一元一次方程及解法.docx

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一元一次方程及解法

一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！

学习目标：

●经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步；

●通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法；

●了解解方程的基本目标（使方程逐步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会解法中蕴涵的化归思想。

重点：

●一元一次方程的解法

难点：

●一元一次方程的解法

学习策略：

●从实验中归纳结论，对发现的结论用自己的语言、文字语言、字母表达式表示出来．在解方程的过程中，要明白每一步变形的依据，解题后及时地进行总结归纳并进行再练习。

二、学习与应用

“凡事预则立，不预则废”。

科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。

我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。

知识回顾——复习

学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）整式：

________和________统称整式。

注意：

是____项式（填单或多）。

（二）同类项：

“两相同”是指_____相同及________相同，“两无关”是指同类项与_____和________顺序无关。

合并同类项法则：

“一变”是同类项______的相加，“两不变”是_____和________不变。

只有几项是同类项时才可以合并。

化简多项式实际就是加法_____律和乘法_____律的运用。

求一个多项式的值应先_____再代入字母的值进行计算。

注意书写格式。

（三）去括号法则：

如果括号外的_____是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_____；如果括号外的

_____是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号_____；即当括号前带“+”号时，去掉括号及“+”后，括号里的各项都_____，当括号前带“-”时，去掉括号及“-”后，括号里的各项都_____，去括号实际就是_____律的运用，所以应把括号前的因数与括号里的每一项都_____。

（四）设某数为x，则根据下列条件分别列出单项式或多项式：

（1）某数的1/3与15的差的3倍:

__________

（2）比某数的5倍大2的数:

__________

（3）某数的3/4与它的1/2的和:

__________

知识要点——预习和课堂学习

认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习，请在虚线部分填写预习内容，在实线部分填写课堂学习内容。

课堂笔记或者其它补充填在右栏。

详细内容请参看网校资源ID：

#tbjx5#212732。

知识点一：

方程的概念

（一）含有未知数的叫做方程。

（二）使方程中等号左右两边相等的的值叫做方程的解。

（三）求方程的解的过程叫做。

（四）方程的两个特征：

（1）方程是；

（2）方程中必须含有。

知识点二：

一元一次方程的概念

（一）概念：

只含有个未知数（元），并且未知数的次数都是，这样的方程叫做一元一次方程。

一元一次方程的标准形式是：

。

“元”是指，“次”是指，在理解一元一次方程的概念时，请你注意：

：

（1）方程中的未知数的个数是。

例如2x+3y=2就（是或不是）一元一次方程，因为未知数的个数是个，而不是个。

（2）一元一次方程等号的两边都是，并且至少有一边是含有未知数的。

例如方程

，其中不是整式，所以它（是或不是）一元一次方程。

（3）未知数的次数都是，如x2+2x-2=0,在x2项中，未知数的次数是，所以它（是或不是）一元一次方程。

（二）判定：

判断一个方程是不是一元一次方程应看它的，而不是看。

（1）如果一个方程经过去、、、等变形能化为或的形式，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。

（2）方程ax＝b或ax

b＝0，只有当时才是一元一次方程；反之，如果明确指出方程ax＝b或ax＋b＝0是一元一次方程，则隐含条件。

例如方程3x2+5=8x+3x2，化简成是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有个未知数x，且x的次数是次，但化简后为，所以（是或不是）一元一次方程。

知识点三：

等式的性质

（一）等式的概念：

用符号来表示相等关系的式子叫做等式。

（二）等式的性质：

等式的性质1：

，结果仍相等。

即：

如果，那么；（c为或）。

等式的性质2：

，结果仍相等。

即：

如果，那么；如果，那么。

在对等式变形时，请你注意：

：

（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须进行，同时，不能某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须。

（2）等式性质1中，强调的是，如果在等式两边同加的不是，那么变形后的等式成立，如x＝0中，两边加上

得x＋

，这个等式不成立。

（3）等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个的数，结果仍相等，因忽略这一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。

知识点四：

合并同类项与移项

（一）合并同类项：

将方程中含有（字母的指数也）的项进行合并，把一元一次方程变形为：

_______________________的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时除以a，从而得到：

（二）移项：

将方程中的某项改变____________后从一边移到另一边，叫做移项。

移项实际上是在方程的两边都________________________________________。

移项时，请你注意：

（1）移项的目的：

将含有__________的项都移到方程的一边，__________都移到方程的另一边。

这样我们就能够________________，而使方程变形为______________________的形式，再将方程两边同时除以a，使x的系数化为1，得到

，即为方程的解。

具体过程如下：

（2）移项的理论依据是______________：

__________________________________，结果仍相等；

（3）移项法则“移项必________”，即移项要________，不变号不能________。

知识点五：

去括号与去分母

（一）去括号：

方程中含有括号时，解方程过程中把_________去掉的过程叫做去括号。

去括号时，请你注意：

：

（1）不要漏乘括号内的_____；

（2）注意“+”“-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的________变化情况。

（二）去分母：

含分数系数的方程两边都乘_______________（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为____，这样的变化过程叫做去分母。

