初一数学下册因式分解doc.docx
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初一数学下册因式分解doc
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因式分解的常用方法
第一部分：
方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍：
一、提公因式法.：
ma+mb+mc=m（a+b+c）
二、运用公式法：
在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：
（1）平方差公式：
a2
b2
（a
b）（a
b）
（2）完全平方公式：
a2
2ab
b2
（a
b）2,a2
2abb2
（ab）2
（3）立方和公式：
（4）立方差公式：
例.已知a，b，c是
ABC的三边，且a2
b2
c2
ab
bcca，则
ABC的形状是（
）
A.直角三角形
B
等腰三角形
C
等边三角形
D等腰直角三角形
解：
a2
b2
c2
abbc
ca
2a2
2b2
2c2
2ab
2bc2ca
（ab）2
（bc）2
（ca）2
0
abc
三、分组分解法：
（一）分组后能直接提公因式
例1、分解因式：
amanbmbn
分析：
从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多
项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑
两组之间的联系。
解：
原式=（aman）（bmbn）
=a（mn）b（mn）每组之间还有公因式！
=（mn）（ab）
例2、分解因式：
2ax10ay5bybx
解法一：
第一、二项为一组；解法二：
第一、四项为一组；
第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：
原式=（2ax10ay）（5bybx）原式=（2axbx）（10ay5by）
=2a（x5y）b（x5y）=x（2ab）5y（2ab）
=（x5y）（2ab）=（2ab）（x5y）
练习：
分解因式1、a2abacbc2、xyxy1
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（二）分组后能直接运用公式
例3、分解因式：
x2y2axay
分析：
若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
解：
原式=（x2
y2）
=（xy）（x
=（xy）（x
（ax
ay）
y）
a（xy）
y
a）
例4、分解因式：
a解：
原式=（a
=（a
=（a
2
2ab
b2
c2
2
2ab
b2）
c2
b）2
c2
bc）（ab
c）
练习：
分解因式3、x2x9y23y4、x2y2z22yz
综合练习：
（1）x3x2yxy2y3
（2）ax2bx2bxaxab
（3）x26xy9y216a28a1（4）a26ab12b9b24a
（5）
a
4
23
a
2
9
（6）4a
2
x4a
2
2
2
y
a
yb
xb
四、十字相乘法：
（一）二次项系数为1的二次三项式
直接利用公式——x2（pq）xpq（xp）（xq）进行分解。
特点：
（1）二次项系数是1；
（2）常数项是两个数的乘积；
（3）一次项系数是常数项的两因数的和。
例5、分解因式：
x25x6
分析：
将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
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由于6=2×3=（-2）×（-3）=1×6=（-1）×（-6）
，从中可以发现只有
2×3的分解适合，
即2+3=5。
1
2
解：
x2
5x6=x2
（23）x23
13
=
（x
2）（x
3）
1
×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：
将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例6、分解因式：
x2
7x
6
解：
原式=x2
[
（1）（
6）]x
（1）（
6）1
-1
=（x
1）（x
6）
1
-6
（-1）+（-6）=-7
练习5、分解因式
（1）
x2
14x
24
（2）
a2
15a36（3）x2
4x5
练习6、分解因式
（1）x2
x2
（2）
y2
2y15（3）x2
10x24
（二）二次项系数不为
1的二次三项式——
ax2
bx
c
条件：
（1）a
a1a2
a1
c1
