立体几何中的截面解析版.docx
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立体几何中的截面解析版
专题13立体几何中的截面
【基本知识】
1.截面定义：
在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。
其次，我们要清楚立体图形的截面方式，总共有三种，分别为横截、竖截、斜截。
最后，我们要了解每一种立体图形通过上述三种截面方式所得到的截面图有哪些。
2、正六面体的基本斜截面：
横截
竖截
斜截
正六面体
正方形
正方形/矩形
如上囹所示
3、圆柱体的基本截面：
正六面体斜截面是不会出现以下几种图形：
直角三角形、钝角三角形、直角梯形、正五边形。
【基本技能】
技能1.结合线、面平行的判定定理与性质性质求截面问题；
技能2.结合线、面垂直的判定定理与性质定理求正方体中截面问题；
技能3.猜想法求最值问题：
要灵活运用一些特殊图形与几何体的特征，“动中找静”：
如正三角形、正六边形、
正三棱锥等；技能4.建立函数模型求最值问题：
①设元②建立二次函数模型③求最值。
例1一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（）
•♦♦
分析考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。
例2如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-AiBCd容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题：
①水的部分始终呈棱柱状；
②水面EFGH的面积不改变；
3棱AQl始终与水面EFGH平行；
4当容器倾斜到如图5
（2）时,BE・BF是定值；
其中正确的命题序号是
分析当长方体容器绕BC边转动时「盛水部分的几何体始终满足棱柱定义.故1正确；在转动过程中EH//FG,但EH与FG的距离EF在变.所以水面EFGH的面积在改变，故2错误；在转动过程中，始终有BC//FG//AxDx,所以面EFGH,3正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5
（2）,因为腺=是定值，又BC是定值，所以BEBF是定值，即4正确;所以正确的序号为134.例3有一容积为1立方单位的正方体容器ABCD-AiBiCiDx,在棱AB、BBi及对角线BiC的中点各有一小孔E、F、G,若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（）
11
C.—
12
分析本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图
（1）,最大值为
1117
V=1-5T5•1=w立方单位这是一种错误的解法’错误原因是对题中“容器是可以任意放置"的理解不
够其实‘当水平面调整为图⑵神。
时—，最大容积为心「^gz=色故
例4正四棱锥A3CD的底面正方形边长是3,。
是尸在底面上的射影，PO=6,。
是AC上的一点,
过。
且与PA8。
都平行的截面为五边形七夕6〃心，求该截面面积的最大值.
解如图，连接AC8。
.设截面与正四棱锥尸—ABC。
的底面相交于£LAC与区相交于。
点，由3。
//
截面EFGHL得LE//BD,AP〃截面EFGHL,得AP//QG,那么，包必定分别与A及A。
相交于
E,L,否则，截面将是三角形，则AP〃£F,AP//LH9在正四棱锥夕一A8C。
中，BD±AP9由
LE//BD、AP//QG,NGQE是异面直线BD与PA所成角、则QGJ.EL,所以，GFEQ和GHLQ是两个全等的直角梯形.
372--
由A尸//反得殍=F，故E尸=卷（3—x）,而4Q=三，由AP//QG得殍=§差
F32272
“加"=24［为1图+扇（3-、）］君=.9+9、=_1，_2『+9
所以，当x=2时，截面EFGHL的面积取得最大值9.
基本方法介绍
①公理法：
用平面基本性质中的公理来作平面；
②侧面展开法：
将立体图形展开为平面图形进行研究；
例5能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？
进一步，截面能否为正五边形呢？
解：
如图所示，我们可以用一个平面截一个正方体A88-44GA，使得截面为一个凸五边彩
1AP1
点/是用8延长线上一点，使得=—E为AR的中点，尸为AA上的点，使得;二=；则截面
2A1F3
GER3H为过直线瓦'与CJ（这里E尸〃CJ）的平面与正方体ABC。
—A5GA相截所得的凸五边形截面.
