《高等数学》下册习题参考答案天津科学技术出版社.docx
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《高等数学》下册习题参考答案天津科学技术出版社
习题答案与提示
习题7.1
1./（.¥）=.v2-x>z=（x-v）'+2y・2./（x,v）=a2——・
i+y
3.f（tx9ty）^rf（x,y）.
4.
（1）{（兀刃|y
（2）{（x.y）\x>0,y>1+x}U{（•*,y）\a<0,x（3）{（a\y）|x>0,0Wy<迅兀2+y2冬2}；（4）{（x,y）\y>x»x2+wl,x0}：
（5）{（x,y9z）|z>x2+y2,x2+y2+z2Cl}；（6）{（x,y9z）|I5.提示:
利用sin—cl.
xy
6.
（1）1；
（2）1；（3）0；（4）0；（5）/；（6）一丄.
4
8.f（x,y）在点（0,0）处不连续.
9.
（1）y+x=O：
（2）F+=第伙=1,3,5…）.
习题7.2
1.
（1）-=4.v-3y
9r
（2）£曲
y
dz
dy
2x
v2sin—
y
2.
5.
6.
7.
10.
v
•*
dz.
dy
y]xy-x2y2
（4）
（6）
dz1xyy・x.y
—=—cos—cos—+*sin—sin—♦dxyyxfyx
1.x.yzin—sin—
xyx
xxy
-—cos—cos—-—sm—sin—:
*yx
dz.1sinly
一=—£dvxx
ysin-y
=一一r£ACOS—，fX
=y'（l+c）z»£=（l+Ay）'[ln（l+xv）+—
9
du
dxl+（x-y产dyl+（x-y）2：
6z
du.z—^yx>dx
fx（xA）=2x・
（8）
1：
1+Q
z（x-y）'"16”__（x-y）cln（x-y）
l+（x-y产
dllv<--I.6ll•vc.-
=zxlnx,—=Inxlny・
dz
dy
&=△・
6
—t=2y-ysinx,dx1
（1）
（2）
（4）
空=2「siny+ss・咚=*osy：
dxdy?
dy^
dx24
_10"__1
oxdy4历，dy24
d2z__2兀
a?
~（i+b
d2z1
=—・I
dx1（x+yf
空=0,空-…
dxdy^dy'（1+）厂）亠
d2zvId2z,1
xe_
（a+M
2y
（x+y）2dy2
几（0・0,l）=2,人（102）=2,4（0-L0）=0,（2,0,1）=0.
-
—=-ely[2sin（x+y）4-cos（x+v）]>=e2y[3cos（x+y）-4sin（x+v）]・
习题7.3
1.
2.
Az=0.72»dz=0.7.dz=4dx+7dy・
3.dzl“]=（21n2+l）RY+dy・
4.
（1）
dz.=2y沁+（4小_siny）dy:
（2）
（5）
（6）
i.
3.
4.
5.
8.
x
dz=_:
（ydx-xdy）:
（宀y于
yx\
du=—cosx\dx+—cosxydy一r
ZZz・
（4）
sinxydz；
du=yzxyz^dx^zx>zInxdy+yxyzInxdz・
dz
訂
J1五」1『、
dz=—（——dy-—=dx）:
2y[y-xy4x
习题7.4
W7®（『2*“aJ・2・—=厂~■・
山（1+2疋）厶'+1
严
——[n（y+z+cosx）-bsina]・dx/+/T
du
—=e^lysin（x+y）+cos（x+y）]♦—=e''[jvsin（x+y）+cos（x+y）J・dx^dy
dz_2[x4-ytanCxy1）sec2（.xy）]dz_2[v+xtan（x）r）sec2（x>?
）J
dx
a2+y‘+tan2（xy）
dyx24-y2+tan2（AT）
（1）
（2）
—=2xf\+yf\>—=2）y:
dxoy
』=2亦+卅八，*=-2〉门+计厂2；dxdv
9r
du1…dux,・1
z
dxy
dv
du--y/'
（4）
10.
（1）
duy--I
—=厂]COSX+R八+—炉厂3>dxz
0=/；.+2//"n+d
dz
duv[上，乂.du
—/2+一川⑴灯3，dyz
。
•詁—几一心一必
9F
1.
4.
6.
11.
