专升本高等数学知识点讲解汇总.docx
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专升本高等数学知识点讲解汇总
专升本高等数学知识点讲解汇总
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常用知识点:
一、常见函数的定义域总结如下:
（1）cbxaxybkxy++=+=2一般形式的定义域:
x∈R
（2）xky=
分式形式的定义域:
x≠0（3）xy=根式的形式定义域:
x≥0
（4）xyalog=对数形式的定义域:
x>0
二、函数的性质
1、函数的单调性
当21xx<时,恒有）（）（21xfxf<,）（xf在21xx,所在的区间上是增加的。
当21xx<时,恒有）（）（21xfxf>,）（xf在21xx,所在的区间上是减少的。
2、函数的奇偶性
定义:
设函数）（xfy=的定义区间D关于坐标原点对称（即若Dx∈,则有Dx∈-）
（1）偶函数）（xf——Dx∈∀,恒有）（）（xfxf=-。
（2）奇函数）（xf——Dx∈∀,恒有）（）（xfxf-=-。
三、基本初等函数
1、常数函数:
cy=,定义域是）,（+∞-∞,图形是一条平行于x轴的直线。
2、幂函数:
uxy=,（u是常数）。
它的定义域随着u的不同而不同。
图形过原点。
3、指数函数
定义:
xaxfy==）（,（a是常数且0>a,1≠a）.图形过（0,1）点。
4、对数函数
定义:
xxfyalog）（==,（a是常数且0>a,1≠a）。
图形过（1,0）点。
5、三角函数
（1）正弦函数:
xysin=
π2=T,）,（）（+∞-∞=fD,]1,1[）（-=Df。
（2）余弦函数:
xycos=.
π2=T,）,（）（+∞-∞=fD,]1,1[）（-=Df。
（3）正切函数:
xytan=.
π=T,},2）
12（,|{）（ZR∈+≠∈=kkxxxfDπ,）,（）（+∞-∞=Df.
（4）余切函数:
xycot=.π=T,},,|{）（ZR∈≠∈=kkxxxfDπ,）,（）（+∞-∞=Df.
5、反三角函数
（1）反正弦函数:
xysinarc=,]1,1[）（-=fD,]2
2[）（ππ-=Df。
（2）反余弦函数:
xyarccos=,]1,1[）（-=fD,],0[）（π=Df。
（3）反正切函数:
xyarctan=,）,（）（+∞-∞=fD,）2
2（）（ππ-=Df。
（4）反余切函数:
xyarccot=,）,（）（+∞-∞=fD,）,0（）（π=Df。
极限
一、求极限的方法
1、代入法
代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限,等于该点的函数值。
”因此遇到大部分简单题目的时候,可以直接代入进行极限的求解。
2、传统求极限的方法
（1）利用极限的四则运算法则求极限。
（2）利用等价无穷小量代换求极限。
（3）利用两个重要极限求极限。
（4）利用罗比达法则就极限。
二、函数极限的四则运算法则
设Aux=→λlim,Bvx=→λ
lim,则
（1）BAvuvuxxx±=±=±→→→λ
λλlimlim）（lim
（2）ABvuvuxxx=⋅=⋅→→→λ
λλlimlim）（lim.推论
（a）vCvCxxλ
λ→→⋅=⋅lim）（lim,（C为常数）。
（b）n
xnxuu）lim（limλλ→→=（3）BAvuvuxxx==→→→λ
λλlimlimlim,（0≠B）.（4）设）（xP为多项式nnnaxaxaxP+++=-110）（,则）（）（lim00
xPxPxx=→（5）设）（）,（xQxP均为多项式,且0）（≠xQ,则）
（）（）（）（lim000xQxPxQxPxx=→三、等价无穷小
常用的等价无穷小量代换有:
当0→x时,xx~sin,xx~tan,xx~arctan,
xx~arcsin,xx~）1ln（+,xex~1-,22
1~
cos1xx-。
对这些等价无穷小量的代换,应该更深一层地理解为:
当0□→时,□~□sin,其余类似。
四、两个重要极限
重要极限I1sinlim0=→x
xx。
