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学大专业技能考试试题数学

2013年合肥学大庐阳校区教师专业技能考试卷

满分：

150分考试时间：

120分钟姓名:

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在数轴上，下列两个有理数之间的距离等于2的是（　　）

A．﹣1，2B．0，3C．2011，2013D．﹣5，7

2．下列运算正确的是（　　）

A．3x﹣2x=xB．﹣2x﹣2=﹣

C．（﹣a）3•a3=a6D．（﹣a3）2=﹣a6

3．第六次全国人口普查结果表明：

2010年11月1日零时，我省常住人口为5950.1万人，在全国31个省（市、区）中由多往少排序居第8位．那么用科学记数法表示5950.1万正确的是（保留两位有效数字）（　　）

A．5.95×107B．5.95×108C．6.0×108D．6.0×107

4．已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=（　　）

A．150°B．30°C．120°D．60°

5．标价为x元的某件商品，按标价八折出售仍能盈利b元，已知该件商品的进价为a元，则x等于（　　）

A．

B．

C．

D．

6．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=10，AB=16，∠A=∠B=60°，则⊙O的半径长为（　　）

A．13B．14C．16D．18

7．已知反比例函数

，当x＜0时，y随x的增大而减小，则下列点可能在该函数图象上的是（　　）

A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，1）D．（﹣3，4）

8．如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（　　）

A．﹣3，2B．3，﹣2C．2，﹣3D．2，3

9．某老师在上完视图投影这堂课后，带着同学们来到阳光明媚的操场上．此时老师拿出一个矩形的框子问同学们地面上会出现什么图形，下面的图形不会出现的是（　　）

A．梯形B．正方形C．线段D．平行四边形

10．如图

（1）是饮水机的图片，饮水桶中的水由图

（2）的位置下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

11．因式分解：

a3+2a2+a=　_________　．

12．用一个半径为30cm，圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥形纸帽，则纸帽的底面圆半径为　_________　cm．

13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，则下列说法正确的是　_________　（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①AC=BD；②△ABD是等边三角形；③∠BAC=∠DAC；④

．

第13题图第14题图

14．如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c=　_________　，d=　_________　．

三、解答题（共9小题，满分90分）

15．解不等式组

，并在数轴上表示不等式的解集．

16．先化简：

，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．

17．如图已知AB为⊙O的直径，弦AC∥BD，连接AD与BC．

（1）求证：

四边形ADBC是矩形；

（2）若∠ABC=30°，⊙O的半径是20厘米，求任意投掷一枚飞镖落在矩形区域内的概率．

18．寿春中学为了迎接初三学生体育中考特进行了一次考前模拟测试．下图是女生800米跑的成绩中抽取的10个同学的成绩．

（1）求出这10名女生成绩的中位数、众数和极差；

（2）按《合肥教育局中考体育》规定，女生800米跑成绩不超过3′25〞就可以得满分．现该校九年级学生有1254人，其中男生比女生少74人．请你根据上面抽样的结果，估算该校初三学生中有多少名女生该项考试得满分？

