9年级上册数学第四章《相似三角形2》讲义.docx
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9年级上册数学第四章《相似三角形2》讲义
【第四章相似三角形2】
【五、三角形相似的判定方法】
1、定义法：
三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
简述为：
两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相
似．简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
简述为：
三边对应成比例，两三角形相似．
【六、几种基本图形的具体应用】
（1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC
（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC2=AD·AB，CD2=AD·BD，BC2=BD·AB；
（3）满足1、AC2=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
（4）当
或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．
【六、相似三角形的性质】
1、相似三角形对应角相等，对应边成比例．
2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．
3、相似三角形周长的比等于相似比．
4、相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：
相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
【七、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法】
1、证明四条线段成比例的常用方法：
（1）线段成比例的定义
（2）三角形相似的预备定理
（3）利用相似三角形的性质（4）利用中间比等量代换（5）利用面积关系
2、证明题常用方法归纳：
（1）总体思路:
“等积”变“比例”，“比例”找“相似”
（2）找相似：
通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几
个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似
三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
（3）找中间比：
若没有三角形（即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条
直线上），则需要进行“转移”（或“替换”），常用的“替换”方法有这样的三种：
等线段代换、等比代换、
等积代换.即：
找相似找不到，找中间比。
方法：
将等式左右两边的比表示出来。
①
②
③
（4）添加辅助线：
若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线（通常是添加平行线）构成比例，以上步骤可以
不断的重复使用，直到被证结论证出为止.
注：
添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行
线）构造相似三角形或比例线段。
（5）比例问题：
常用处理方法是将“一份”看着k；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。
（6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。
【八、画位似图形的一般步骤：
】
1、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）
2、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.
3、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
4、顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤
注：
①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。
②外位似：
位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）
③内位似：
位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）
5、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,
那么同向位似图形对应点的坐标为（kx,ky）,反向位似图形对应点的坐标为（-kx,-ky）,
【九、相似三角形中的九大考点】
考点一、比例的变形及求值考点二、黄金分割的应用考点三、相似三角形中的线段、面积问题
考点四、相似三角形中的定值问题考点五、相似在实际生活中的应用考点六、巧证比例线段
考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图
考点九、相似三角形的综合题
【考点题型解析】
考点一、比例的变形及求值
1、若
=
，则
的值为（）
A.
B.
C.
D.
2、已知
，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c=
考点二、黄金分割的应用
1、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点
（即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即BD是AB与AD的比例中项），
则AC=，CD=（保留根号）
2、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的
比值越接近0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165cm，下半身长x与身高l的
比值是0.60，为尽可能达到最好效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ）
A．4cmB．6cmC．8cmD．10cm
考点三、相似三角形中的线段、面积问题
1、如图，E为平行四边形ABCD的边DC延长线上的一点，且CE＝DC，连接AE分别交BC、BD于点F、G．
若BD＝12cm，求DG的长
2、如图所示，△ABC是等边三角形，被一有两边平行于BC的矩形所截，AB被截成三部分，则图中的阴影部分的面积
是△ABC的面积的（）A．
B．
C．
D．
3、如图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB∥DE．若△ABC与△DEC的面积相等，
且EF=9，AB=12，则DF=
4、已知：
如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，
△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积
5、如图，在Rt△ABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式是
A.b=a+cB.b=acC.b2=a2+c2D.b=2a=2c
6、如图所示，在Rt△ABC中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PE⊥AB于E，
PD⊥AC于D，设BP=x，则PD+PE=（ ）
A.
+3B.4-
C.
D.
7、在正方形ABCD中，过点D作DP交AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P。
若MN=1，PN=3，求DM的长度。
8、如图，M是△ABC内一点，过点M分别作直线平行于△ABC的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4，9，49，
则△ABC的面积是
9、（2006年温州）如图，在直线m上摆故着三个正三角形:
△ABC、△HFG、△DCE,已知BC=
CE，F、G分别是BC、CE
的中点，FM∥AC，GN∥DC．设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10，则S2=.
