古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模.docx

古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模.docx

《古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模.docx（27页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模

古塔变形的数学模型古塔模型变形数学建模

古塔变形的数学模型

摘要

古塔被誉为中国古代杰出的高层建筑物，历史悠久，值得并需要我们的保护。

本文研究了关于古塔变形的问题，古塔的变形与塔身的中心紧密相关，具体分析了古塔倾斜、弯曲、扭曲的变形情况及趋势。

对于问题一，建立中心位置模型，采用多边形组合形心的算法，求的结果是表6，7，8，9中的数据;

对于问题二，我们将古塔的倾斜、弯曲和扭曲等变形情况，分别给予合理的

，即塔尖与底层中心的水平距离与塔高的比值;对于弯曲变形，我们定义了弯曲率K，即用中心点所拟合出的空间曲线的曲率来描述古塔各处弯曲率;对于扭曲变形，我们定义了相对扭曲度，利用坐标的旋转变换角度描述古塔的扭曲变形情况。

利用空间曲线拟合、坐标变换等方法以及MATLAB程序，分别求出了三个变形刻画量的量化指标。

对于问题三，我们考虑通过古塔的倾斜、弯曲及扭曲程度来分析古塔的变形趋势，由于数据较少，我们利用灰色预测法来分析这三种变形，利用matlab得到的数据来分析古塔的变形趋势

关键词:

关键词:

组合图形的形心拟合中心变形曲线灰色预测

一（问题重述

古塔由于长时间承受自重、气温、风力等各种作用，偶然还要受地震、飓风的影响会产生各种变形，诸如倾斜、弯曲、扭曲等。

为保护古塔，文物部门需适时对古塔进行观测，了解各种变形量，以制定必要的保护措施。

现有一古塔已上千年历史，是我国重点保护文物。

管理部门委托测绘公司先后于1986年7月、1996年8月、2009年3月和2011年3月对该塔进行了4次观测。

请根据题目提供的4次观测数据，讨论以下问题:

1.给出确定古塔各层中心位置的通用方法，并列表给出各次测量的古塔各层中心坐标。

2.分析该塔倾斜、弯曲、扭曲等变形情况。

3.分析该塔的变形趋势。

二、模型假设

1，参照中国古塔的塔身样式假设塔身水平面是正八角形;

2，假设古塔是均质物体，形心就是中心;

3，以地平面为X轴，建立空间直角坐标系X，Y，Z;

4，假设塔尖面积极小，近视为一个点;

5，假设模型4中古塔所在地不存在地震等这种偶然事件;

6，假设古塔所在的地平面是水平面。

三、符号说明

C--第i个三角形的形心（i=1,2,……6）;i2S--第i个三角形的面积（单位:

m）（i=1,2,……6）;i

A--第i个三角形的形心坐标（单位:

m）;i

W--第t年塔身的倾斜角（t=1986,1996,2009,2011）;t

D--第t年塔身在地面上的水平投影（t=1986,1996,2009,2011）;t

H--第t年塔上部与下部的相对位移（t=1986,1996,2009,2011）;t

L--第t年塔的拟合直线（t=1986,1996,2009,2011）;t

R--塔的倾斜率;

m--第t年中心直线x轴的法向量（t=1986,1996,2009,2011）;t

n--第t年中心直线y轴的法向量（t=1986,1996,2009,2011）;t

J--第t年的中心直线方向向量（t=1986,1996,2009,2011）;t

K--塔的曲率;

四、模型准备

（1）给数据用图像形式表现出来题目所给的4次观测数据1986年、1996年塔13层的第五个点数据残缺。

参照其10层、11层、12层的数据知道第五个点的数值在第四个点和第六个点的数值之间，另外分析后发现这两组数据对题目结果的影响不大。

因此结合实际和理论，采取取相邻年份该层的第四个点和第六个点的平均值将两组数据补齐。

（2）用MATLAB软件将题中所给数据及补充的数据画图表现出来。

五、模型的建立与求解

问题一

塔的变形趋势与塔身的中心有关，因此本题的主要目标是计算出塔中心的变化规律。

问题1属于计算多边形组合形心的数学问题。

因为1986年受自然、社会影响度较小，最接近古塔的原始图样，所以图形较为有参考价值，用MATLAB画出1986年塔身的大致图样为八边形，通过假设得出正多边形的形心就是中心，因

此可运用组合图形形心公式计算出古塔各层中心坐标。

问题一求古塔各层中心坐标，通过假设知道实质就是计算正多边形的中心，运用组合图形求形心的方法。

将每层正八边形的塔面都分为六个三角形（图1-2）S、S、S、S、S、S，123456

每年各层六个三角形的形心:

y，y，yx，x，x128128C（）、133，

x，x，xy，y，y238238

C（,）、233

x，x，xy，y，y348348C（,）、333

y，y，yx，x，x478478C（,）、433

y，y，yx，x，x476476C（,）、335

x，x，xy4，y6，y5465

），C（633

代入测量数据，用excel得出:

1986

1986年各层分面积的形心

A1A2A3A4A5A6塔层

坐标（m）

567.8320，565.6707，564.3160，565.1133，570.8977，570.3780，1525.6177526.9707524.7823523.6693523.7220520.4057

565.7107，564.4383，565.2177，567.8177，570.7933，570.3203，2526.7563524.6417523.5770525.4710523.6700520.4773

565.7503，564.5587，565.3203，567.8037，567.6070，567.1797，3526.5460524.5040523.4870525.3273524.0603520.9890

565.7813，564.6540，565.4017，567.7920，570.6087，570.2180，4526.3787524.3940523.4147525.2127523.5783520.6037

565.8150，564.7567，565.4893，567.7800，570.5210，570.1693，5526.1987524.2760523.3370525.0893523.5347520.6640

565.8483，564.8583，565.5757，567.2693，570.4320，570.1233，6526.0230524.1610523.2620524.9697523.4920520.7217

565.9323，565.0030，565.6087，568.3457，568.9073，567.9333，7525.8013524.0360522.1230522.8950520.9863519.2110

566.0143，565.1437，565.7230，568.2910，568.8363，567.9370，8525.5857523.9140522.1233522.8597521.0700519.4030

566.0963，565.2862，565.8408，568.2398，568.7700，567.9455，9525.3700523.7907522.1207522.8213521.1480519.7718

566.1781，565.4221，565.9518，568.1901，568.7034，567.9501，10525.1621523.6731522.1205522.7871521.2268519.7718

566.2173，565.3411，565.9963，568.1775，568.6384，567.9245，11525.1621522.7775522.1686522.8075521.1750519.9055

566.4234，565.7663，566.2073，568.1537，568.5723，567.8977，12524.7179523.4303522.0879522.6799521.3238520.0395

566.5415，565.9325，566.3304，568.1358，568.5088，568.5314，13524.5037523.3134522.0724522.6281521.3708521.3482

1996

1996年各层分面积的形心

A1A2A3A4A5A6塔层

坐标（m）

565.6709，564.3162，564.8909，568.4069，568.9919，567.6595，1526.9704524.7820522.3034523.1387520.6390518.4570

565.7116，564.4392，564.9537，568.3784，567.0461，567.7212，2526.7554524.6499522.2315523.0668520.8848518.5824

565.7519，564.5603，565.1606，568.4056，568.9876，567.7816，3526.5444524.5024522.2207523.0441520.7551518.2057

565.7835，564.6562，565.2669，568.4048，568.9855，567.8299，4526.3765524.3918522.1878523.0065520.8005518.8035

565.8178，564.7594，567.2741，566.4548，568.5384，570.4308，5526.1958524.2731521.0509524.1346524.6946523.5249

563.6743，565.4214，567.3460，566.5451，568.4659，570.2377，6521.6294520.6144521.1294523.9446524.4789523.4745

563.8114，565.5112，565.6125，568.3495，568.9111，567.9371，7521.6232520.6525522.1191522.8911520.9825519.2071

566.0185，565.1478，565.7272，568.2953，568.8405，567.9412，8525.5814523.9097522.1190522.8554521.0657519.3987

564.2483，565.7973，567.4596，566.6890，568.2713，567.9455，9521.6049520.7773521.2459523.6426522.7973519.5893

564.4428，565.9130，567.4925，566.7358，568.327，569.2540，10521.5880520.7977521.2496523.5298524.0022523.2009

564.6655，566.0338，567.5067，566.6366，568.3226，569.7207，11521.5956520.8531521.2830523.4134523.8619523.1170

564.8876，566.1544，567.5207，566.9068，568.2923，569.5873，12521.6031520.9094521.3166523.2978523.7225523.0337

565.1091，566.2779，567.5416，566.9817，568.2704，569.4667，13521.6032520.9556521.3413523.1791523.5812522.9465

2009

2009年各层分面积的形心

A1A2A3A4A5A6塔层

坐标（m）

562.4995，564.6728，567.1635，566.2995，568.7379，570.9705，1521.6767520.3384520.9321524.4607525.0660523.7300

562.7235，564.8138，567.1945，569.5556，569.5059，570.8206，2521.6673520.3847520.9648521.5574523.8796523.6727

562.9424，564.9515，567.2241，566.3847，568.6415，570.6734，3521.6587520.4308520.9976524.2815524.8619523.6173

563.1175，565.0616，567.2484，566.4188，568.5920，570.5565，4521.6513520.4670521.0232524.2100524.7807523.5727

563.3050，565.1797，567.2741，566.4548，568.5384，570.4308，5521.6439520.5062521.0509524.1346524.6946523.5249

563.6743，656.4214，567.3460，566.5451，568.4659，570.2377，6521.6294520.6144521.1294523.9446524.4789523.4345

563.8114，565.5112，567.3735，566.5799，568.4390，570.1656，7521.6232520.6525521.1561523.8915524.3948523.3980

564.0303，565.6546，567.4165，566.6344，568.3961，570.0504，8521.6142520.7151521.2012523.7572524.2642523.3433