19．如图是边长为1的小正方形组成的方格纸，

（1）请在图

（1）、图

（2）中分别画出满足条件的两个不同的等腰△ABC，两个条件：

①AB=5；②

（仅用直尺作图并保留作图过程，注明字母；等腰三角形的顶点要与小正方形的顶点重合）

（2）根据所画图形，求出所画等腰三角形的底边长．

20．甲、乙两件商品成本共440元，甲商品按50%的利润定价，乙商品按30%的利润定价．后应顾客的要求，两种商品都按定价的90%出售，商店仍获利100元．

（1）求两种商品的成本各是多少？

（2）由于甲、乙两种商品畅销，老板又拿出2200元用于进货，并且刚好用完，求购买甲、乙两种商品各多少件？

21．如图在平面直角坐标系中，三角形AOB的边OB与x轴重合，点A在第一象限内，且AO=AB=5，OB=6．

（1）求点B的坐标；

（2）求出直线AB的解析式；

（3）直线AB与y轴交于点C．试问是否存在这样的一条抛物线能经过A、B、C、O中的任意三点？

若不存在，说明理由；若存在，求出这条抛物线的解析式．

22．如图

（1），四边形ABCD内部有一点P，使得S△APD+S△BPC=S△PAB+S△PCD，那么这样的点P叫做四边形ABCD的等积点．

（1）如果四边形ABCD内部所有的点都是等积点，那么这样的四边形叫做等积四边形．

①请写出你知道的等积四边形：

　_________　，　_________　，　_________　，　_________　，（四例）

②如图

（2），若四边形ABCD是平行四边形且S△ABP=8，S△APD=7，S△BPC=15，则S△PCD=　_________　．

（2）如图（3），等腰梯形ABCD，AD=4，BC=10，AB=5，直线l为等腰梯形的对称轴，分别交AD于点E，交BC于点F．

①请在直线l上找到等腰梯形的等积点，并求出PE的长度．

②请找出等腰梯形ABCD内部所有的等积点，并画图表示．

23．2011我国的两会广泛的考虑民生，为了改善人民的生活，减轻工薪阶层的税赋，我国拟调整个人所得税税率表．表①为我国现阶段执行税率表，表②为我国6月1日后拟调整税率表．

现行个人所得税率表（基数：

2000元）

拟调整执行个人所得税率（基数：

3000元）

级数

应纳税所得额（含税所得额）

税率%

级数

应纳税所得额（含税所得额）

税率%

一

部超过500元

一

部超过1500元

二

超过500元至2000元

二

超过1500元至4500元

三

超过2000元至5000元

三

超过4500元至9000元

四

超过5000元至20000元

四

超过9000元至35000元

备注：

个人所得税为累级计税．如某人应发工资为6000元，现在以原税率进行计算：

工资交税部分为：

6000﹣基数=6000﹣2000=4000元

交税：

500×5%+（2000﹣500）×10%+（4000﹣2000）×15%=475元

实发工资：

6000﹣475=5525元

（1）某人应发工资为x（元），当4000≤x≤7500时，试写出6月1日后，该人实发工资y元的函数关系式．

（2）小李同志得知新的税改消息后，就动手算了一下自己六月份的实发工资为5325元，那么你可以计算出小李的应发工资吗？

（3）施行新的税改后（应发工资不变），小李比以前的实发工资多拿多少元？

2013年合肥庐阳校区教师专业技能考试

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题4分，满分40分）

1．在数轴上，下列两个有理数之间的距离等于2的是（　　）

A．﹣1，2B．0，3C．2011，2013D．﹣5，7

考点：

数轴。

专题：

计算题。

分析：

根据数轴上的所表示的数的意义解答：

|a﹣b|表示数轴上a与b间的距离．

解答：

解：

A、∵|2﹣（﹣1）|=3；故本选项错误；

B、∵|3﹣0|=3；故本选项错误；

C、∵|2013﹣2011|=2；故本选项正确；

D、∵|7﹣（﹣5）|=12；故本选项错误．

故选C．

点评：

此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容．数轴上a、b两点间的距离是|a﹣b|．

2．下列运算正确的是（　　）

A．3x﹣2x=xB．﹣2x﹣2=﹣

C．（﹣a）3•a3=a6D．（﹣a3）2=﹣a6

考点：

负整数指数幂；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方。

专题：

计算题。

分析：

根据合并同类项的法则，a﹣p=

（a≠0），幂的乘方和同底数幂乘法法则．

解答：

解：

A、3x﹣2x=x；

B、﹣2x﹣2=﹣2×

=﹣

；

C、（﹣a）3•a3=﹣a6；

D、（﹣a3）2=a6．

故选A．

点评：

合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变．a﹣p=

（a≠0）．积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．需注意负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数．

