第5章系统稳定性分析PPT资料.ppt

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,解：

首先，由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。

其次，排劳斯阵列：

劳斯阵列第一列中系数符号全为正，所以控制系统稳定。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-1,情形1：

第一列没有零元素,例5-2设控制系统的特征方程式为：

由方程系数均为正可知已满足稳定的必要条件。

第一列系数改变符号2次，闭环系统的根中有两个实部为正，控制系统不稳定。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-2,对于特征方程阶次低（n3）的系统，劳斯判据可简化为：

二阶系统特征式为，劳斯表为,故二阶系统稳定性的充要条件是：

5.3劳斯稳定性判据代数判据,三阶系统特征式为，劳斯表为：

故三阶系统稳定性的充要条件是：

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例5-3设某反馈控制系统如下图所示，试计算使系统稳定的K值范围。

系统的传递函数为,特征方程？

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-3,特征方程为,根据三阶系统稳定的充要条件，可知使系统稳定需满足,故使系统稳定的K值范围为0K6,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例5-4设控制系统的闭环特征方程式为：

应用劳斯稳定判断系统的稳定性。

劳斯阵列表为,第一列系数改变符号2次，2个正实根。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-4,情形2：

首列有零元素，且零元素所在的行存在非零元素,例5-5设控制系统的闭环特征方程式为：

劳斯阵列表为,无正实根，有虚根。

临界稳定,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-5,情形3：

首列有零元素，且零元素所在的行其他元素均为零,例5-6设控制系统的闭环特征方程式为：

劳斯阵列表为,临界稳定,5.3劳斯稳定性判据代数判据,例题5-6,代数稳定判据使用的多项式是系统闭环特征多项式。

劳斯判据的不足：

定性不能从量上判断系统的稳定性；

对含有延迟环节的系统无效；

不能对改善系统的稳定性给出提示。

5.3劳斯稳定性判据代数判据,5.4乃（奈）奎斯特稳定性判据（Nyquist）,利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图）来判断系统闭环后的稳定性。

（几何判据）,某些环节传递函数无法分析列写，通过实验获得系统开环频率特性曲线；

奈氏判据可以解决代数判据不能解决的问题：

如包含延迟环节的系统稳定性问题。

能定量指出系统的稳定储备，以及提高动态性能（包括稳定性）的途径。

几何判据,系统Nyquist图（极坐标图）,频率响应是输入频率的复变函数，是一种变换，当从-增长至时，作为一个矢量，其端点在复平面相对应的轨迹就是频率响应的极坐标图，亦称乃氏图（乃奎斯特Nyquist曲线）。

5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,频率响应描述了系统对正弦输入的稳态响应,问题:

对于任何多项式都可以作极坐标图?

Nyquist图?

Nyquist图步骤：

写出|G（j）|和G（j）表达式；

分别求出=0和时的G（j）；

求乃氏图与实轴的交点，交点可利用ImG（j）=0的关系式求出，也可以利用关系式G（j）=n180（其中n为整数）求出；

求乃氏图与虚轴的交点，交点可利用ReG（j）=0的关系式求出，也可以利用关系式G（j）=n90（其中n为奇数）求出；

必要时画出乃氏图中间几点；

勾画大致曲线=-0，关于实轴对称,5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,s1=zpk（,-10-20,8000）nyquist（s1）;

matlab,s1=tf（40,0.0050.151）nyquist（s1）;

30,其中N1（s），D1（s），N2（s），D2（s）均为s的多项式。

5.4Nyquist稳定性判据,开环传递函数：

闭环传递函数：

问题:

已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环传递函数?

为什么要引入开环极点?

开环极点和闭环极点数量相同吗?

为什么?

哪一个更容易求解?