去分母时，请你注意：

（1）不要漏乘不含________的项；

（2）分子是一个_________，去分母后应加上__________。

知识点六：

解一元一次方程的一般步骤

（一）去分母——方程两边都乘各系数分母的________________，要注意不要漏掉不含__________的项，如方程

=3，去分母得10x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以____，造成错误。

（二）去括号——利用乘法对加法的分配律去掉括号，按照去括号法则先__________，再去___________，最后去__________。

特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要________。

括号前有数字因数时要注意使用________律。

（三）移项——把含未知数的项移到方程的一边，___________移到另一边，移项要_________。

（四）合并同类项——把方程化为ax＝b（a≠0）的形式。

（五）系数化为1——在方程两边同除以未知数的__________，得到方程的解x=

。

解一元一次方程时，请你注意：

（1）解方程时，上述步骤中有些变形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形式灵活安排求解步骤。

熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

（2）去分母是为了简化运算，若不使用，也可进行________的运算。

（3）去括号时，若括号前为“____”号，括号内各项要改变符号。

（4）方程是含有未知数的_______，所以方程也具有_______的性质，可以应用_______的性质解较简单的一元一次方程，步骤一般有两步：

①方程两边同时加（或减）同一个数。

②方程两边同时乘（或除以）同一个不为0的数。

例如，解方程：

3x+5=2

解：

两边都减_____，得3x=-3

两边同时除以_____，得x=-1

经典例题-—自主学习

认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。

若有其它补充可填在右栏空白处。

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#jdlt0#212732

类型一：

一元一次方程的概念

例1．判断下列各式是不是方程？

如果是方程，指出已知数和未知数，并指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么？

（1）2x－1＝5；

（2）4＋8＝12；（3）5y－8；（4）2a＋3b＝0；（5）6a2－5x＋4；（6）2x2＋x＝1；（7）x－2≠1；（8）ax＋2a＝3.

思路点拨：

方程是　　　　　　，只含有　　　　　　，并且________________________,这样的方程叫做一元一次方程；方程是_______，两个代数式用等号连接起来就是等式，但等式不一定是_______；方程、等式都含有等号，而代数式不含_______。

总结升华：

举一反三：

【变式】下列四个方程中，一元一次方程是（）

A．x2-1=0B.x+y=1C.12-7=5D.x=0

类型二：

方程的解

例2．检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。

3y－1＝2y＋1（y＝2，y＝4）

思路点拨：

判断一个数是否是方程的解，把这个数________的两边，若___________相等，则该数____方程的解；若_________不相等，则________方程的解。

举一反三：

【变式1】（2011广东湛江）若

是关于

的方程

的解，则

的值为.

答案：

☆☆【变式2】关于x的方程ax+3=4x+1的解为正整数，则a的值是（）

A.2B.3C.2或3D.1或2

类型三：

解一元一次方程

例3．解方程：

9－3x＝5x＋5

思路点拨：

可将右边的5x变号后移到_______，将左边的9变号后移到________，然后合并成左边是含有____________，右边是____________的方程。

总结升华：

举一反三：

【变式】解方程：

4x=18-2x

分析：

利用等式的性质1，________________________________________，结果仍相等。

等式的性质2：

________________________________________________，结果仍相等。

例4．解方程

思路点拨：

本题考查去分母的过程，注意不要漏乘方程中的每一项。

总结升华：

举一反三：

【变式】解方程：

☆例5．解方程x-2[x-3（x+4）-6]=1

思路点拨：

方程特点是含有多重括号，去括号时应从__________开始由_______一层一层去。

举一反三：

☆【变式】

类型四：

一元一次方程的综合应用

例6．已知方程

是关于x的一元一次方程；

（1）求m的值。

（2）写出关于x的一元一次方程

（3）并解

（2）中的方程。

☆例7．对于有理数a，b，c，d，规定一种运算

＝ad－bc，如

＝1×（－2）－0×2＝－2。

那么

＝25时，写出关于x的一元一次方程，并解此方程。

思路点拨：

由题中可看出

的运算方式是_______________________，所以

＝25变形为_____________________________。

☆☆例8．关于x的方程3x-4=a-bx有无穷多个解，则a=_____,b=______。

三、总结与测评

要想学习成绩好，总结测评少不了！

课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。

总结规律和方法——强化所学

认真回顾总结本部分内容的规律和方法，熟练掌握技能技巧。