3．第六次全国人口普查结果表明：

A．5.95×107B．5.95×108C．6.0×108D．6.0×107

考点：

科学记数法与有效数字。

分析：

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于5950.1万有8位，所以可以确定n=8﹣1=7．

有效数字的计算方法是：

从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．

用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．

解答：

解：

5950.1万=5.9501×107≈6.0×107．

故选D．

点评：

此题主要考查了科学记数法的表示方法，以及用科学记数法表示的数的有效数字的确定方法．

4．已知，如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，∠CDE=150°，则∠C=（　　）

A．150°B．30°C．120°D．60°

考点：

等腰三角形的判定与性质；平行线的性质。

专题：

计算题。

分析：

先根据平行线及角平分线的性质求出∠CDB=∠CBD，再根据平角的性质求出∠CDB的度数，再根据平行线的性质求出∠C的度数即可．

解答：

解：

∵直线AB∥CD，

∴∠CDB=∠ABD，

∵∠CDB=180°﹣∠CDE=30°，

∴∠ABD=30°，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∴∠ABC=∠CBD+∠ABD=60°，

∵AB∥CD，

∴∠C=180°﹣∠ABC=180°﹣60°=120°．

故选C．

点评：

本题考查的是平行线、平角的定义以及角平分线的性质，比较简单．

5．标价为x元的某件商品，按标价八折出售仍能盈利b元，已知该件商品的进价为a元，则x等于（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

一元一次方程的应用。

专题：

销售问题。

分析：

可根据实际售出时的价格﹣商品的进价=盈利的金额，来列等量关系式．其中实际售出的价格就是标价×80%，商品的进价就是a元，而盈利的金额是b元，由此可得出x的表达式．

解答：

解：

根据题意得：

0.8x=a+b；

即x=

．

故选D．

点评：

本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据等量关系列出方程解答．

6．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=10，AB=16，∠A=∠B=60°，则⊙O的半径长为（　　）

A．13B．14C．16D．18

考点：

等边三角形的判定与性质；勾股定理。

分析：

延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE、OE的长；由勾股定理求的半径OB的长．

解答：

解：

延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E，连接OB．

∵∠A=∠B=60°，∴∠ADB=60°；

∴△ADB为等边三角形；

∴BD=AD=AB=16；

∴OD=6，

又∵∠ADB=60°，

∴DE=

OD=3，OE=3

∴BE=13；

∴OB2=OE2+BE2=27+169=196，

∴OB=14．

故选B．

点评：

此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及勾股定理的应用．解答此题时，通过作辅助线将半径OB置于直角三角形OBE中，从而利用勾股定理求得．

