集合充分必要条件逻辑连接词.docx

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集合充分必要条件逻辑连接词

第1讲　集合的概念和运算

抓住3个考点（考点梳理）

1．集合的基本概念

（1）集合元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性．

（2）元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法、区间法．

（4）常用数集：

自然数集N；正整数集N+（或N*）；整数集Z；有理数集Q；实数集R.

（5）集合的分类：

按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．

2．集合间的基本关系

（1）子集：

对任意的x∈A，都有x∈B，则A⊆B（或B⊇A）．

（2）真子集：

若A⊆B，且A≠B，则AB（或BA）．

（3）空集：

空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集．即∅⊆A，∅B（B≠∅）．

（4）集合相等：

若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

3．集合的基本运算及其性质

（1）并集：

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．

（2）交集：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

（3）补集：

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，U为全集，∁UA表示A相对于全集U的补集．

（4）集合的运算性质

①A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B；②A∩A＝A，A∩∅＝∅；

③A∪A＝A，A∪∅＝A；④A∩∁UA＝∅，A∪∁UA＝U，∁U（∁UA）＝A.

常用一条性质

若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．

关注两个“易错点”

（1）注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误，如A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B中A＝∅的情况需特别注意；

（2）对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．

考点自测

1．（2012·）设集合M＝{－1,0,1}，N＝{x|x2＝x}，则M∩N＝（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　

A．{－1,0,1}B．{0,1}C．{1}D．{0}

2．（2012·）已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

A．1B．2C．3D．4

3．（2012·皖南八校三模）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{1,2,4}，B＝{3,4,5}，则图中的阴影部分表示的集合为（　　）．

A．{5}B．{4}

C．{1,2}D．{3,5}

4．（2012·XX一模）设全集U＝{x|x∈N*，x<6}，集合A＝{1,3}，B＝{3,5}，则∁U（A∪B）

A．{1,4}B．{1,5}C．{2,5}D．{2,4}

5．（2012·XX）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

考向一　集合的基本概念

【例1】►已知a∈R，b∈R，若

＝{a2，a＋b,0}，则a2014＋b2014＝________.

【训练1】（2012·东北四校一模）集合

中含有的元素个数为（　　）．

A．4B．6C．8D．12

考向二　集合间的基本关系

【例2】►已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

【训练2】已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝（－∞，a），若A⊆B，则实数a的取值X围是（c，＋∞），其中c＝________.

考向三　集合的基本运算

【例3】►

（1）（2012·）设集合A＝{x|－3≤2x－1≤3}，集合B为函数y＝lg（x－1）的定义域，则A∩B＝（　　）．　　　　　　　

A．（1,2）B．[1,2]C．[1,2）D．（1,2]

（2）（2012·）已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（　　）．

A．{1,2,4}B．{2,3,4}C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}

【训练3】集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为（　　）．

A．0B．1C．2D．4

热点突破1：

集合问题的求解策略

【命题研究】高考对集合的考查有两种形式：

一是考查集合间的包含关系或交、并、补的基本运算；二是以集合为工具考查集合语言和集合思想在方程、不等式、解析几何等中的运用．

一、集合与不等式交汇问题的解题策略

【真题探究1】►（2012·）已知集合A＝{x∈R|3x＋2>0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x－3）>0}，则A∩B＝（　　）．A．（－∞，－1）B.

C.

D．（3，＋∞）

【试一试1】已知全集U＝{y|y＝log2x，x>1}，集合P＝

，则∁UP＝（　　）．

A.

B.

