小学五年级奥数讲义学生版30讲全.docx
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小学五年级奥数讲义学生版30讲全
五年级奥数
第1讲数字迷
（一）第16讲巧算24
第2讲数字谜
（二）第17讲位置原则
第3讲定义新运算
（一）第18讲最大最小
第4讲定义新运算
（二）第19讲图形的分割与拼接
第5讲数的整除性
（一）第20讲多边形的面积
第6讲数的整除性
（二）第21讲用等量代换求面积
第7讲奇偶性
（一）第22用割补法求面积
第8讲奇偶性
（二）第23讲列方程解应用题
第9讲奇偶性（三）第24讲行程问题
（一）
第10讲质数与合数第25讲行程问题
（二）
第11讲分解质因数第26讲行程问题（三）
第12讲最大公约数与最小公倍数
（一）第27讲逻辑问题
（一）
第13讲最大公约数与最小公倍数
（二）第28讲逻辑问题
（二）
第14讲余数问题第29讲抽屉原理
（一）
第15讲孙子问题与逐步约束法第30讲抽屉原理
（二）
第1讲数字谜
（一）
例1把+，-，×，÷四个运算符号，分别填入下面等式的○内，使等式成立（每个运算符号只准使用一次）：
（5○13○7）○（17○9）=12。
例2将1～9这九个数字分别填入下式中的□中，使等式成立：
□□□×□□=□□×□□=5568。
例3在443后面添上一个三位数，使得到的六位数能被573整除。
例4已知六位数33□□44是89的倍数，求这个六位数。
例5在左下方的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字，请你用适当的数字代替字母，使加法竖式成立。
FORTY
TEN
+TEN
SIXTY
例6在左下方的减法算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。
请你填上适当的数字，使竖式成立。
练习1
1.在一个四位数的末尾添零后，把所得的数减去原有的四位数，差是621819，求原来的四位数。
2.在下列竖式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相同的数字。
请你用适当的数字代替字母，使竖式成立：
（1）AB
（2）ABAB
+BCA-ACA
ABCBAAC
3.在下面的算式中填上括号，使得计算结果最大：
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9。
4.在下面的算式中填上若干个（），使得等式成立：
1÷2÷3÷4÷5÷6÷7÷8÷9=2.8。
5.将1～9分别填入下式的□中，使等式成立：
□□×□□=□□×□□□=3634。
6.六位数391□□□是789的倍数，求这个六位数。
7.已知六位数7□□888是83的倍数，求这个六位数。
第2讲数字谜
（二）
这一讲主要讲数字谜的代数解法及小数的除法竖式问题。
例1在下面的算式中，不同的字母代表不同的数字，相同的字母代表相
例2在□内填入适当的数字，使左下方的乘法竖式成立。
□□□
×81
□□□
□□□
□□□□□
例3左下方的除法竖式中只有一个8，请在□内填入适当的数字，使除法竖式成立。
□8□
□□□）□□□□□□
□□□□
□□□
□□□
□□□□
□□□□
0
例4在□内填入适当数字，使小数除法竖式成立。
例4图例5图
例5一个五位数被一个一位数除得到右上图竖式
（1），这个五位数被另一个一位数除得到右上图的竖式
（2），求这个五位数。
练习2
1.下面各算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求出abcd及abcxyz
（1）1abcd×3=abcd5
（2）7×abcxyz=6×xyzabc
2.用代数方法求解下列竖式：
3.在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
□8□7□.□□□□□
□□）□□□□□□□.□）□□□.□□）□.□
□□□□□□□□□
□□□8□□□□□