7．已知反比例函数

，当x＜0时，y随x的增大而减小，则下列点可能在该函数图象上的是（　　）

A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，1）D．（﹣3，4）

考点：

反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质。

专题：

函数思想。

分析：

反比例函数

图象的性质：

当a＞0时，函数图象在第一、三象限，y随x的增大而减小．据此作出选择．

解答：

解：

∵反比例函数

，当x＜0时，y随x的增大而减小，

∴反比例函数

的图象在第一、三象限；

A、∵点（﹣2，1）位于第二象限；故本选项错误；

B、∵点（2，﹣1）位于第四象限；故本选项错误；

C、∵点（1，1）位于第一象限；故本选项正确；

D、∵点（﹣3，4）位于第四象限；故本选项错误．

故选C．

点评：

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质；反比例函数

图象的性质：

①当a＞0时，函数图象在第一、三象限，y随x的增大而减小；②当a＜0时，函数图象在第二、四象限，y随x的增大而增大．

8．（2010•日照）如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是（　　）

A．﹣3，2B．3，﹣2C．2，﹣3D．2，3

考点：

根与系数的关系。

分析：

根据根与系数的关系，即可求得p、q的值．

解答：

解：

由题意，得：

x1+x2=﹣p，x1x2=q；

∴p=﹣（x1+x2）=﹣3，q=x1x2=2；故选A．

点评：

此题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系：

若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x1+x2=﹣

，x1x2=

．

A．梯形B．正方形C．线段D．平行四边形

考点：

平行投影。

分析：

根据矩形的对边平行以及平行投影的性质即可判断．

解答：

解：

矩形的对边平行，而平行的边通过平行投影仍平行，因而不会出现的是梯形．

故选A．

点评：

本题综合考查了平行投影的规律：

原来平行的边的平行投影平行．

10．（2010•凉山州）如图

（1）是饮水机的图片，饮水桶中的水由图

（2）的位置下降到图（3）的位置的过程中，如果水减少的体积是y，水位下降的高度是x，那么能够表示y与x之间函数关系的图象可能是（　　）

A．

B．

C．

D．

考点：

函数的图象。

分析：

依题意，水减少的体积是y，水位下降的高度为x．水位随着水减少而下降，并且饮水桶是圆柱形，则两者之间是正比例函数．

解答：

解：

水减少的体积是y，水位下降的高度是x，水减少的体积随着水位下降的高度的增加而增加，并且饮水桶是圆柱形，

因而水减少的体积随着水位下降的高度应成正比，是正比例函数．

故选C．

点评：

本题考查动点问题的函数图象问题．注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

11．因式分解：

a3+2a2+a=　a（a+1）2　．

考点：

提公因式法与公式法的综合运用。

分析：

先提取公因式a，再对余下的项利用完全平方公式继续分解因式．完全平方公式：

a2±2ab+b2=（a±b）2．

解答：

解：

a3+2a2+a，

=a（a2+2a+1），﹣﹣（提取公因式）

=a（a+1）2．﹣﹣（完全平方公式）

点评：

本题考查了提公因式法，公式法分解因式，难点在于对余下的项利用完全平方公式进行二次分解因式．

12．用一个半径为30cm，圆心角为60°的扇形纸片围成一个圆锥形纸帽，则纸帽的底面圆半径为　5　cm．

考点：

圆锥的计算。

专题：

计算题。

分析：

利用扇形弧长公式求得弧长后根据扇形纸片的弧长等于围成的圆锥的底面周长列出有关的方程求得其底面圆的半径即可．

解答：

解：

∵扇形纸片的半径为30cm，圆心角为60°，

∴其弧长为：

=10π，

∵扇形纸片的弧长等于围成的圆锥的底面周长，

∴2πR=10π，

解得R=5．

故答案为：

5．

点评：

本题考查了圆锥的侧面展开图与圆锥的关系，解题的关键是弄清这个关系，这也是同学们学习的难点．

13．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，则下列说法正确的是　③④　（把所有正确答案的序号都填写在横线上）①AC=BD；②△ABD是等边三角形；③∠BAC=∠DAC；④

．

考点：

菱形的性质。

专题：

数形结合。

分析：

根据菱形的边长相等及对角线互相平分且垂直结合各选项即可得出答案．

解答：

解：

①该菱形对角线垂直，不一定相等，AC≠BD，

②∵不能确定∠BAC的度数，故不能确定△ABD是等边三角形．

③根据对角线平分对角可得∠BAC=∠DAC．

④根据菱形的面积表达公式可得

．

综上可得③④正确．

故答案为：

③④．

点评：

本题考查菱形的性质，比较简单，解答本题的关键是掌握菱形的边长相等及对角线互相平分且垂直．

14．如图是与杨辉三角有类似性质的﹣三角形数垒，a、b、c、d是相邻两行的前四个数（如图所示），那么当a=8时，c=　9　，d=　37　．

考点：

规律型：

数字的变化类。

专题：

图表型。

分析：

观察发现：

第n行的第一个数和行数相等，第二个数是1+1+2+…+n﹣1=

+1．所以当a=8时，则c=9，d=9×4+1=37．

解答：

解：

当a=8时，c=9，d=9×4+1=37．

点评：

本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．此题要根据已知的数据发现各行的第一个数和第二个数的规律．

三、解答题（共9小题，满分90分）

15．解不等式组

，并在数轴上表示不等式的解集．

考点：

解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集。

专题：

计算题；数形结合。

分析：

首先解不等式组中的每个不等式，然后确定两个不等式的解集的公共部分，即可确定不等式组的解集．

解答：

解：

解第一个不等式得：

x＜1

解第二个不等式得：

x≤﹣2

则不等式组的解集是：

x≤﹣2

点评：

把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”要用空心圆点表示．

16．先化简：

，并从0，﹣1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．

考点：

分式的化简求值。

专题：

计算题；开放型。

分析：

首先把括号的分式通分化简，后面的分式的分子分解因式，然后约分化简，接着计算分式的乘法，最后代入数值计算即可求解．

解答：

解：

，

=﹣

，

当a=0时，原式=1．

点评：

此题考查的是分式的混合运算需特别注意运算顺序及符号的处理，也需要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握．