闭环特征方程：

5.4Nyquist稳定性判据,闭环特征多项式F（s）零/极点、开环传递函数的零/极点、闭环传递函数的零/极点、闭环特征方程的根之间的关系,问题:

已知开环传递函数,是否可以直接给出闭环特征方程和闭环特征多项式？

引入闭环特征方程和闭环特征多项式的作用？

闭环特征多项式:

5.4Nyquist稳定性判据,系统稳定的充要条件是闭环传函GB（s）的全部极点均具有负实部，即，F（s）函数的全部零点均须具有负实部。

即，闭环特征方程F（s）的特征根全部具有负实部,闭环特征方程F（s）与开环、闭环的传递函数零点和极点的关系,由H.Nyquist于1932年提出的稳定判据，在1940年后得到了广泛应用。

利用开环系统乃奎斯特图（极坐标图），来判断系统闭环后的稳定性，是一种几何判据。

Nyquist将与联系起来,利用开环频率特性判断闭环系统的稳定性,而无需实际求出闭环极点。

5.4乃奎斯特稳定性判据（Nyquist）,米哈伊洛夫（）定理米哈伊洛夫定理-证明乃奎斯特稳定性判据的一个引理，其表述为：

设n次多项式D（s）有p个零点（特征根）位于复平面的右半面，有q个零点（特征根）在原点上，其余n-p-q个零点位于左半面，则当以s=j代入D（s）并令从-连续增大到时，D（j）的角增量等于,5.4Nyquist稳定性判据,角增量对应极坐标图的角度变化量？

证明

（1）设s1为负实根，对于矢量（s-s1）,当s=j变化时,5.4Nyquist稳定性判据,

（2）设sm为正实根，对于矢量（s-sm）,当s=j变化时,什么是当时频率响应G（j）=（j-s1）的角增量？

5.4Nyquist稳定性判据,（3）设s2、s3为具有负实部的共轭复根，s2=-a+jb（a0,b0）s3=-a-jb对于矢量（s-s2）和（s-s3）,当s=j变化时,5.4Nyquist稳定性判据,（4）设sm+1、sm+2为具有正实部的共轭复根，sm+1=c+jd（c0,d0）sm+2=c-jd,对于矢量（s-sm+1）和（s-sm+2）,当s=j变化时,另外，原点根不引起角变化量。

5.4Nyquist稳定性判据,如果n次多项式D（s）有p个根在右半平面，q个在原点，其余（n-p-q）个在s左半面，则,5.4Nyquist稳定性判据,如何知道闭环特征多项式F（j）相对原点的角变化量？

闭环特征多项式F（j）和G（j）H（j）的角变化量的关系,闭环特征多项式：

已知：

判断闭环稳定性，即,

（1）如果n个开环极点均在s左半平面，则根据米哈伊洛夫定理,5.4Nyquist稳定性判据,设开环极点均在s左半平面，且当从-到变化时，F（j）的乃氏图相对原点的角变化量为零，则系统闭环后稳定。

且F（j）的乃氏图相对原点的角变化量,所以：

F（s）=1+G（s）H（s）与G（s）H（s）的乃氏图差向量（-1，j0）,5.4Nyquist稳定性判据,设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，开环系统G（j）H（j）乃氏图相对（-1，j0）点的角变化量为零时，系统闭环后稳定。

乃奎斯特稳定判据表述一：

设开环极点均在左半平面，且当从-到变化时，系统开环乃氏图不包围（-1，j0）点时，系统闭环后稳定。

（2）如果n个开环极点中p个在s右半平面，原点没有极点，其余（n-p）个在s左半面，则根据米哈伊洛夫定理推论：

5.4Nyquist稳定性判据,设n个开环极点p个在右半平面，其余在左半平面，F（j）的乃氏图原点p圈，则系统闭环后稳定。

且F（j）的乃氏图相对原点的角变化量为,所以：

5.4Nyquist稳定性判据,设开环特征多项式在右半平面有p个零点（开环极点p个），没有原点根，则开环乃氏图，当从-到变化时，其相对（-1，j0）点的角变化量为时，系统闭环稳定。

乃奎斯特稳定判据表述二：

如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围（1,j0）点的圈数（角增量）等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。

闭环稳定的充要条件,问题:

特征多项式F（s）的作用?