□□□□□□□□□
□□00
□□
0
第3讲定义新运算
（一）
例1对于任意数a，b，定义运算“*”：
a*b=a×b-a-b。
求12*4的值。
例2已知a△b表示a的3倍减去b的
，例如
根据以上的规定，求10△6的值
3，x>=2，求x的值。
例6对于任意自然数，定义：
n！
=1×2×…×n。
例如4！
=1×2×3×4。
那么1！
+2！
+3！
+…+100！
的个位数字是几？
例7如果m，n表示两个数，那么规定：
m¤n=4n-（m+n）÷2。
求3¤（4¤6）¤12的值。
练习3
1.对于任意的两个数a和b，规定a*b=3×a-b÷3。
求8*9的值。
2.已知a
b表示a除以3的余数再乘以b，求13
4的值。
3.已知a
b表示（a-b）÷（a+b），试计算：
（5
3）
（10
6）。
4.规定a◎b表示a与b的积与a除以b所得的商的和，求8◎2的值。
5.假定m◇n表示m的3倍减去n的2倍，即 m◇n=3m-2n。
（2）已知x◇（4◇1）=7，求x的值。
7.对于任意的两个数P，Q，规定P☆Q=（P×Q）÷4。
例如：
2☆8=（2×8）÷4。
已知x☆（8☆5）=10，求x的值。
8.定义：
a△b=ab-3b，a
b=4a-b/a。
计算：
（4△3）△（2
b）。
9.已知：
2
3=2×3×4，4
5=4×5×6×7×8，……求（4
4）÷（3
3）的值。
第4讲定义新运算
（二）
例1已知a※b=（a+b）-（a-b），求9※2的值。
例2定义运算：
a⊙b=3a+5ab+kb，
其中a，b为任意两个数，k为常数。
比如：
2⊙7=3×2+5×2×7+7k。
（1）已知5⊙2=73。
问：
8⊙5与5⊙8的值相等吗？
（2）当k取什么值时，对于任何不同的数a，b，都有a⊙b=b⊙a，即新运算“⊙”符合交换律？
例3对两个自然数a和b，它们的最小公倍数与最大公约数的差，定义为a☆b，即a☆b=[a，b]-（a，b）。
比如，10和14的最小公倍数是70，最大公约数是2，那么10☆14=70-2=68。
（1）求12☆21的值；
（2）已知6☆x=27，求x的值。
例4a表示顺时针旋转90°，b表示顺时针旋转180°，c表示逆时针旋转90°，d表示不转。
定义运算“◎”表示“接着做”。
求：
a◎b；b◎c；c◎a。
例5对任意的数a，b，定义：
f（a）=2a+1，g（b）=b×b。
（1）求f（5）-g（3）的值；
（2）求f（g
（2））+g（f
（2））的值；
（3）已知f（x+1）=21，求x的值。
练习4
2.定义两种运算“※”和“△”如下：
a※b表示a，b两数中较小的数的3倍， a△b表示a，b两数中较大的数的2.5倍。
比如：
4※5=4×3=12，4△5=5×2.5=12.5。
计算：
[（0.6※0.5）+（0.3△0.8）]÷[（1.2※0.7）-（0.64△0.2）]。
4.设m，n是任意的自然数，A是常数，定义运算m⊙n=（A×m-n）÷4，
并且2⊙3=0.75。
试确定常数A，并计算：
（5⊙7）×（2⊙2）÷（3⊙2）。
5.用a，b，c表示一个等边三角形围绕它的中心在同一平面内所作的旋转运动：
a表示顺时针旋转
240°，b表示顺时针旋转120°，c表示不旋转。
运算“∨”表示“接着做”。
试以a，b，c为运算对象做运算表。
6.对任意两个不同的自然数a和b，较大的数除以较小的数，余数记为a
b。
比如7
3=1，5
29=4，4
20=0。
（1）计算：
1998
2000，（5
19）
19，5
（19
5）；
（2）已知11
x=4，x小于20，求x的值。
7.对于任意的自然数a，b，定义：
f（a）=a×a-1，g（b）=b÷2+1。
（1）求f（g（6））-g（f（3））的值；
（2）已知f（g（x））=8，求x的值。
第5讲数的整除性
（一）
1.
整除的定义、性质.定义：
如果a、b、c是整数并且
，
则称a能被b整除或者b能整除a，记做
，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做b|a.