10、（2008年温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1∥A2B2∥A3B3，A2B1∥
A3B2∥A4B3．若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．
11、（2009•温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm．现沿底边依次从下往上裁剪宽度均
为3cm的矩形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张
第11题第12题
12、如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：
EC=2：
1，AE与BD交于点F，则△AFD与四边形DFEC的面积之比是
9：
11
-
考点四、相似三角形中的定值问题
1、如图所示，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P是AD的中点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，AB=3，BC=4
（1）求PE+PF的值；
（2）当点P在AD上移动时，（不与AD的中点重合），则PE+PF的值是否会变化？
若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由。
2、如图，已知平面直角坐标系中，直线
交x轴于点B，交y轴于点C。
M为第一象限内一点，且MC垂直
于OC，连OM，作CP⊥OM于点P，连BP，过P点作EP⊥BP交y轴于点E，
问：
当点M运动时，
的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。
考点五、相似在实际生活中的应用
1、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm
45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（ ）
A.0种B.1种C.2种D.3种
2、如图所示，已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内径AB，但又不能直接量出AB，现有一个交叉卡
（两条直尺长AC＝BD）去量，若
，且量得CD＝b，求厚度x．
3、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1）
（1）他们在△AMD和△BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当△AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花
了160元，请计算种满△BMC地带所需的费用；
（2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2和10元/m2，应选择哪种花木，
刚好用完所筹集的资金；
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌
△DPC且S△APD=S△BPC，并说出你的理由．
考点六、巧证比例线段
1、如图所示，∠B=∠C，求证：
（1）
；
（2）BE×CF=CD×BF
2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，∠B=∠E，求证：
AB2=AD×AE
3、如图所示，点E是平行四边形ABCD的一边DA的延长线上的一点，CE交BD于点F，交AB于点G。
求证：
CF2=EF×GF
4、如图，在⊙O的内接△ABC中，AB=AC，D是上一点，AD的延长线交BC的延长线于点P，
（1）求证：
AB2=AD×AP
（2）若⊙O的直径为25，AB=20，AD=15，求PC和DC的长
5、如图，在△ABC的外接圆O中，D是
的中点，AD交BC于点E，连接BD。
（1）列出图中所有相似三角形；
（2）连接DC，若在
上任取一点K（点A，B，C除外），
连接CK，DK；DK交BC于点F，DC2=DF·DK是否成立？
若成立，给出证明；若不成立，举例说明。
6、
（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE//边长，AQ交DE于点P,求证：
=
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG,AF分别交DE于M,N两点。
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；②如图3，求证：
MN
=DM·EN
考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明
1、如图，△ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，
AD∶BD=3∶2．求：
FB∶FC的值．
2、如图所示，点M、N分别在△ABC的边AB、AC上，且BM=CN，MN、BC的延长线交于点P，
求证：
AC×NP=AB×MP
3、如图所示，在等边三角形ABC中，P是BC上任意一点，线段AP垂直平分线分别交AB、AC于点M、N，
求证：
BP×CP=BM×CN
考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图
1、如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，
且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的
，则点B1的坐标是（）
A．（3，2）B．（－2，－3）C．（2，3）或（－2，－3）D．（3，2）或（－3，－2）
2、如图，正方形ABCD和正方形OEFG中,点A和点F的坐标分别为（3,2），（－1,－1），则两个正方形的位似中心
的坐标是_________．
3、如图所示，已知等边三角形ABC，求作等边三角形DEF，使它的三个顶点分别在三角形ABC的边上，且EF∥BC
考点九、相似三角形的综合题
1、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
（1）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？
如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.
2、如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.
（1）设BP=x，△PEF的面积为S，求S与x的函数解析式和x的取值范围；
（2）当P在BC边上什么位置时，S值最大.
3、如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）
（1）△AEF与△EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由；
（2）设
，是否存在这样的k值，使得△AEF与△BFC相似．
若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由。
4、如图，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上，
AD交EF于点H。
（1）求证：
;
（2）设EF=
，当
为何值时，矩形EFPQ的面积最大？
并求其最大值；
（3）当矩形EFPQ的面颊最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线QC匀速运动（当点Q与点C重合时停止
运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式。
5、如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，
BD=
OA=
，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．
（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）当△AEF是等腰三角形时，将△AEF沿EF折叠，得到△
，求△
与五边形OEFBC重叠部分的面积．
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