它可以用下面更直观的结构式表示:
1□□sinlim
0□=→重要极限IIexxx=⎪⎭
⎫⎝⎛+∞→11lim。
其结构可以表示为:
e=⎪⎭⎫⎝⎛+∞→
□□□11lim八、洛必达（L’Hospital）法则“00”型和“∞∞”型不定式,存在有Axgxfxgxfaxax==→→）
（）（lim）（）（lim''（或∞）。
一元函数微分学
一、导数的定义
设函数）（xfy=在点0x的某一邻域内有定义,当自变量x在0x处取得增量∆x（点xx∆+0仍在该邻域内）时,相应地函数y取得增量）（）（00xfxxfy-∆+=∆。
如果当0→∆x时,函数的增量y∆与自变量x∆的增量之比的极限
0lim→∆xxy∆∆=0lim→∆xx
xfxxf∆-∆+）（）（00=）（0xf'注意两个符号x∆和0x在题目可能换成其他的符号表示。
二、求导公式
1、基本初等函数的导数公式
（1）0）（='C（C为常数）
（2）1）（-='αααxx（α为任意常数）
（3）aaaxxln）（='）1,0（≠>aa特殊情况xxee='）（
（4）a
xexxaaln1log1）（log=='）1,0,0（≠>>aax,xx1）（ln='（5）xxcos）（sin='
（6）xxsin）（cos-='
（7）x
x2'cos1）（tan=
（8）xx2'sin1）（cot-
=（9）2'11
）（arcsinxx-=）11（〈〈-x
（10））11（11
）（arccos2'〈〈---=xxx
（11）2'
11）（arctanx
x+=（12）2'11）cot（xxarc+-=2、导数的四则运算公式
（1））（）（]）（）（[xvxuxvxu'±'='±
（2））（）（）（）（]）（）（[xvxuxvxuxvxu'+'='
（3）ukku'='][（k为常数）
（4））（）（）（）（）（）（）（2xvxvxuxvxuxvxu'-'='⎥⎦
⎤⎢⎣⎡3、复合函数求导公式:
设）（ufy=,）（xuϕ=,且）（uf及）（xϕ都可导,则复合函数）]（[xfyϕ=的导数为）（）.（'xufdx
dududydxdyϕ'=⋅=。
三、导数的应用
1、函数的单调性
0）（'>xf则）（xf在）,（ba内严格单调增加。
0）（'2、函数的极值
0）（'=xf的点——函数）（xf的驻点。
设为0x
（1）若0xx<时,0）（'>xf;0xx>时,0）（'（2）若0xx<时,0）（'时,0）（'>xf,则）（0xf为）（xf的极小值点。
（3）如果）（'xf在0x的两侧的符号相同,那么）（0xf不是极值点。
3、曲线的凹凸性
0）（''>xf,则曲线）（xfy=在）,（ba内是凹的。
0）（''4、曲线的拐点
（1）当）（''xf在0x的左、右两侧异号时,点））（,（00xfx为曲线）（xfy=的拐点,此时0）（0''=xf.
（2）当）（''xf在0x的左、右两侧同号时,点））（,（00xfx不为曲线）（xfy=的拐点。
5、函数的最大值与最小值
极值和端点的函数值最大和最小的就是最大值和最小值。
四、微分公式
dxxfdy）（'=,求微分就是求导数。
一元函数积分学
一、不定积分
1、定义,不定积分是求导的逆运算,最后的结果是函数+C的表达形式。
公式可以用求导公式来记忆。
2、不定积分的性质
（1））（]）（['xfdxxf=⎰或dxxfdxxfd）（）（=⎰
（2）CxFdxxF+=⎰
）（）（'或CxFxdF+=⎰）（）（（3）⎰⎰⎰⎰±±±=±±±dxxxdxxfdxxxxf）（）（）（）]（）（）（[ψϕψϕ。
（4）dxxfkdxxkf⎰⎰=）（）（（k为常数且0≠k）。
2、基本积分公式（要求熟练记忆）
（1）⎰=Cdx0
（2））1（111-≠++=
+⎰aCxadxxaa.（3）Cxdxx+=⎰ln1.
（4）Caa
dxaxx+=⎰ln1）1,0（≠>aa（5）Cedxexx+=⎰
（6）⎰+-=Cxxdxcossin
（7）⎰
+=Cxxdxsincos（8）
Cxdxx+=⎰tancos12.
（9）Cxdxx+-=⎰cotsin12.（10）Cxdxx+=-⎰arcsin11
2.
（11）Cxdxx+=+⎰arctan112.
