y,z）,R（x,y,z）在区域Ω上具有一阶连续偏导数,则有
或
.
这里Σ是Ω的外侧,cosα,cosβ,cosγ是Σ的外法向量的方向余弦.以上两式均为高斯公式.
在以上两式中令P=x,Q=y,R=z即得
或
.
使用高斯公式计算第二类曲面积分有下述几种情况:
（1）曲面积分
满足高斯公式的多个条件（Σ为封闭曲面,取外侧,P,Q,R在Ω上有连续的一阶偏导数）,利用该公式可把对坐标的曲面积分转化为三重积分计算.
6.建设项目环境影响评价文件的其他要求一般计算三重积分比计算对坐标的曲面积分容易.计算过程要注意使用曲面方程化简被积函数,使用奇偶对称性及曲面与坐标面的垂直性、物质立体（物质曲面）的重心等简化计算。
（2）若Σ不是封闭曲面有时可引入辅助曲面Σ1，使Σ＋Σ1成为取外侧或取内侧的封闭曲面，取内侧时高斯公式中即三重积分前补加一负号。
补加的曲面的方向要与Σ的方向一致，应尽量简单，容易计算其上对坐标的曲面积分。
一般情况下尽可能地选择平行于坐标面的平面，例如取z=常数时，有dzdx=0,dzdy=0,这样只要计算
即可，于是将所求的曲面积分转化为简单的三重积分及辅助面上的曲面积分的计算。
（3）计算被积函数在封闭区域上有不连续点的第二类曲面积分。
一般将曲面方程代入被积函数，或用小（椭）球抠掉不连续点，再用高斯公式计算。
把所求的曲面积分转化为求另一个易求的积分，也可用分面投影法直接计算。
有趣的是，上述结果与球面Σ的半径a无关。
专项规划中的指导性规划 环境影响篇章或说明（4）计算曲面既不封闭，被积函数又不连续的第二类曲面积分。
第二节 安全预评价需添加辅助面使之构成封闭曲面，同时又要设法抠掉不连续点，最后用高斯公式求之。
1.规划环境影响评价的报审法三利用两类曲面积分的关系计算
对第二类曲面积分可求出曲面Σ上侧的方向余弦
，通过
（5）法律、行政法规和国务院规定的其他建设项目。
将第二类曲面积分转化为第一类曲面积分计算。
这一方法有时会使解题简单，特别是当曲面Σ为平面时，由于Σ上任意一点的法向量的方向余弦为常数（平面上任意一点的法向量方向相同），常用上法计算第二类曲面积分。
（4）根据评价的目的、要求和评价对象的特点、工艺、功能或活动分布，选择科学、合理、适用的定性、定量评价方法对危险、有害因素导致事故发生的可能性及其严重程度进行评价。
题型三已知第二类曲面积分的值，求被积式中的未知函数
（3）专项规划环境影响报告书的内容。
除包括上述内容外，还应当包括环境影响评价结论。
主要包括规划草案的环境合理性和可行性，预防或者减轻不良环境影响的对策和措施的合理性与有效性，以及规划草案的调整建议。
利用下述命题和高斯公式得到未知函数所满足的微分方程，解之得其通解，再利用题设条件确定任意常数，求出未知函数。
1.准备阶段命题6.2设g（x,y,z）在某区域Ω*上连续,在Ω*内的任意区域Ω上有
则在Ω*上有g（x,y,z）=0.
第五章 环境影响评价与安全预评价由上命题易知,当曲面积分与曲面形状无关时（这类似于曲线积分与积分路径无关）,利用高斯公式可得到对任意域Ω,g（x,y,z）满足
从而得到g（x,y,z）所满足的微分方程,解此方程即可求出g（x,y,z）.
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