用一个平面去截一个正方体所得截面不能是一个正五边形.事实上，若截面可以为一个正五边形，则此
五边形的五条边分属于此正方体的五个不同的面.
我们将正方体的每两个相对的面作为一个抽屉，则上述包含正五边形的边的五个面中，必有两个面为
相对的平面，它们是平行的，利用平行平面的性质，可知此五边形中有两条边是平行的但是正五边形的五条边是彼此不平行的，矛盾.
例6已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：
此六边形的周长23a.
证明：
如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形PQOP'出发，依次为
PPQQ,QQRR,QRSP,RSSR,SSPP,PSRQ.
从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于A4,而AA'=732+32=3点这就是要证的结论.
【针对训练】
一、单选题
1.【江西省吉安市2019-2020学年高二上学期期末数学】
在正方体A8CO—A百&R中，/为的中点，E为棱上的动点（不包括端点），过点8,旦尸的平
面截正方体所得的截面的形状不可能是（）
A.四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形
【答案】D
【解析】不妨设正方体的棱长为1,当OvOEW-,截面为四边形BMM；2
如图
特别的，当=1时，截面为等腰梯形8五EG；如图2
1＜。
七＜1截面为五边形8方小例、不可能为六边形.如图2
A.1
故选：
D
2.【2020届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】
如图圆锥/O,轴截面以6是边长为2的等边三角形，过底面圆心。
作平行于母线外的平面，与圆锥侧面的交线是以5为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其顶点E的距离为（）
c4
【答案】D
【解析】
p
D
过底面圆心O作平行于母线外的平面，与圆锥侧面的交线是以£为顶点的抛物线的一部分，平面
PAB.平面PAB与圆锥的侧面交于0E,所以OE||PA.
因为0A=0B,所以OEE=0C,
因为0P，底面ABC,所以OPLOC,
因为OCLOEOPQEG平面PAB.OPnOE=O,
所以OCJ•平面PAB,所以OC«LOB.
在平面Cf。
内建立直角坐标系.设抛物线的方程为y
v1=2/?
/.p=,
所以该抛物线的焦点到其顶点5的距离为L
4
故选：
D
yA
3-
——।—।—y——।—।—।—a
-2-1012345
3.一个棱长为2的止方体被一个平面截去一部分后，
2=2px（p>0）,
一
剩余部分的三视图如图，则该截面的面积是（）
C.V15
【答案】A
【解析】由三视图可知几何体是正方体在一个角上截去一个三棱锥，其截面是等腰三角形如下图：
由于正方体的棱长为2,所以AC=8。
=6AB=2应,所以AB边上高为所以
>/3x272=>/6
4.如图，在正方体A8cO—A4G。
中，点£6G分别是棱AB.BC,的中点，过七月G三点作该正方体的截面，则下列说法错误的是（）
A.在平面内存在直线与平面EFG平行
B.在平面BDD'Bi内存在直线与平面EFG垂直
C.平面A3。
〃平面EFG
D.直线AB1与族所成角为45。
【答案】D
【解析】由线面平行判定定理可得：
当。
为8。
的中点时，BQ〃平面EFG
由线面垂直判定定理可得，BDJ平面EFG,选项A：
B者B对.
因为EG〃月片，FG〃B。
所以平面E/G〃平面AB。
，选项C正确,易得：
打||AC：
A4BC为等边三角形，故直线A片与AC所成角为60。
、即直线AB1与取所成角为60。
.
故D不正确.
故选：
D.
5.【云南省昆明市2019-2020学年高三下学期1月月考数学】
某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个
棱长为4/的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为则该球的半径是（）
【答案】B
【解析】设截面圆半径为L球的半径为R,则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2退，根据截面圆的周长可得44=2乃尸，得,•=2,
故由题意知R2=/+（2jJ）2,即我2=2?
+仅"）2=6所以H=4.
故选：
B.