3、第一类换元积分法
对不定微分dxxg⎰
）（,将被积表达式dxxg）（凑成）（）（）（）]（[）（'xdxfdxxxfdxxgϕϕϕϕ==,这是关键的一步。
常用的凑微分的公式有:
（1））（）
（1）（baxdbaxfa
dxbaxf++=
+
（2））（）
（1）（1baxdbaxfkadxxbaxfkkkk++=⋅+-（3）xdxfdxxxf21
）（=⋅
（4）xdxfdxxxf1）1
（1）1（2-=⋅
（5））（）（）（xxxxedefdxeef=⋅
（6））（ln）（ln1）（lnxdxfdxx
xf=⋅（7））（sin）（sincos）（sinxdxfxdxxf=⋅
（8））（cos）（cossin）（cosxdxfxdxxf-=⋅
（9））（tan）（tancos1）（tan2xdxfdxx
xf=⋅
（10））（cot）（cotsin1）（cot2xdxfdxxxf-=⋅
（11））（arcsin）（arcsin11
）（arcsin2xdxfdxx
xf=-⋅（12））（arccos）（arccos11
）（arccos2xdxfdxxxf-=-⋅
（13））（arctan）（arctan11）（arctan2
xdxfdxxxf=+⋅（14）））（（ln）
（）（'xddxxxϕϕϕ=）0）（（≠xϕ4、分部积分法
⎰⎰-=vduuvudv
二、定积分公式
1、（牛顿—莱布尼茨公式）如果）（xF是连续函数）（xf在区间],[ba上的任意一个原函数,则有）（）（）（aFbFdxxfb
a-=⎰。
2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线）（）,（21xfyxgy==及两条直线ax=1和bx=2所
围成的（其1y是下面的曲线,2y是上面的曲线）,则
其面积可由下式求出:
.）]（）（[dxxgxfSb
a⎰-=3、计算旋转体的体积
设某立体是由连续曲线）0）（）（（≥=xfxfy和直线）（,babxax<==及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体,如图所示。
则该旋转
体的体积V可由下式求出:
.）（）（22dxxfdxxfVb
abax⎰⎰==ππ
多元函数微分学
1、偏导数,对某个变量求导,把其他变量看做常数。
2、全微分公式:
yBxAyxdfdz∆+∆==）,（。
3、复合函数的偏导数——利用函数结构图
如果）,（yxuϕ=、）,（yxvψ=在点）,（yx处存在连续的偏导数xu∂∂,yu∂∂,xv∂∂,yv∂∂,且在对应于）,（yx的点）,（vu处,函数）,（vufz=存在连续的偏导数uz∂∂,v
z∂∂,则复合函数）],（）,,（[yxyxfzψϕ=在点）,（yx处存在对x及y的连续偏导数,且
xvvzxuuzxz∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂,y
vvzyuuzyz∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂。
4、隐函数的导数
对于方程0）,（=yxF所确定的隐函数）（xfy=,可以由下列公式求出y对x的导数'
y:
）,（）,（'''
yxFyxFyyx-=,2、隐函数的偏导数
对于由方程0）,,（=zyxF所确定的隐函数）,（yxfz=,可用下列公式求偏导数:
）,,（）,,（''zyxFzyxFxzzx-=∂∂,）
,（）,,（''zyxFzyxFyzzy-=∂∂,5、二元函数的极值
设函数）,（00yxfz=在点）,（00yx的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数,且
0）,（00'=yxfx,0）,（00'=yxfy又设Ayxfxx=）,（00'',Byxfxy
=）,（00'',Cyxfyy=）,（00'',则:
（1）当02
<-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处取得极值,且当0A时有极小值。
（2）当02>-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处无极值。
（3）当02=-ACB时,函数）,（yxf在点）,（00yx处是否有极值不能确定,要用其它方法另作讨论。
平面与直线1、平面方程
（1）平面的点法式方程:
在空间直角坐标系,过点）,,（0000zyxM,以},,{CBAn=为法向量的平面方程为
0）（）（）（000=-+-+-zzCyyBxxA称之为平面的点法式方程
（2）平面的一般式方程
0=+++DCzByAx称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程
0=++CzByAx表示过原点的平面方程
0=++DByAx表示平行于Oz轴的平面方程
0=+ByAx表示过Oz轴的平面方程
0=+DCz表示平行于坐标平面xOy的平面方程
3、两个平面间的关系
设有平面0:
11111=+++DzCyBxAπ
0:
22222=+++DzCyBxAπ
平面1π和2π互相垂直的充分必要条件是:
0212121=++CCBBAA
4、直线的方程
（1）直线的标准式方程过点）,,（0000zyxM且平行于向量},,{pnms=的直线方程
常称},,{pnms=为所给直线的方向向量
（2）直线的一般式方程
⎩⎨
⎧=+++=+++0
22221111DzCyBxADzCyBxA称之为直线的一般式方程5、两直线间关系
设直线1l,2l的方程为
直线1l,2l互相垂直的充分必要条件为0212121=++ppnnmm
0）（）（）（:
000=-+-+-zzCyyBxx
Aπ
直线l与平面π平行的充分必要条件为:
⎩⎨
⎧≠+++=++00
00DCpBnAmCpBnAmo
直线l落在平面π上的充分必要条件为⎩⎨
⎧
=+++=++0
00DCpBnAmCpBnAmo
将初等函数展开成幂级数
1、定理:
设）（xf在）,（0δxU
内具有任意阶导数,且
称上式为）（xf在点0x的泰勒级数。
或称上式为将）（xf展开为0xx=的幂级数。
常微分方程
1、一阶微分方程
（1）可分离变量的微分方程
若一阶微分方程0）,,（='yyxF通过变形后可写成dxxfdyyg）（）（=或）（）（ygxfy='则称方程0）,,（='yyxF为可分离变量的微分方程.2、、可分离变量微分方程的解
方程dxxfdyyg）（）（=必存在隐式通解CxFyG+=）（）（。
其:
⎰=dyygyG）（）（,⎰=dxxfxF）（）（.