（2）
（4）
二=厂“-4切•二+2xf\+4x2y2f,:
dv
tr
i丄2Id2z__x丄1厂、一1「夕z
亍T—Jl|+—•/I2+—/229TTT：
12+—f22）29亍T
ox'ydxdy?
yyydy'
*=0厂2ye-f"13+〉，◎/；+b宀八3,
X=fI+沪厂□+（1+xy）皆几+y^f\+刖厂33，dxdv
竽=厂耳+2归厂23+xVV；+F严厂3:
°y・
二=co"灯冷+2广、cosVHJ3-sinxf\+\+e2<^fw33a「
=严f厂cos兀sinyfl+严cosxf逼一严sinyf'+edxdy
2（x4-y）f
空=e^f‘3-cosyf\+sin2yf”“一2e^>sinyf",3+e2,t+v>/.
°y・
dxxcosxy-exv-xdz_2xdz._2ydxez-2zdy?
ez-2zd2z严（2yz-汽'-2）a?
（ye>"-x）3
（1）竺=二，空=二dzx-ydzx-y
（9）空=2a（1-z）.dz
idxy（2z-3）'
zoxduvdu.v
\o）——=cos—♦——=sin—>dxudyu
习题7.5
9dyx+y
dxa-v
dzzdzv
dxx+zdyy（x+z）
7売z（z4一2xyr一ry1）dxdx
9r
3.
（v-.y*O）：
a2-at）3
（y（2z-3）工0）：
dxy（2z一3）
dvvuv—=—cos—-sin—>dxuuu
dvy.u
一=—sin—+cos—:
dyuu
y"l-lnx）.v2（l-lny）
色=-"1
（2）*；一1）一厂2乳色=鮎（灯1+妙;T）
&一（旷厂1）
（2）粘；-1）-厂2瞄’&一0T）3g；T）-几g；
习题7・6
1•切线方程二1=口=二1,
2-23
法平而方程2x-3y+3z=龙一3・
―丄
2.切线方程为口=口=—,
1836-1
法平而方程108x+216〉-6q971・
3.切线方程耳=丄二1=虫，
-x/201
法平面方程岳-z=0.
4.（71,—1）或（一抵，一井.
5.切平而方程3x+3y-z=3,法线方程二!
==!
=口.
33-1
6.切平而方程x+4y+6z=±21.
7.（-3,-1,3）.
9.在点（1,1）有极小值为-1.
10.在点（3,2）有极大值为36.
11.在点（1,-1）有极大值6,在（1,-1）有极小值-2.
12•在点（°上）取极大值为5,在（-二-’）处取极小值为-5・
5555
13•当两直边为请时，周长最长.
14.边长为、月的立方体的体积最大为5・
V39
15•当矩形的边长分别为空和上时，绕短边所得圆柱体的体枳最大.33
16•在（；：
•-；）处距离最近，距离为也.
2223
17•最长距离为耐7T,最短距禽为奸丽.
习题7.7
i.
2
960
i>•
4.Q
3
3・丄J2（a》+夕）・ab
5.^714.
6・±6>/2・
7.9i_3j.
2
8・二a+）+R）・
9.=2i-4j+k是方向导数取得最大值的方向，最大的方向导数为|gmd"|=VIT.
10.提示：
用方向导数的左义.
习题7.8
R、=一丄[cosgsin帀（x_兰）'+3sincosrj（x-—）2（y-—）4-3cossini]（x-—）（v-—）2+sin^cos;;（v-—）5],
6444444
J（•111£=—+8（x——）♦〃=—8（v——）♦（0<^<1）・
4444
4・/（A\y）=1+（x_1）+（x_l）（y_1）+R2
R：
=；{〃（〃一1）（〃一2）罗7仁一1）'+3[（〃一1）孑7+〃了1+〃（〃一1）罗-1口幻（*一1）20—1）+3[2《心111歹6
+计In2恥-l）（y-1尸+了In3g-1尸},
JL中g=1+&（x—1）f〃=1+&（y—1）・
总习题七
1.D={（x,y）\x2}.
2.e.
5.
g2亍
（1）—?
=2sec2（X+v）taii（x+v）+2y,ox*
—v=2sec2（x+v）tan（X4-v）,
——=2sec2（x+y）tan（x+y）4-2x・dxdv
（2）^-4=y（y-\）x^2,^-4=xvIn2x
dr*內-
*
6.—=e^'（l+一=一）.
dx2-cosv
fr
d2zi
=x（1+ylnx）・dxd\?
tr
7.=[/+x（y2f\+2xye^f\）]dx+（2x2yf\+x^f\）dy.
8.—=（vcosv一usinv）,—=（ucosv+vsinv）・
dxdy
9・二=f、MF（PJ一2xf:
+（2x2-y）0/二+xy（paf：
・dxdv
11.切线方程二1=二1=二，法平而方程3x+3y-z=3・
33—1
12.切平而方程2x+2y-z=2.
13.1.
14.
（1）（2）^=—；
44
15.切点为（卞:
，纟:
話：
），Vjnjn=~abc.