（2）c
c1c2
a2
c2
（3）b
a1c2
a2c1
ba1c2
a2c1
分解结果：
ax2
bx
c=（a1xc1）（a2x
c2）
例7、分解因式：
3x211x10
分析：
1-2
3-5
（-6）+（-5）=-11
解：
3x211x10=（x2）（3x5）
练习7、分解因式：
（1）5x2
7x6
（2）3x2
7x2
（3）10x2
17x3
（4）6y2
11y10
（三）二次项系数为1的齐次多项式
例8、分解因式：
a28ab128b2
分析：
将b看成常数，把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。
18b
1-16b
8b+（-16b）=-8b
解：
a2
8ab128b2=a
2
[8b
（16b）]a8b（16b）
=
（a
8b）（a
16b）
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练习8、分解因式
（1）x23xy2y2
（2）m26mn8n2（3）a2ab6b2
（四）二次项系数不为
1的齐次多项式
例9、2x2
7xy6y2
例10、x2y2
3xy2
1
-2y
把xy看作一个整体1
-1
2
-3y
1-2
（-3y）+（-4y）=-7y
（-1）+（-2）=-3
解：
原式=（x2y）（2x
3y）
解：
原式=（xy
1）（xy2）
练习9、分解因式：
（1）15x2
7xy4y2
（2）a2x2
6ax8
综合练习
10、
（1）8x6
7x3
1
（2）12x2
11xy15y2
（3）（xy）2
3（xy）10
（4）（ab）24a4b3（5）x2y25x2y6x2（6）m24mn4n23m6n2
（7）x24xy4y22x4y3（8）5（ab）223（a2b2）10（ab）2
（9）4x24xy6x3yy210（10）12（xy）211（x2y2）2（xy）2
思考：
分解因式：
abcx2（a2b2c2）xabc
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五、换元法。
例13、分解因式
（1）2005x2
（20052
1）x
2005
（2）（x1）（x
2）（x
3）（x
6）
x2
解：
（1）设2005=a，则原式=ax2
（a2
1）x
a
=
（ax
1）（x
a）
=
（2005x1）（x
2005）
（2）型如abcd
e的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。
原式=（x2
7x6）（x2
5x6）x2
设x2
5x
6A，则x2
7x6A2x
∴原式=（A
2x）A
x2
=A2
2Ax
x2
=
（Ax）2=（x2
6x6）2
练习13、分解因式
（1）（x2
xy
y2）2
4xy（x2
y2）
（2）（x2
3x2）（4x2
8x3）90
（3）（a21）2（a25）24（a23）2
例14、分解因式（
1）
2x4
x3
6x2
x
2
观察：
此多项式的特点——是关于
x的降幂排列，每一项的次数依次少
1，并且系数成“轴对称”。
这种多项式
属于“等距离多项式”。
方法：
提中间项的字母和它的次数，保留系数，然后再用换元法。
解：
原式=x
2
（2x
2
x
6
1
1
2
2（x
2
1
（x
1
6
x
x
2）=x
x
2）
）
x
设x
1
t，则x2
1
t2
2
2
x
2
x2
2
2
∴原式=
x
2
2）
t
6
=x
2t
t
10
（t
=
x22t
5t
2=x22x
2
5x
1
2
x
x
=
x·2x
2
5·x·x
1
2
=2x2
5x2x2
2x1
x
x
=
（x
1）2（2x1）（x
2）
（2）x4
4x3
x2
4x
1
解：
原式=x2（x2
4x
1
4
1）=x2
x2
1
4x
1
1
x
x2
x2
x
设x
1
y，则x2
1
y2
2
x
x2
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∴原式=x2（y2
4y
3）
=x2（y1）（y
3）
=x2（x
1
1）（x
1
3）=x2
x1x2
3x1
x
x
练习14、
（1）6x4
7x3
36x2
7x6
（2）x4
2x3
x2
12（xx2）
六、添项、拆项、配方法。
例15、分解因式
（1）x3
3x2
4
解法1——拆项。
解法2——添项。
原式=x3
13x2
3
原式=x3
3x2
4x4x4
=（x
1）（x2
x
1）
3（x
1）（x
1）
=
x（x2
3x
4）
（4x
4）
=（x
1）（x2
x13x
3）
=x（x1）（x4）4（x1）
=（x
1）（x2
4x
4）
=
（x1）（x2