17．如图已知AB为⊙O的直径，弦AC∥BD，连接AD与BC．

（1）求证：

四边形ADBC是矩形；

（2）若∠ABC=30°，⊙O的半径是20厘米，求任意投掷一枚飞镖落在矩形区域内的概率．

考点：

圆周角定理；矩形的判定与性质；几何概率。

分析：

（1）利用圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，再利用平行线的性质得出∠ABC=90°，即可得出答案；

（2）求出矩形面积以及圆的面积即可．

解答：

证明：

（1）∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

∵弦AC∥BD，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ADBC是矩形；

（2）解：

∵∠ABC=30°，⊙O的半径是20厘米，

∴AC=20，

BC=20

，

矩形面积为：

20×

=400

，

圆的面积为：

π×202=400π，

∴任意投掷一枚飞镖落在矩形区域内的概率为：

．

点评：

此题主要考查了矩形的性质以及几何概率和圆周角定理，根据题意得出∠ACB=∠ADB=90°，∠ABC=90°是解决问题的关键．

18．寿春中学为了迎接初三学生体育中考特进行了一次考前模拟测试．下图是女生800米跑的成绩中抽取的10个同学的成绩．

（1）求出这10名女生成绩的中位数、众数和极差；

考点：

折线统计图；用样本估计总体；中位数；众数；极差。

专题：

图表型。

分析：

（1）中位数数据中位于中间位置的数，因为10是偶数，所以是中间两个数和的平均值，众数是数据里面最多的数，极差是最大值与最小值的差．

（2）算出10名里面满分的百分率，然后算出女生人数，求出全校满分的女生人数．

解答：

解：

（1）从图上可看出位于中间位置的两个数是3′10″，3′10″．所以中位数是3′10″．

众数也是3′10″．

极差是：

3′49″﹣3′10″=39″．

（2）设女生有x人，男生为（x﹣74）人．

x+x﹣74=1254

x=664

664×

=265.6．

故估算全校有265人得满分．

点评：

本题考查认识折线统计图的能力以及多中位数，众数，极差等概念的理解，以及运用一元一次方程的能力．

19．如图是边长为1的小正方形组成的方格纸，

（1）请在图

（1）、图

（2）中分别画出满足条件的两个不同的等腰△ABC，两个条件：

①AB=5；②

（仅用直尺作图并保留作图过程，注明字母；等腰三角形的顶点要与小正方形的顶点重合）

（2）根据所画图形，求出所画等腰三角形的底边长．

考点：

解直角三角形；等腰三角形的性质；勾股定理；作图—复杂作图。

分析：

（1）根据题意画出图形，

（2）①作出AC边得高，然后根据sinA的值，即可求出BD的值，然后根据勾股定理求出底边BC的值，②作出AC边的高，然后根据sinA的值，即可求出AD的长度，即可求出底边AC的长度．

解答：

解：

（1）根据题意画图形：

（2）①如图一：

做BD⊥AC

∵AB=AC=5，

，

∴BD=3，AD=4，

∴DC=1，

∴BC=

．

②如图二：

做BD⊥AC

∵BA=BC=5，

，

∴BD=3，AD=4，

∴AC=8．

点评：

本题主要考查等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角等知识点，解题关键在于根据题意正确的画出图形．

20．甲、乙两件商品成本共440元，甲商品按50%的利润定价，乙商品按30%的利润定价．后应顾客的要求，两种商品都按定价的90%出售，商店仍获利100元．

（1）求两种商品的成本各是多少？

（2）由于甲、乙两种商品畅销，老板又拿出2200元用于进货，并且刚好用完，求购买甲、乙两种商品各多少件？

考点：

二元一次方程组的应用。

专题：

应用题。

分析：

（1）若设甲服装的成本为x元，则乙服装的成本为y元．根据：

甲、乙两件商品成本共440元

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