2、性质
（1）如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。
（4）如果一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（5）几个数相乘，如果其中一个因数能被某数整除，那么乘积也能被这个数整除。
整除的数的特征
1、被2整除特征：
个位上是0,2,4,6,82、被5整除特征：
个位上是5,0
3、能被3或9整除的数的特征是：
各个数位的数字之和是3或9的倍数
4、被4、25整除的数的特征：
一个数的末2位能被4、25整除
5、被8、125整除的数的特征：
一个数的末3位能被8、125整除
6、被7整除的数的特征：
若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差
是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
7、能被11整除的数的特征：
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数（包括0）,那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：
判断491678能不能被11整除。
—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
8、能被13整除的数的特征：
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：
判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
9、被7、11、13整除特征：
末三位与末三位之前的数之差（大数－小数）能被7、11、13整除，如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
例如：
判断556584能不能被7整除末三位584末三位之前的数556，
584-556=2828能被7整除，所以556584能被7整除
10、能被17整除的数的特征 :
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，
如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
11、能被19整除的数的特征:
把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，
如果和是19的倍数，则原数能被19整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程
例1在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。
例2由2000个1组成的数111…11能否被41和271这两个质数整除？
例3有四个数：
76550，76551，76552，76554。
能不能从中找出两个数，使它们的乘积能被12整除？
例4在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？
例5能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
练习5
1.已知4205和2813都是29的倍数，1392和7018是不是29的倍数？
2.如果两个数的和是64，这两个数的积可以整除4875，那么这两个数的差是多少？
3.173□是个四位数。
数学老师说：
“我在这个□中先后填入3个数字，所得到的3个四位数，依次可以被9，11，6整除。
”问：
数学老师先后填入的3个数字之和是多少
4、用1—6六个数字组成一个六位数abcdef期中不同的字母代表1-6中不同的数字。
要求ab能被2整除，abc能被3整除，abcd能被4整除，abcde是5的倍数，abcdef是6的倍数。
这样的六位数有几个？
各是多少？
5.红光小学五年级二班期末数学考试平均分是90分，总分A95B,这个班有多少名学生？
6.能不能将从1到9的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？
第6讲数的整除性
（二）
特殊的数——1001。
因为1001=7×11×13，所以凡是1001的整数倍的数都能被7，11和13整除。
例2判断306371能否被7整除？
能否被13整除？
例3已知10□8971能被13整除，求□中的数。
例4说明12位数abbaabbaabba一定是3、7、13的倍数。
例5如果41位数55……5□99……9能被7整除，那么中间方格内的数字是几？
︸︸
20个20个
判断一个数能否被27或37整除的方法：
对于任何一个自然数，从个位开始，每三位为一节将其分成若干节，然后将每一节上的数连加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么这个数一定能被27（或37）整除；否则，这个数就不能被27（或37）整除。