习题8.1
2.
（2）
（4）
3.
5.
（1）
（1）
ff（Jj（x+y）"do:
DD
|J（x+y）'dbN0（x+y）'dcr:
DD
[jln（x+y）JcrMjj[ln（x+y）fda:
DD
[j[ln（x+y）]2^^[|ln（A+y）rf（7.
D
0w/w2；
负：
D
（2）
（2）
Ow/w龙2：
（3）2w/w8；（4）36/rw/wlOO;r・
负;（3）正.
习题8.2
1.
（1）
（5）
2.
（1）
6.
（1）
（3）
8
_:
3
—4-cos1+sin1-cos2-2sin2.2
A：
⑵里：
5515
闊y（x,y）dy：
丄耐丁金刃矽；//>£.f（x,y）dx^
（3）
（3）
（7）
1;
（2）
（4）
⑷12；
6
匸可f/g讪;严心曲f（x,y）dyx
f?
y匸皿+J；时二7心刃dy.
9.6兀・
27rah2c
■2
10.
（1）[~|f（rcos0,rsinS）rdr:
（2）
f-・fIcosd
f（rcos0.rsindjrdr:
cosO.rsinO）rdr:
（5）
11.
（1）
f—『seedc~~~fcscd
|；d8|/（厂cos&/sin&”d/+J:
d&|f（rcosO.rsin0）rdr+
J〕疗If（rcos6.rsin0）rdr・
J；d&Jf（rcosS.rsin）rdr:
T
eI
L：
d&（§ndcossin&”d/・；
12.
13.
14.
（4）
（1）
（1）
JJ「：
g§/（rcos&rsinO）rdr.
（2）丄/[血+In（l+JI）]:
6
（2）M2）：
（3）146F4:
（4）如
（4）
3
16.
—兀a32
习题8.3
1.
（1）（：
耐；\/・；/（x,y,z）〃z；
（2）匸空［想妙匚"g⑵衣;
（3）.L州话Al：
：
/""血
4
2.M=—・
15
6.丄.
48
59川
——7TR・
480
4.
7.
1・5.
364
1、1
—IT__.
162
拯叫）・
8.丄.
180
9.3疋・
4
10.
习题8.4
1512
1.
（1）——n:
（2）
16
—龙・
2.
（1）—：
（2）1賦.
3
3
10
6
3.
（1）1；
（2）—；（3）8^；（4）—（A5-675）：
（5）0.
81015
.33匚64<
4・—XQ.5・JTQ・
4105
5
习题8.5
5.I』，齐艺
4854
6.UV=0.
5
（1）―严
（3）I=/.=—（16-5^）.
7.
8.
9.
10.
11.
13.
14.
1.
3.
4.
A-IA
（1）x=O,y=O,z=丄；
4
“、一_-3
（2）x=0,y=0.z=-a:
8
（3）"0,丫=0二型二
8（屮-/）
-一-5
x=0,y=0、z=—R・
（M=na'hQ为圆柱体的质量）.
2/rfp[J（h_af+Ri+/）+//]・
总习题八
（1）4屁W/W4辰:
（2）-6^/W78:
（3）w/w穴・
（2）J；d）j；/（x,y）dx；
（3）|o^yJ//（A\y）^r+Jo^vj.-_/（xo,）^+J0^\|^f（x,y）dx.
/（rcos0,rsinO）rdr.
6.
7.
10.
11.
12.
17.
20.
21.
22.
23.
25.
1.
5.
8.-6穴'・
14a4.
-/?
3arctank・
3
⑴J；心J7/（儿儿2）衣；
A-+V2
f（x.y9z）dz・
4.
137
14.
15.
n
瓦・
4一龙・
3
18.
19.+/F+/FIn—―"
]・
（1）
壬
3（a+b）
（1）
（0,0,
（1）
（2）
^pabsin'（p.
24.
（1）2^（1-
（2）2兀（h-&2+（〃-c）2+y]a2^c2）pk・
上述&为引力系数，Q为物体密度.
习题9.1
9（2+祷-2血
10.重心在扇形的对称轴上且与圆心距离空怛处.
（P
11.
（1）I.=2卅舶+£"3/+4龙咲2）;•3
3k5a"+2兀汰‘）
3/+4兀％2
⑵2=曲
切+4龙咲2
习题9.2
2.
⑴-討
（2）0.
3.
4.
87
5.
k7t）一ar・
3
7.0.
8.
（1）0；
（2）-4/r.
（2）r
10.切（丄一丄），（&为常数）・ab
8
15
12.
（1）L/‘（、''）啓此刃於：
⑵L竺存%
（3）[J2x-兀y）4-（l-A）C（x,y）]J5.