4x4）
=（x1）（x2）2
=
（x1）（x2）2
（2）x9
x6
x3
3
解：
原式=（x9
1）
（x6
1）
（x3
1）
=（x3
1）（x6
x3
1）（x3
1）（x3
1）（x3
1）
=（x3
1）（x6
x3
1
x3
11）
=（x1）（x2
x
1）（x6
2x3
3）
练习15、分解因式
（1）x3
9x
8
（2）（x1）4
（x2
1）2
（x1）4
（3）x4
7x2
1
（4）4
x
2
2ax1a
2
4
4
4
（
）2a
2
b
2
2a
2
c
2
2b
2
c
2
a
4
b
4
c
4
x
（）
y
（xy）
5
x
6
七、待定系数法。
例16、分解因式x2
xy
6y2
x
13y
6
分析：
原式的前
3项x2
xy6y2可以分为（x
3y）（x
2y），则原多项式必定可分为（x3ym）（x2yn）
解：
设x2
xy
6y2
x
13y
6=（x
3y
m）（x
2y
n）
∵（x3y
m）（x
2y
n）=x2
xy6y2
（mn）x
（3n2m）ymn
∴x2
xy
6y2
x
13y6=x2
xy
6y2
（m
n）x
（3n2m）ymn
m
n
1
m
2
对比左右两边相同项的系数可得3n2m13，解得
n3
mn6
∴原式=（x3y2）（x2y3）
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例17、
（1）当m为何值时，多项式
x2
y2
mx
5y
6能分解因式，并分解此多项式。
（2）如果
3
2
8有两个因式为
x
1
x
2
ab
xax
bx
和
，求
的值。
（1）分析：
前两项可以分解为
（x
y）（x
y）
，故此多项式分解的形式必为（xy
a）（xy
b）
解：
设x2
y2
mx
5y
6
=（x
ya）（x
y
b）
则x2
y2
mx
5y
6=x2
y2
（ab）x（ba）yab
a
b
m
a
2
a
2
比较对应的系数可得：
b
a
5，解得：
b
3
或b
3
ab
6
m
1
m
1
∴当m
1时，原多项式可以分解；
当m1时，原式=（x
y
2）（x
y
3）；
当m
1时，原式=（x
y
2）（x
y
3）
（2）分析：
x3
ax2
bx
8是一个三次式，所以它应该分成三个一次式相乘，因此第三个因式必为形如
xc的
一次二项式。
解：
设x3
ax2
bx
8=（x
1）（x
2）（xc）
则x3
ax2
bx
8=x3
（3c）x2
（2
3c）x
2c
a
3
c
a
7
∴b
2
3c
解得
b
14，
2c
8
c
4
∴a
b
=21
练习17、
（1）分解因式x2
3xy
10y2
x
9y
2
（2）分解因式x2
3xy
2y2
5x
7y
6
（3）已知：
x2
2xy
3y2
6x
14y
p能分解成两个一次因式之积，求常数
p并且分解因式。
（4）k为何值时，x2
2xy
ky2
3x
5y
2能分解成两个一次因式的乘积，并分解此多项式。
第二部分：
习题大全
经典一：
一、填空题
1.把一个多项式化成几个整式的_______的形式，叫做把这个多项式分解因式。
2分解因式：
m3-4m=
.
3.分解因式：
x2-4y2=__
_____.
4、分解因式：
x2
4x
4=_________________。
n
（x2+y2）（x+y）（x-y），则n的值为
.
5.将x-yn分解因式的结果为
6、若xy
5,xy
6，则x2yxy2
=_________，2x2
2y2
=__________。
二、选择题
7、多项式15m3n2
5m2n
20m2n3
的公因式是（）
A、5mnB、5m2n2C、5m2nD、5mn2
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8、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）
A、a3a3a2
9
B、a2
b2
abab
2
3
C、a2
4a5aa45
D、m2m3mm2
m
10.下列多项式能分解因式的是（
）
（A）x2-y
（B）x
2+1
（C）x
2+y+y2
（D）x
2-4x+4
2
11．把（x－y）－（y－x）分解因式为（
）
A．（x－y）（x－y－1）
C．（y－x）（y－x－1）
B．（y－x）（x－y－1）
D．（y－x）（y－x＋1）
12．下列各个分解因式中正确的是（）
A．10ab2c＋6ac2＋2ac＝2ac（5b2＋3c）
B．（a－b）2－（b－a）2＝（a－b）2（a－b＋1）
C．x（b＋c－a）－y（a－b－c）－a＋b－c＝（b＋c－a）（x＋
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