开环传递函数，判断闭环稳定性。

的幅值和相角,例题5-7,该乃氏图随着频率的增加，幅值减小的意义？

频率为3.2rad/s的意义？

频率为0.76rad/s，幅值为79.6，相角为-41度的意义？

该对数频率特性图在零分贝以下的频率是多少？

为什么从0到时，针对该系统，乃氏图相角为负？

该系统由两个惯性环节组成，哪一个时间滞后较多？

在s平面上的一点，必定在F（s）平面上对应一点，称为点映射。

例题5-8,5.4.1映射定理-证明乃氏判据的另一方法,问题：

为什么引入两个复平面，s平面和F（s）平面？

他们的关系？

5.4.1映射定理（围线映射）（保角映射）,为什么称为围线映射，保角映射？

如果封闭曲线包围两个零点，映射到F（s）平面的像曲线包围原点的周数？

角增量？

和利用闭环特征多项式判稳定性的关系？

映射定理（柯西幅角定理）（相角原理）,s平面上不通过F（s）任何零、极点的任意封闭曲线s，包围s平面上F（s）的z个零点和p个极点。

当s以顺时针方向沿封闭曲线s移动1周时，在F（s）平面映射的封闭曲线F将顺时针方向绕原点旋转n=z-p圈。

若n为正，表示F顺时针运动，包围原点n圈；

若n为0，表示F顺时针运动，不包围原点；

若n为负，表示F逆时针运动，包围原点n圈；

映射定理的作用？

5.4.1映射定理,如何作封闭曲线？

例题5-9,5.4.1映射定理,表达了s平面上一条顺时针封闭曲线，经过关系函数F（s），转换到另一个复平面F内，即映射，在F平面具有的特征,例题5-10,5.4.1映射定理,z为复数零点,若封闭围线C为顺时针方向，包围一个零点则映射像围线C也顺时针方向，包围原点,如何确定封闭围线C？

5.4.1映射定理,U-V-W-X-U为顺时针方向，包围2个零点U-V-W-X-U为顺时针方向，包围原点2圈,如果在s平面只包围共轭零点中的一个，在F（s）平面映射像围线是否包围原点？

例题5-11,5.4.1映射定理,S平面,F平面,思考问题：

如何求点A、B、C、D?

求与虚轴的交点D：

令s平面的点为,例题5-12,5.4.1映射定理,U-V-W-X-U为顺时针方向，包围2个右半平面极点U-V-W-X-U为逆时针方向，包围原点2圈,X点：

X点：

5.4.1映射定理,例题5-13,奈奎斯特稳定性判据,如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围（1,j0）点的圈数等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。

充要条件,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,S平面顺时针封闭围线包围F（s）1个极点,在F（s）平面映射像围线逆时针包围原点一圈,n=zp=0-1=-1,S平面顺时针封闭围线包围F（s）1个极点和3个零点,在平面映射像围线顺时针包围原点二圈,n=zp=3-1=2,5.4.1映射定理,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,开环传递函数,闭环传递函数,闭环系统稳定的充要条件：