习题9.3
1.8龙・
2.
（1）丄；
（2）-a4；（3）-2sb；（4）-l（e'-l）:
（5）1.
225
niTTa——CT・
8
4.
一龙・
5・
6加’・
6.4;r
（1）
sin2
7
:
（2）
才
4
6
4
（1）；
3；
（2）
3
一—：
（3）
ILt.
2
（1）
扣
-同：
（2）0.
（1）
12
—X
+2xv+—y2；
（2）y2
sinx+*cosy:
（3）
arctan—・
2
2
X
P=
1
一—9
1-©・
3.
7.
8.
9.
10.
11.
1.
4.
5.
6.
7.
2.
7.
习题9.4
习题9.5
（1）+:
（2）
I555
习题9.6
习题9.7
rotA=[xsin（cosz）-xy2cos（xz）]i-ysin（cosz）j^[y2zcos（xz）-x2cosy]/r・
（1）0；
（2）一4・
总习题九
（1），：
（2）
19
—■
3
（1）0；
（2）
4—:
3
（3）
0.
29^2&
（1）na:
8
（2）
4兀;
（3）
——7ta■
2
（1）—^5：
5
（2）
25
_加:
5
（3）
3I
（4）-丄如
22
⑸眷.
6.6/ra2・
7.3-几
10.
1.
5.
1.
3.
4.
5.
6.
7.
1.
2.
3.
4.
5.
（2）0；
8.
（1）4x:
10.=〃和虬=1.
（3）0.
9.0（心0）・
11・a=2,b=—Lc=—2・
13.
（1）
4vk:
（2）2ab2:
9F
（3）lab1.
1.
（1）
（2）
（3）
（4）
丄_丄丄—丄丄
3，・3’*3“丫3：
*3°・
12324
19—9—99:
233254
~191,-1,1,-1：
-1.
1,0,-1,b0,
2.
（1）
n-l
nTT
（2）
3.
（1）
（2）uk=—（
1）
2、2k_\2K+1
4.
（3）乘2sin-后积化和差,
6
u=—■—>散：
“2H
散：
（1）
1.
（1）
收，以普：
（2）
习题10.1
（一1）心⑺+2）
n
（3）
un=
"25!
^4（i-^rb收敛于卜
散.
（2）
（4）
L沪’收敛于培叫tIhO,散;
习题10.2
收，n2ur-»1:
（3）收：
（4）从〃m3始，丄，散.n
收：
b>\散:
且°<-1收,
a>—1散.
b<1
3.
（1）收;
（2）散:
（3）散;（4）收:
（5）
4.都收敛.
5.
（1）散；
（2）散；（3）收：
（4）收;
（5）绝收;
（6）
条收：
（7）条收；（8）绝收.
2x
d
习题10.3
1.
（1）
（P,+00）：
（2）
（3）
[-1,
1）;
（4）
［丄丄h
33
55
（5）
（-OCtP）:
（6）
（-4,-2]:
（7）
（0,
4）；
（8）
[-1,1].
2.
（1）
e:
（2）
x=0：
（3）（-1,-
1）:
（4）
（-00,
■+00）.
3
3.
（1）（-b1）,
（2）（-1,1）,-x2In—；
21-x
11,1+x
_—+—In
S（x）=]xl-.¥
0
习题10.4
2.
（1）_[1——片—x*_-••-（_1）川—f+…,xg（—33）:
313323W
z、v2v6r10
（2）一一一+——…，AG（-CO>+0C）:
23!
5!
（3）
（4）
（5）
，l+cos2x1、（2x）4（2x）6（.x
cos-x==一2—2q+———+…,xe（-oc,+oo）；
224!
6!
2’=£（xln2）"
“■（I
Z2«（w-l）
A*w（ro,+oc）:
n\
（6）
先求导后展开,
m1・134135§
AT1一一・x'+——x一x+
22-4246
再积分，ag（-14）:
〔一1川
（8）
先求导，展开,
最后积分回去，呵-1』
3,.、
I
2'
（2）log,^=~X（-l）n~l^-^,（0,2）.
tIn22n
3.
（1）直接展开：
兀$=]+二（尤一]）+・..：
4・sinx=sin[（x-—）+—J=sin（x-—）cos—+cos（x-—）sin—,将sin（;v—=）>cos（x-—）分别展开
66666666
成（a-£）的幕级数代入
5.-=!
=一=-[l+（x+l）+（x+l）'+・••]，（一2,0）・
X（.¥+1）-11一（兀+1）
6•原式=ln（2A-+3）（x-l）=ln（2A-+3）+ln（x-l）,
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