6.美学四大构件是：
史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学,素描是学习绘画的必要一步，它包括了明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某中学2018级某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”斤在平面与底面成45°角，则该椭圆的离心率为（）
A.-B.叵C.正D.-
2223
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，,椭圆的长轴为24短轴为2b,
则北=2「cos450=空=竺=走，即”无，故离心率e=£==,仁1=正故选B
2a2a2a2a\{a）\22
7.如图，已知三棱锥V—ABC,点P是L4的中点，且AC=2,V8=4,过点P作一个截面，使截面平行于V3和AC,则截面的周长为（）
A.12B.10C.8D.6
【答案】D
【解析】
如图所示，设AB、BC、VC的中点分别为DEF,连接PD,DE,EF,PF.
由题得PD||VB,D日|AC,
因为PD,DE口平面DEFPVBAC不在平面DEFP内，
所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP,
所以截面DEFP就是所作的平面.
由于尸OIW8,EFIIVB,PD=-VB,EF=-VBt22
所以四边形DEFP是平行四边形，
因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1,
所以截面DEFP的周长为2+2+1+1=6.
故选：
D
8.【2020届广东省东莞市高三期末调研测试理科数学试题】
【解析】由题,设平面a为过E的球O的截面、则当QE，平面。
时,截面积最小,
设截面半径为r,球的半径为R,则产=上一1
因为正四面体棱长为〃，设过点4垂直于平面88的直线交平面BCD干热M，则DM=立/令
3
AM=hOM=x^x=h-Rt
解得R二手"，则x=—手〃=普"
在RAOED中,OE?
=OM1+EM?
、
因为点E在线段BD上BD=3BE,设8c中点为N,则DM=2MN.
211
所以EM=—BN=—BC=—a.
333
在中=QW2+£M2即/」如Jj=—a
1213J72
所以/=|如j因为〃=bc=2
14J729
QQ
所以r=一，所以截面面积为S=/Z7二=一兀.
99
故选：
A
9一【2020届福建省福州市高三适应性练习卷数学理科试题】
在三棱锥P—ABC中，0A_L底面ABC,A3_LACA4=6.AC=8,。
是线段4c上一点，且AQ=3QC.三棱锥P-A3c的各个顶点都在球。
表面上，过点。
作球。
的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16乃，则球。
的表面积为（）
A.72兀B.86乃C.112乃D.128万
【答案】C
【解析】将三棱锥P-A8C补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球0,
记三角形48c的中心为Q,设球的半径为R,PA=2x,
则球心O到平面ABC的距离为4即OQ=x,
连接。
①，则g4=5,.・•/=/+25.
在△43C中，取AC的中点为E,连接QDQE,
贝|JQE=；A8=3.DE=^AC=2,
所以=g.在Ma。
。
］。
中，=
由题意得到当截面与直线。
。
垂直时，截面面积最小.
设此时截面圆的半径为广，
则产=收一°。
=V+25-（V+13）=12,
所以最小截面圆的面积为124，
当截面过球心时，截面面积最大为ZrRt
所以42_12兀=16兀，改=28,
球的表面积为4M2=112n
故选C
10.【2020届重庆南开中学高三第五次教学质量检测考试数学文科试题】
正三棱锥P—A3C,。
为8c中点，PA=y/2,AB=2,过。
的平面截三棱锥尸—43C的外接球所得
截面的面积范围为（）
1312
A.—71、—71B.一九、—7C
[45」123」
「一「3•
C.[乃，2]|D.九，'n
【答案】D
【解析】因为正三棱锥尸一ABC,PB=PC=PA=&AC=BC=AB=2,
所以尸B'AA'A*，即尸BLPA,同理尸8_LPC,PC上PA,
因此正三棱锥尸-ABC可看作正方体的一角，如图，
记正方体的体对角线的中点为。
由正方体结构特征可得，O点即是正方体的外接球球心，所以点。
也是
正三棱锥P—ABC外接球的球心，记外接球半径为H，
则R」j2+2+2=包,因为球的最大截面圆为过球心的圆，22
3
所以过。
的平面截三棱锥P—A3C的外接球所得截面的面积最大为5皿=万斤=54；又。
为BC中点，
由正方体结构特征可得OQ=gpA=¥；
由球的结构特征可知，当。
。
垂直于过。
的截面时，截面圆半径最小为r=J/?