例6判断下列各数能否被27或37整除：
（1）2673135；
（2）8990615496。
判断一个数能否被个位是9的数整除的方法：
为了叙述方便，将个位是9的数记为k9（=10k+9），其中k为自然数。
对于任意一个自然数，去掉这个数的个位数后，再加上个位数的（k+1）倍。
连续进行这一变换。
如果最终所得的结果等于k9，那么这个数能被k9整除；否则，这个数就不能被k9整除。
例7
（1）判断18937能否被29整除；
（2）判断296416与37289能否被59整除。
练习6
1.下列各数哪些能被7整除？
哪些能被13整除？
88205，167128，250894，396500， 675696，796842，805532，75778885。
2.六位数175□62是13的倍数。
□中的数字是几？
3、已知七位数132A679是7的倍数，求A？
4、六位数ababab能否被7和13整除？
5、12位数aabbaabbaabb能否被7和13整除？
6、33……3□88……8能被13整除，求中间□中的数？
20个20个
7.九位数8765□4321能被21整除，求中间□中的数。
8.在下列各数中，哪些能被27整除？
哪些能被37整除？
1861026，1884924，2175683，2560437，11159126，131313555，266117778。
9.在下列各数中，哪些能被19整除？
哪些能被79整除？
55119，55537，62899，71258， 186637，872231，5381717。
第7讲奇偶性
（一）
整数按照能不能被2整除，可以分为两类：
（1）能被2整除的自然数叫偶数，例如 0，2，4，6，8，10，12，14，16，…
（2）不能被2整除的自然数叫奇数，例如 1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
整数由小到大排列，奇、偶数是交替出现的。
相邻两个整数大小相差1，所以肯定是一奇一偶。
因为偶数能被2整除，所以偶数可以表示为2n的形式，其中n为整数；因为奇数不能被2整除，所以奇数可以表示为2n+1的形式，其中n为整数。
每一个整数不是奇数就是偶数，这个属性叫做这个数的奇偶性。
奇偶数有如下一些重要性质：
（1）两个奇偶性相同的数的和（或差）一定是偶数；两个奇偶性不同的数的和（或差）一定是奇数。
反过来，两个数的和（或差）是偶数，这两个数奇偶性相同；两个数的和（或差）是奇数，这两个数肯定是一奇一偶。
（2）奇数个奇数的和（或差）是奇数；偶数个奇数的和（或差）是偶数。
任意多个偶数的和（或差）是偶数。
（3）两个奇数的乘积是奇数，一个奇数与一个偶数的乘积一定是偶数。
（4）若干个数相乘，如果其中有一个因数是偶数，那么积必是偶数；如果所有因数都是奇数，那么积就是奇数。
反过来，如果若干个数的积是偶数，那么因数中至少有一个是偶数；如果若干个数的积是奇数，那么所有的因数都是奇数。
（5）在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数；偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数。
奇数肯定不能被偶数整除。
（6）偶数的平方能被4整除；奇数的平方除以4的余数是1。
因为（2n）2=4n2=4×n2，所以（2n）2能被4整除；
因为（2n+1）2=4n2+4n+1=4×（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。
（7）相邻两个自然数的乘积必是偶数，其和必是奇数。
（8）如果一个整数有奇数个约数（包括1和这个数本身），那么这个数一定是平方数；如果一个整数有偶数个约数，那么这个数一定不是平方数。
整数的奇偶性能解决许多与奇偶性有关的问题。
有些问题表面看来似乎与奇偶性一点关系也没有，例如染色问题、覆盖问题、棋类问题等，但只要想办法编上号码，成为整数问题，便可利用整数的奇偶性加以解决。
例1下式的和是奇数还是偶数？
1+2+3+4+…+1997+1998。
例2能否在下式的□中填上“+”或“-”，使得等式成立？
1□2□3□4□5□6□7□8□9=36。
例3任意给出一个五位数，将组成这个五位数的5个数码的顺序任意改变，得到一个新的五位数。
那么，这两个五位数的和能不能等于99999？
例4在一次校友聚会上，久别重逢的老同学互相频频握手。
请问：
握过奇数次手的人数是奇数还是偶数？
请说明理由。
例5五
（2）班部分学生参加镇里举办的数学竞赛，每张试卷有50道试题。
评分标准是：
答对一道给3分，不答的题，每道给1分，答错一道扣1分。
试问：
这部分学生得分的总和能不能确定是奇数还是偶数？
练习7
1.能否从四个3、三个5、两个7中选出5个数，使这5个数的和等于22？
2.任意交换一个三位数的数字，得一个新的三位数，一位同学将原三位数与新的三位数相加，和是999。
这位同学的计算有没有错？
3.甲、乙两人做游戏。