C．（0，＋∞）D．（－∞，0）∪

二、集合中新定义问题的求解策略

【真题探究2】►（2012·新课标全国）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）．A．3B．6C．8D．10

【试一试2】定义集合运算：

AB＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{－2014,0,2014}，B＝{lna，ea}，则集合AB的所有元素之和为（　　）．

A．2014B．0C．－2014D．ln2014＋e2014

限时训练A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·新课标全国）已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－1

A．ABB．BAC．A＝BD．A∩B＝∅

2．（2012·）设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{3,4,5}，则P∩（∁UQ）＝

A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}

3．（2012·XX质检）设集合U＝{x|x<5，x∈N*}，M＝{x|x2－5x＋6＝0}，则∁UM＝（　　）．

A．{1,4}B．{1,5}C．{2,3}D．{3,4}

4．（2012·XX名校联考）若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，则（∁RA）∩B

A．{x|－1≤x≤1}B．{x|x≥0}C．{x|0≤x≤1}D．∅

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．（2013·XX模拟）设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝

6．（2012·XX）集合A＝{x∈R||x－2|≤5}中的最小整数为________

．

三、解答题（共25分）

7．（12分）若集合A＝{－1,3}，集合B＝{x|x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，XX数a，b.

8．（13分）已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a的值．

（1）9∈（A∩B）；

（2）{9}＝A∩B.

B级　能力突破（时间：

30分钟　满分：

45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1．（2012·XX一模）已知全集U＝R，函数y＝

的定义域为M，N＝{x|log2（x－1）<1}，则如图所示阴影部分所表示的集合是（　　）．

A．[－2,1）B．[－2,2]

C．（－∞，－2）∪[3，＋∞）D．（－∞，2）

2．（2012·潍坊二模）设集合A＝

，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝（　　）．

A．[－2,2]B．[0,2]C．[0，＋∞）D．{（－1,1），（1,1）}

二、填空题（每小题5分，共10分）

3．给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a＋b∈A，且a－b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下三个结论：

①集合A＝{－4，－2,0,2,4}为闭集合；②集合A＝{n|n＝3k，k∈Z}为闭集合；

③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．其中正确结论的序号是________．

4．已知集合A＝

，B＝{x|x2－2x－m<0}，若A∩B＝{x|－1

三、解答题（共25分）

5．（12分）设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则XX数m的值．

6．（13分）（2013·XX模拟）设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，XX数a的取值X围．

第2讲　命题及其关系、充分条件与必要条件

抓住2个考点（考点梳理）

1．四种命题及其关系

（1）命题的概念

可以判断真假、用文字或符号表述的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

（2）四种命题间的相互关系

（3）四种命题的真假判断

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性．

②两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性没有关系．

2．充分条件、必要条件与充要条件

（1）“若p则q”命题为真时，记作p⇒q，称p是q的充分条件，q是p的必要条件．

（2）如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件．

一个等价关系

互为逆否命题的两个命题的真假相同，对于难于判断的命题转化为其等价命题来判断．

两种方法

充分条件、必要条件的判断方法：

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）集合法：

记A＝{x|x∈p}，B＝{x|x∈q}．若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若A＝B，则p是q的充要条件．

考点自测

1．（2012·）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）．

A．若α≠

，则tanα≠1B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

2．（2012·XX）设x∈R，则“x>

”是“2x2＋x－1>0”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．（课本习题改编）命题“如果b2－4ac＞0，则方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中是真命题的个数为（　　）．

A．0B．1C．2D．3

4．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）．

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2＜3B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2＜3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

5．下列命题中所有真命题的序号是________．

①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；

③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．

考向一　四种命题及其关系

【例1】►（2012·XX模拟）下列有关命题的说法正确的是（　　）．

A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy＝0，则x≠0”

B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题

C．命题“∃x∈R，使得2x2－1<0”的否定是“∀x∈R，均有2x2－1<0”

D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题

【训练1】以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）．

①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．

考向二　充分条件与必要条件的判断

【例2】►（2013·XX省九校联考）已知a，b∈R，那么“a2＋b2<1”是“ab＋1>a＋b”（）

A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

【训练2】（2012·东北三校联合模拟）“λ<1”是“数列an＝n2－2λn（n∈N*）为递增数列”　　　　　　　　　　　

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

考向三　充要条件的探求

【例3】►（2011·）设n∈N*，二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n（）

【训练3】（2012·）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（　　）．

A．x＝－

B．x＝1C．x＝5D．x＝0

三年高考【真题探究】►（2012·）设a>0且a≠1，则“函数f（x）＝ax在R上是减函数”是“函数g（x）＝（2－a）x3在R上是增函数”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【试一试】若a，b为实数，则“ab<1”是“0