即两边取积分。
（2）一阶线性微分方程
1、定义:
方程）（）（xQyxPy=+'称为一阶线性微分方程.
（1）非齐次方程——0）（≠xQ;
（2）齐次方程——0）（=+'yxPy.2、求解一阶线性微分方程
（1）先求齐次方程0）（=+'yxPy的通解:
⎰=-dx
xPCey）（,其C为任意常数。
（2）将齐次通解的C换成）（xu。
即⎰=-dxxPexuy）（）（
（3）代入非齐次方程）（）（xQyxPy=+',得
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎰⎰
=⎰
-Cdxexqeydx
xPdxxP）（）（）（2、二阶线性常系数微分方程
（1）可降阶的二阶微分方程1、）（xfy=''型的微分方程例3:
求方程xeyxsin212-=
''的通解.分析:
12cos4
1
Cxedxyyx++=''='⎰;212sin8
1
CxCxedxyyx+++='=⎰.
2、）,（yxfy'=''型的微分方程解法:
（1）令yp'=,方程化为）,（pxfp=';
（2）解此方程得通解）,（1Cxpϕ=;（3）再解方程）,（1Cxyϕ='得原方程的通解21）,（CdxCxy+=⎰
ϕ.3、）,（yyfy'=''型的微分方程解法:
（1）令yp'=,并视p为y的函数,那么dy
dp
p
dxdydydpdxdpy=⋅==
'',
（2）代入原方程,得）,（pyfdy
dp
p
=（3）解此方程得通解）,（1Cypϕ=;
（4）再解方程）,（1Cyyϕ='得原方程的通解
21）,（CxCydy
+=⎰ϕ.
例4:
求方程02='-''yyy的通解.
分析:
（1）令yp'=,并视p为y的函数,那么dy
dp
p
dxdydydpdxdpy=⋅==
'',
（2）代入原方程,得02=-pdy
dpyp
或
ydypdp=（3）解上方程,得Cypln||ln||ln+=⇒yCp1=,（CC±=1）.（4）再解方程yCy1='⇒
1Cy
y='
⇒2
1||lnCxCy'+=.（5）于是原方程的通解为x
CeCy12=,（22CeC'
±=）
（2）常系数线性微分方程
（1）、二阶常系数齐次线性方程0=+'+''qyypy的解。
写出特征方程并求解
02=++qprr.
下面记qp42
-=∆,21,rr为特征方程的两个根.
（1）042
>-=∆qp时,则齐次方程通解为:
xrxreCeCy2121+=。
（2）042
=-=∆qp时,则齐次方程通解为
）（2121111xCCexeCeCyxrxrxr+=+=.
（3）042
<-=∆qp时,有,1βαir+=）0（2≠-=ββαir,则齐次方程通解为
）.sincos（21xCxCeyxββα+=
（2）二阶常系数非齐次方程解法
方程的形式:
）（xfqyypy=+'+''解法步骤:
（1）写出方程的特征方程02
=++qprr;
（2）求出特征方程的两个根21,rr;
（4）再求出非齐次方程的一个特解）（*xy;
（5）那么原方程的通解为）（）（）（*2211xyxyCxyCy++=。
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