2—OQ2=1，所以
因此，过。
的平面截三棱锥尸-ABC的外接球所得截面的面积范围为见;先2
故选：
D.
11
.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部,且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的
【解析】其空间结构体如下图所示
易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除A.D；
等腰三角形的底边是正三棱锥的一条这条棱不可能与内切球有交点，所以排除B；
截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是C.
故选:
C
12.【2020届湖北省部分重点中学高三第二次联考数学试卷理科试题】
如图，已知四面体的各条棱长均等于4,E,尸分别是棱4。
、8C的中点.若用一个与直线所垂直，且与四面体的每一个面都相交的平面。
去截该四面体，由此得到一个多边形截面，则该多边形截面面积最大值为（）
A.3亚B.4C.4亚D.6
【答案】B
【解析】将正四面体补成正方体如图,
可得EF_L平面且正方形边长为20,由于族_La,故截面为平行四边形MNKL且KL+KN"又KL"BC,KN//AD且AO_LBC,
・•・KN±KL
…SaMNKL_KN-KL<=4.
V2）当且仅当KL=KN=2时取等号,故选：
B.
13.【2020届辽宁省实脸中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末】仿照“。
印7a加双球”模型，人们借助圆柱内的两个内切球完美的证明了平面截圆柱的截面为椭圆面.如图.底面半径为1的圆柱内两个内切球球心距离为4,现用与两球都相切的平面截圆柱所得到的截面边缘线是一椭圆，则该椭圆的离心率为（）
【答案】D
【解析】画出图形的轴截面如图所示，则CD为椭圆的长轴，圆柱的底面直径为椭圆的短轴；依题意45=4
CG=2AE=BF=\l则AO=143=2
2
AE1
・•・sinZAOE=——=—・・.ZAOE=30°/.AGCO=60°AO2
CG।
在RtACDG中有cosAGCO
・・.CZ）=4即椭圆中，2。
=4,2b=2二"=2b=i
c2=a2-b2：
.c=6「♦e=£=-故选：
Da2
14.已知正方体ABC。
—44a口的边长为2,边A8的中点为M,过M且垂直8口的平面被正方体所截的截面面积为（）
A.gB.6C.25/3D-3"
2
【答案】A
【解析】如图，连结AC,C牛A8「3G，
易知Cq_LBG，CB]±D.C,,又BC、cD©=G,则。
与_1,平面8GA，故同理可证明
0_1平面80。
，则CA_LBQ,
又CAncq=C,故.平面AC分
取6C的中点E,的中点/，易知平面MEF//平面AC4,
所以8q_L平面M£尸，即^ME尸为所求截面.
易知尸为正三角形，边区ME=1BM?
+BE2="，
故Samef=；x^2xa/2x£=今.乙乙乙
故选：
A.
15.在棱长为2的正方体ABC。
-中，P,。
，R分别是45,AD.用G的中点，设过P,Q、
R的截面与面4。
。
出，以及面A844的交线分别为/,加，则/，加所成的角为（）
A.90°B.30°C.45°D.60°
【答案】D
【解析】因为，在正方体ABC。
-A/£2中，p,。
，H分别是A氏AD,8£的中点，取CQ,,
的中点分别为G,F,E,连接FG,FQ,QP,pe,ER,RG,根据正方体的特征，易知，若连接PG,EFRQ、则这三条线必相交于正方体的中心，又GR//EF//QP,所以p,QR,G,尸,七六点必共面，即为过尸，QR的截面；所以律即为直线加，尸。
即为直线/；连接AB-AR,BR,因为EP〃ABjFQUAD.,
所以/B,ADi即为异面直线EP与尸。
所成的角，又因为正方体的各面对角线都相等：
所以△A5A为等边三角形,因此NgAR=60。
故选：
D.