”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

限时训练A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·）命题“若p，则q”的逆命题是（　　）．

A．若q，则pB．若非p，则非qC．若非q，则非pD．若p，则非q

2．命题“若f（x）是奇函数，则f（－x）是奇函数”的否命题是（　　）．

A．若f（x）是偶函数，则f（－x）是偶函数B．若f（x）不是奇函数，则f（－x）不是奇函数

C．若f（－x）是奇函数，则f（x）是奇函数D．若f（－x）不是奇函数，则f（x）不是奇函数

3．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是（　　）．

A．0

4．A＝{x|x－2>0}，B＝{x|x<0}，C＝{x|x（x－2）>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．（2013·XX质检）“m<

”是“二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．

6．（2013·XX模考）下列四个说法：

①一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真；

②命题“设a，b∈R，若a＋b≠6，则a≠3或b≠3”是一个假命题；

③“x>2”是“

<

”的充分不必要条件；④原命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真．

其中说法不正确的序号是________．

三、解答题（共25分）

7．（12分）分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

（1）若ab＝0，则a＝0或b＝0；

（2）若x2＋y2＝0，则x，y全为零．

8．（13分）已知p：

x2－8x－20≤0，q：

x2－2x＋1－a2≤0（a>0）．若p是q的充分不必要条件，XX数a的取值X围．

B级　能力突破（时间：

30分钟　满分：

45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1．（2012·潍坊二模）下列说法中正确的是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．命题“若am2

B．若函数f（x）＝ln

的图象关于原点对称，则a＝3

C．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝

成立

D．已知x∈R，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件

2．（2013·潍坊一模）命题“∀x∈[1,2]，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是（　　）．A．a≥4B．a≤4C．a≥5D．a≤5

二、填空题（每小题5分，共10分）

3．（2013·XX模拟）若方程x2－mx＋2m＝0有两根，其中一根大于3一根小于3的充要条件是________．

4．已知集合A＝

，B＝{x|－1

三、解答题（共25分）

5．（12分）求证：

关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为1的充要条件是a＋b＋c＝0.

6．（13分）已知全集U＝R，非空集合A＝

，B＝

.

（1）当a＝

时，求（∁UB）∩A；

（2）命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，若q是p的必要条件，XX数a的取值X围．

第3讲　全称量词与存在量词、逻辑联结词“且、或、非”

抓住2个考点（考点梳理）

1．简单的逻辑联结词

命题中的“或”、“且”、“非”叫作逻辑联结词．

2．全称量词与存在量词

（1）常见的全称量词有：

“任意一个”、“一切”、“每一个”、“任给”、“所有的”

（2）常见的存在量词有：

“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有的”等．

（3）全称命题与特称命题

①含有全称量词的命题叫全称命题．②含有存在量词的命题叫特称命题．

3．命题的否定

（1）全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题．

（2）p或q的否定为：

非p且非q；p且q的否定为：

非p或非q.

一个逆用

p∧q为真，p，q都为真．p∨q为真，p，q至少有一个为真．p∨q为假，两个都假．

两点提醒

（1）注意命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题的否定的前提．

（2）注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定．

考点自测

1．若p是真命题，q是假命题，则（　　）．

A．p∧q是真命题B．p∨q是假命题C．非p是真命题D．非q是真命题

2．（2012·）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）．

A．对任意实数x，都有x>1B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1D．存在实数x，使x≤1

3．若命题“∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值X围是________．

4．下列四个命题中，其中为真命题的是（　　）．

A．∀x∈R，x2＋3<0B．∀x∈N，x2≥1C．∃x∈Z，使x5<1D．∃x∈Q，x2＝3

5．p，q是两个简单命题，那么“p∧q是假命题”是“p∨q是假命题”的（　　）．

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

突破3个考向考向一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

【例1】►已知命题p：

∃x∈R，使tanx＝1，命题q：

x2－3x＋2<0的解集是{x|1

①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧非q”是假命题；③命题“非p∨q”是真命题；④命题“非p∨非q”是假命题．其中正确的是（　　）．