F（s）的所有零点（特征根）都处于s平面的左半平面。

闭环特征方程,应用柯西幅角定理判断稳定性：

如果将s平面的闭合曲线取成顺时针包围整个s右半平面的围线s（奈奎斯特围线），用柯西定理判别s是否包围了F（s）的零点，进而判断出系统稳定性。

设F（s）平面右半平面的零点数为z，F（s）右半平面的极点数P，s平面的闭合曲线取成乃奎斯特围线，则满足关系？

（N为乃氏图顺时针包围原点的圈数）,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,问题：

如果稳定，闭环右极点个数为零,则开环右极点个数等于F（s）逆时针包围原点的圈数（N=-P）？

在判稳定性时，利用Z=P+N=0？

需要解决的两个问题,如何构造一个能够包围整个s右半平面的封闭曲线，并且它是满足柯西幅角条件的？

如何确定相应的映射F（s）=1+G（j）H（j）对原点的包围次数n，并将它和开环频率特性G（j）H（j）相联系？

5.4.2乃奎斯特稳定性判据,形状类似“D”，又称为D曲线,假设F（s）在虚轴上无零、极点部分是正虚轴部分半径无穷大半圆部分是负虚轴,解决问题1,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,F（s）平面上映射曲线F生成步骤,s=j代入F（s）并令从0，得到第部分映射；

在F（s）中取，使角度由R,得到第部分映射；

令从-0，得到第部分映射。

得到映射曲线后，即可由柯西定理计算z=n+p，z等于0，则闭环系统稳定，否则不稳定。

5.4.2乃奎斯特稳定性判据,当在s平面的顺时针封闭曲线取成整个右半平面，则通过F（s）映射到F复平面，是F（s）的极坐标图？

至今为止，奈氏判据关注的是基于特征函数F（s）=1+G（s）H（s）的封闭曲线映射，以及映射围线F在F（s）平面上包围原点的周数。

等价地，亦可将映射函数定义为,多数情况开环传函G（s）H（s）本身即因式乘积，无需在F（s）=1+G（s）H（s）后重新因式分解确定零极点；

通过F（s）=F（s）-1，关注点由映射围线包围F（s）平面原点圈数变为映射围线包围F（s）=G（s）H（s）平面上（-1,0）的圈数。

该种变换的优点及结果：

解决问题2,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,奈奎斯特稳定性判据,在s平面作包围右半平面的D形曲线，经过开环传递函数的映射得到的曲线为Nyquist图。

如果开环传递函数的Nyquist图逆时针包围（1,j0）点的圈数等于开环右极点的个数，则闭环系统稳定。

充要条件,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射没有包围（-1，j0）点，n=0闭环系统在右半平面无零点，z=p+n=0闭环系统稳定,开环传递函数，判断闭环稳定性。

s1=zpk（,-1,-2,-6,20）nyquist（s1）;

matlab,例题5-14,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,与例题5-16比较,开环传递函数，判断闭环稳定性。

s1=zpk（,-10-20,8000）nyquist（s1）;

开环传递函数也可表示为,稳定,例题5-15,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,开环传递函数，判断闭环稳定性。

开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射顺时针包围（-1，j0）点2圈，n=2闭环系统在右半平面有2个不稳定的根（2个不稳定的零点）z=p+n=2闭环系统不稳定，（z=2）,例题5-16,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,与例题5-14比较,一个闭环控制系统，开环传递函数如下，判断闭环稳定性。

开环系统有1个右极点，p=1乃奎斯特围线映射逆时针包围（-1，j0）点1圈，n=-1闭环系统在右半平面无不稳定的根z=p+n=0闭环系统稳定，（z=0）,例题5-17,5.4.2乃奎斯特稳定性判据,一个闭环控制系统如下图，判断放大倍数K在什么范围内闭环系统稳定。

没有右极点没有包围（-1，j0）点只要K0，稳定,例题5-18,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,写出系统的闭环传递函数，结合其特点，说明系统是否稳定？

写出系统开环的频率特性，并作全乃氏图。

一个闭环控制系统如下图，判断放大倍数K在什么范围内系统闭环稳定。

1个右极点要K1，稳定,例题5-19,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,写出系统的闭环传递函数，结合其特点，说明系统是否稳定？

如果开环传递函数在s虚轴上有极点或零点，修改D曲线,s,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,开环传递函数，判断闭环稳定性。

例题5-20,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,稳定,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,例题5-20,K=1,s1=tf（1,210）nyquist（s1）;