16.在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面，如图，在正方体458-A8G2
中，点人尸分别是棱8力、8c中点，点G是棱CG的中点，则过线段47且平行于平面4年的截面图形
为（）
A.矩形B.三角形C.正方形D.等腰梯形
【答案】D
【解析】取8。
的中点〃，如图连接A"、GH、D。
、ADlt由题意得：
GH//EF,AHUA.F9-GH
不在平面A】EF,石/q平面AlEF,GHII平面A^EF
•/AH不在平面\EF,AjFc平面A{EFAHII平面A}EF-GH^\AH=H6”,4"三平面4〃62
---平面AHGD]//平面?
41EF过线段AG且平行于平面AEF的截面图形为等腰梯形AHGR
故选：
D
17.【2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（理）试题】
如图四面体A-8CQ中，AD=BC=2,AD±BC,截面四边形EFG"满足EP//8C；FG//AD,则下列结论正确的个数为（）
①四边形EFG”的周长为定值
②四边形七的面积为定值
③四边形EFG”为矩形
④四边形EFGH的面积有最大值1
【答案】D
【解析】因为EF//BC,EFu平面BCD,所以EF〃平面BCD,又平面平面3OC=G”.所
以EFHGH同理FG〃EH,所以四边形EFG〃为平行四边形,
又所以四边形£FG〃为矩形.所以3是正确的；
所以Q痣嚏+MBC=AD=2,W=2所以四边形EFG”的周长为定值4,所以1是正确的；
Sefg„=EFxFG<^EF^F-）=1,所以四边形EFG”的面积有最大值1,所以4是正确的.因为13
④正确.故选：
D
18.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷）】
已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面。
所成的角都相等，则。
截此正方体所得截面面积的最大
值为
【答案】A
【解析】首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只需与从同一
个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置.截正方体所得的截面为一个正六边形，且边
长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.
【解析】
根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，
所以在正方体a8c中，
平面与线AV4用,4。
所成的角是相等的，所以平面ABR与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的,同理平面C{BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等,要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面从片。
与中间的,
且过棱的中点的正六边形，且边长为巫2
所以其面积为S=6x孝•（停尸=手，故选A.
19.【四川省内江市2019-2020学年高二上学期期末数学（文）试题】
已知正三棱锥A—BCD的外接球是球。
正三棱锥底边3c=3,侧棱八8=2逐，点F在线段8。
上，且
BE=DE,过点对乍球。
的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）
一rlrl-
9乃八i11乃，9江
A.—.3^B.[24，3/|C.下一，4乃D.—.4^
【答案】D
【解析】如图，
A
由题，设△3CO的中心为:
球O的半径为R，连接OQ,OD,O】E,。
邑则
QQ=3si吟xg="AO、=yjAD1-OXD~=3,
在放AOOQ中,火=（6『+（3-/?
）2,解得/?
=2
3
因为8E=OE,所以。
石=大2
在aDEO[中QE={（#）+[j-2x>/3x-|xcos-^-=~^~
所以CE=1O[E2+OO；=g，
过点E作球0的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面的半径为依一。
炉=_则截面面
9
=一乃，
4
3积为；rx-12
当截面过球心时,截面面积最大:
最大面积为4乃，
故选:
D
20.【云南省曲靖市2019-2020学年高三第一次教学质量检测数学文科试题】
在四面体A3CQ中，AB=BD=AD=CD=3,AC=BC=4.用平行于48,CO的平面截此四面体,
得到截面四边形EFG”,则四边形瓦G”面积的最大值为（）
499
A.-B.—C--D.3
342
【答案】B
【解析】设截面分别与棱AD8280,47交于点E,EG,”由直线A4〃平面£FG”.
且平面A8CD平面EFG〃=G〃，平面ABDc平面EFGH=EF
得G4//A3EF//AB所以GH//EF,同理可证£”〃FG,所以四边形七FG”为平行四边形.
又AB=BD=AD=
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