A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④

【训练1】已知命题p：

∅⊆{0}，q：

{1}∈{1,2}，由它们构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题中，真命题有（　　）．

A．0个B．1个C．2个D．3个

考向二　含有一个量词的命题的否定

【例2】►（2012·）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）．

A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

【训练2】（2012·长安一中模拟）命题“∃x0∈

，tanx0>sinx0”的否定是________．

【例3】►下列命题中，真命题是（　　）．

A．∃m0∈R，使函数f（x）＝x2＋m0x（x∈R）是偶函数

B．∃m0∈R，使函数f（x）＝x2＋m0x（x∈R）是奇函数

C．∀m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是偶函数

D．∀m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）都是奇函数

【训练3】（2012·XX模拟）下列命题中的假命题是（　　）．

A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝

C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0

3年高考【真题探究】►（2012·）设命题p：

函数y＝sin2x的最小正周期为

；命题q：

函数y＝cosx的图象关于直线x＝

对称．则下列判断正确的是（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．p为真B．非q为假C．p∧q为假D．p∨q为真

【试一试】已知命题p：

抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－

；命题q：

若函数f（x＋1）为偶函数，则f（x）关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是（　　）．

A．p∧qB．p∨非qC．非p∧非qD．p∨q

限时训练A级　基础演练（时间：

30分钟　满分：

55分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·XX二模）如果命题“p且q”是假命题，“綈q”也是假命题，则（　　）．　　　　　

A．命题“非p或q”是假命题B．命题“p或q”是假命题

C．命题“非p且q”是真命题D．命题“p且非q”是真命题

2．（2013·XX模拟）已知命题p：

有的三角形是等边三角形，则（　　）．

A．非p：

有的三角形不是等边三角形B．非p：

有的三角形是不等边三角形

C．非p：

所有的三角形都是等边三角形D．非p：

所有的三角形都不是等边三角形

3．（2012·XX质检）下列命题中的真命题是（　　）．

A．∃x∈R，使得sinx＋cosx＝

B．∀x∈（0，＋∞），ex>x＋1

C．∃x∈（－∞，0），2x<3xD．∀x∈（0，π），sinx>cosx

4．（2013·潍坊模拟）已知命题p：

∃a0∈R，曲线x2＋

＝1为双曲线；命题q：

x2－7x＋12＜0的解集是{x|3＜x＜4}．给出下列结论：

①命题“p且q”是真命题；②命题“p且非q”是假命题；③命题“非p或q”是真命题；④命题“非p或非q”是假命题．其中正确的是（　　）．

A．②③B．①②④C．①③④D．①②③④

二、填空题（每小题5分，共10分）

5．命题“存在x∈R，使得x2＋2x＋5＝0成立”的否定是________．

6．（2012·XX调研）存在实数x，使得x2－4bx＋3b<0成立，则b的取值X围是________．

三、解答题（共25分）

7．（12分）写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的新命题，并判断其真假．

（1）p：

2是4的约数，q：

2是6的约数；

（2）p：

矩形的对角线相等，q：

矩形的对角线互相平分；

（3）p：

方程x2＋x－1＝0的两个实根的符号相同，q：

方程x2＋x－1＝0的两实根的绝对值相等．

8．（13分）写出下列命题的否定，并判断真假．

（1）所有的矩形都是平行四边形；

（2）每一个素数都是奇数；

（3）有些实数的绝对值是正数；（4）某些平行四边形是菱形．

B级　能力突破（时间：

30分钟　满分：

45分）

一、选择题（每小题5分，共10分）

1．（2012·XX二模）给出如下几个结论：

①命题“∃x∈R，cosx＋sinx＝2”的否定是“∃x∈R，cosx＋sinx≠2”；

②命题“∃x∈R，cosx＋

≥2”的否定是“∀x∈R，cosx＋

<2”；

③对于∀x∈

，tanx＋

≥2；④∃x∈R，使sinx＋cosx＝

.

其中正确的为（　　）．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A．③B．③④C．②③④D．①②③④

2．（2012·XX六校联考）已知命题p：

“∀x∈[1,2]都有x2≥a”．命题q：

“∃x∈R，使得x2