564.2483，565.7973，567.4596，566.6890，568.3533，569.9357，9521.6049520.7773521.2459523.6426524.1329523.2876

564.4428，565.9130，567.4925，566.7658，568.3527，569.8540，10521.5880520.7977521.2496523.5298524.0022523.2007

564.6655，566.0338，567.5067，566.8366，568.3226，569.7207，11521.5955520.8535521.2830523.4134523.8619523.1170

564.8876，566.1544，567.5207，566.9068，568.2923，569.5873，12521.6031520.9094520.3166523.2978523.7225523.0337

565.1091，566.2779，567.5416，566.9817，568.2704，569.4667，13521.6032520.9556521.3413523.1791523.5812522.9465

2011

2011年各层分面积的形心

A1A2A3A4A5A6塔层

坐标（m）

562.49957，564.6856，564.6730，567.1637，567.1413，568.4800，1521.67665204421520.3383520.9320520.9436523.1363

562.7237，564.8140，567.1947，566.3432，568.7042，570.8208，2521.6671520.3844520.9645524.3695524.9621523.6725

562.9428，564.9518，567.2245，566.3851，568.6419，570.6737，3521.6591520.4312520.9979524.2819524.8622523.61764563.1179，565.0620，567.2488，566.4192，568.5924，570.5569，

521.6509520.4666521.0227524.2096524.7802523.5722

563.3056，565.1803，567.2747，566.4554，568.5391，570.4314，5521.6433520.5056521.0503524.1339524.6939523.5243

563.6750，565.4221，567.3467，566.5458，568.4666，570.2384，6521.6286520.6136521.1287523.9439524.4782523.4338

563.8122，565.5120，567.3743，566.5807，568.4398，570.1664，7521.6224520.6517521.1553523.8707524.3940523.3972

564.0311，565.6554，567.4173，566.6352，568.3969，570.0512，8521.6133520.7142521.2003523.7563524.2633523.3424

564.2493，564.7983，567.4607，566.6899，568.3543，569.9366，9521.6040520.7764521.3884523.1730523.6633522.8180

564.4439，565.9141，567.4936，566.7669，568.3538，569.8551，10521.5869520.7966521.2485523.5287524.0011523.1996

564.666，566.0349，567.5078，566.8377，568.3237，569.7218，11521.5944520.8524521.2819523.4123523.8607523.1159

564.8889，566.1557，567.5220，566.9081，568.2936，569.5886，12521.6018520.9081521.3153523.2965523.7212523.0324

565.1104，566.2792，567.5429，566.9830，568.2717，569.4680，13521.6018520.9542521.3398523.1777523.5797522.9450

每层六个三角形的面积S、S、S、S、S、S，代入测量数据，运行MATLAB123456

软件得出:

13层塔中各层划分后的三角形面积

S1S2S3S4S5S6塔层

面积（m2）

16.106714.639720.606821.002514.70746.256325.730713.640219.066219.390213.58645.839735.370612.696217.612117.869412.535.446145.099511.970216.501616.705911.72115.140554.813711.214115.350915.505810.87774.822864.538710.502914.256414.389210.14.523974.059.267212.639112.73328.92594.002883.6.268.13911.158211.21717.85133.528293.17897.08179.77769.80146.84873.0811102.80146.16058.55718.54015.96732.6792112.47635.34497.53127.4125.23612.3588122.16844.58736.56476.36134.558372.0604131.89313.90795.69685.42383.93922.6792

多边形的形心（x,y,z）公式:

ccc

sx，sx，sx，sx，sx，sxCCCCCC123456123456x,cs，s，s，s，s，s123456

sy，sy，sy，sy，sy，syCCCCCC123456123456y,cs，s，s，s，s，s123456

Z，Z，Z，Z，Z，ZCCCCCC123456Z,C6

将表1，2，3，4，5中的数据代入形心公式中，excel计算的结果如下1986

1986年塔的中心坐标

XcYcZc塔层

坐标（m）

1567.1157524.37331.7874

2567.1355524.25837.3203

3566.38524.267212.7553

4567.6101523.857317.0783

5567.1858523.987921.7205

6567.2786523.784626.2351

7567.0062522.346129.8369

8566.9845522.506633.3509

9567.0212522.486836.8549

10567.0562522.470740.1721

11567.0363522.34644.4409

12567.1611522.389348.7119

13567.312522.402452.8293

1996

1996年塔的中心坐标

XcYcZc塔层

坐标（m）

1566.6531522.76061.7832566.3558522.69047.31463566.7792522.631712.75084566.6888523.089217.07515567.0364523.466621.7166567.04522.557926.22957566.9986522.132829.83238566.9059522.101133.34549566.8944521.920636.848310567.071522.304540.167611567.1643522.340144.435412567.2123522.299748.707413567.5044522.404552.8253

2009

2009年塔的中心坐标

XcYcZc塔层

坐标（m）

1566.7412522.70051.76452567.7195521.77797.3093566.8095522.643712.