任意指定七个整数（允许有相同数），甲将这七个整数以任意的顺序填在下图第一行的方格内，乙将这七个整数以任意的顺序填在图中的第二行方格里，然后计算出所有同一列的两个数的差（大数减小数），再将这七个差相乘。
游戏规则是：
若积是偶数，则甲胜；若积是奇数，则乙胜。
请说明谁将获胜。
4.某班学生毕业后相约彼此通信，每两人间的通信量相等，即甲给乙写几封信，乙也要给甲写几封信。
问：
写了奇数封信的毕业生人数是奇数还是偶数？
5.A市举办五年级小学生“春晖杯”数学竞赛，竞赛题30道，记分方法是：
底分15分，每答对一道加5分，不答的题，每道加1分，答错一道扣1分。
如果有333名学生参赛，那么他们的总得分是奇数还是偶数？
6.把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
是否有可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？
试讲出理由。
7.红星影院有1999个座位，上、下午各放映一场电影。
有两所学校各有1999名学生包场看这两场电影，那么一定有这样的座位，上、下午在这个座位上坐的是两所不同学校的学生，为什么？
第8讲奇偶性
（二）
例1用0～9这十个数码组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是奇数，那么这五个两
位数的和最大是多少？
例27只杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻转其中的2只杯子。
能否经过若干次翻转，使得7只杯子全部杯口朝下？
例3有m（m≥2）只杯子全部口朝下放在桌子上，每次翻转其中的（m-1）只杯子。
经过若干次翻转，能使杯口全部朝上吗？
例4一本论文集编入15篇文章，这些文章排版后的页数分别是1，2，3，…，15页。
如果将这些文章按某种次序装订成册，并统一编上页码，那么每篇文章的第一面是奇数页码的最多有几篇？
例5有大、小两个盒子，其中大盒内装1001枚白棋子和1000枚同样大小的黑棋子，小盒内装有足够多的黑棋子。
阿花每次从大盒内随意摸出两枚棋子，若摸出的两枚棋子同色，则从小盒内取一枚黑棋子放入大盒内；若摸出的两枚棋子异色，则把其中白棋子放回大盒内。
问：
从大盒内摸了1999次棋子后，大盒内还剩几枚棋子？
它们都是什么颜色？
例6一串数排成一行：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…到这串数的第1000个数为止，共有多少个偶数？
练习8
1.在11，111，1111，11111，…这些数中，任何一个数都不会是某一个自然数的平方。
这样说对吗？
2.一本书由17个故事组成，各个故事的篇幅分别是1，2，3，…，17页。
这17个故事有各种编排法，但无论怎样编排，故事正文都从第1页开始，以后每一个故事都从新一页码开始。
如果要求安排在奇数页码开始的故事尽量少，那么最少有多少个故事是从奇数页码开始的？
3.桌子上放着6只杯子，其中3只杯口朝上，3只杯口朝下。
如果每次翻转5只杯子，那么至少翻转多少次，才能使6只杯子都杯口朝上？
4.70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边的两个数的和，这一行数的最左边的几个数是这样的：
0，1，3，8，21，…问：
最右边的一个数是奇数还是偶数？
5.学校组织运动会，小明领回自己的运动员号码后，小玲问他：
“今天发放的运动员号码加起来是奇数还是偶数？
”小明说：
“除开我的号码，把今天发的其它号码加起来，再减去我的号码，恰好是100。
”今天发放的运动员号码加起来，到底是奇数还是偶数？
6.在黑板上写出三个整数，然后擦去一个换成所剩两数之和，这样继续操作下去，最后得到88，66，99。
问：
原来写的三个整数能否是1，3，5？
7.将888件礼品分给若干个小朋友。
问：
分到奇数件礼品的小朋友是奇数还是偶数？
第9讲奇偶性（三）
例1在7×7的正方形的方格表中，以左上角与右下角所连对角线为轴对称地放置棋子，要求每个方格中放置不多于1枚棋子，且每行正好放3枚棋子，则在这条对角线上的格子里至少放有一枚棋子，这是为什么？
例2对于左下表，每次使其中的任意两个数减去或加上同一个数，能否经过若干次后（各次减去或加上的数可以不同），变为右下表？
为什么？
例3下图是一套房子的平面图，图中的方格代表房间，每个房间都有通向任何一个邻室的门。
有人想从某个房间开始，依次不重复地走遍每一个房间，他的想法能实现吗？
例4下图是由14个大小相同的方格组成的图形。
能不能剪裁成7个由相邻两方格组成的长方形？
例5在右图的每个○中填入一个自然数（可以相同），使得任意两个相邻的○中的数字之差（大数减小数）恰好等于它们之间所标的数字。
能否办到？
为什么？
例6下页上图是半张中国象棋盘，棋盘上已放有一只马。
众所周知，马是走“日”字的。
请问：
这只马能否不重复地走遍这半张棋盘上的每一个点，然后回到出发点？
练习9
1.教室里
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