K=20,开环传递函数如下，判断闭环稳定时k的取值范围。

例题5-21,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,例题5-22,开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。

5.4.3乃奎斯特稳定性判据,开环系统没有右极点，p=0乃奎斯特围线映射顺时针包围（-1，j0）点2圈，n=2闭环系统在右半平面有2个不稳定的根（2个不稳定的零点）z=p+n=2闭环系统不稳定，（z=2）,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,例题5-22,K=1，T=1,s1=zpk（,00-1,1）nyquist（s1）;

K=20，T=1,s1=zpk（,00-1,20）nyquist（s1）;

5.4.3乃奎斯特稳定性判据,例题5-23,开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。

K=10,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,开环没有右极点，乃氏图不包围（-1,j0），稳定,从原点右边绕，开环右极点个数为0；

乃氏图顺时针包围（-1,j0）2圈，不稳定,K=40,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,开环右极点有1个（p=1），乃氏图逆时针包围（-1,j0）1圈（n=-1）稳定（z=p+n=0）,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,从左边绕,5.4.3乃奎斯特稳定性判据,例题5-24,开环传递函数如下，判断其闭环稳定性。

5.4.3乃奎斯特稳定性判据,开环右极点有1个（p=1），乃氏图顺时针包围（-1,j0）1圈（n=1）不稳定（z=p+n=2）,带延时环节系统稳定性分析,开环传递函数,幅频特性,相频特性,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,在上述系统中，若，则奈氏图为,随着的增大，当达到包围（-1,j0）程度，系统会变得不稳定。

例题5-25,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,问题：

右图所示的乃氏图频率变化范围？

滞后环节和一阶惯性环节的关系？

开环传递函数,闭环特征方程,改写为,研究是否包围进而判定闭环系统的稳定性,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,下图示为机床（如铣床、镗床）的长悬臂梁式主轴的工作情况，由于主轴刚度低，常易产生振动，下面分析其动态特性。

P（t）切削力Y（t）主轴前端因切削力产生变形D主轴系统的当量黏性系数km主轴系统的当量刚度,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,例题5-26,1.机床主轴系统的传递函数。

主轴端部的运动微分方程为,其传递函数为,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,2.切削过程的传递函数。

名义进给量为u0（t），因主轴的变形，实际进给量为u（t）,若主轴转速为n，刀具为单齿，刀具每转1周需要时间,1周中切削的实际厚度为,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,令kc为切削阻力系数（它表示切削力与切削厚度之比）则,对此式作拉氏变换后得,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,闭环系统的开环传递函数为,闭环系统的特征根方程,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,令,如此，将奈氏判据中开环频率特性奈氏图是否包围（-1,j0）点的问题归结为：

Gm（j）的奈式图是否包围Gc（j）的极坐标轨迹的问题。

即,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,分别做出Gm（j）和Gc（j）的极坐标轨迹。

5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,1.若Gm（j）不包围Gc（j），即Gm（j）与Gc（j）不相交，如曲线，则系统绝对稳定。

因此系统绝对稳定条件是Gm（j）中最小负实数的绝对值小于Km/2kc。

无论是提高主轴的刚度Km，还是减少切削阻力系数kc，都可以提高稳定性。

但对提高稳定性最有利的是增加阻尼。

5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,2.若Gm（j）包围Gc（j）一部分，即Gm（j）与Gc（j）相交，如曲线，则系统可能不稳定，但在一定条件下也可稳定。

如果在工作频率下，保证避开AB的范围，也就是适当选择可以使系统稳定。

所以，在此条件下系统稳定的条件为：

选择适当的主轴转速n（在单刀铣刀时，=1/n），使Gm（j）不包围Gc（j）上的点。

5.5乃奎斯特判据分析延时系统稳定性,乃氏图与单位圆的交点频率c剪切频率或幅值穿越频率,5.6利用Bode图进行稳定性判定,乃氏图与Bode图的对应关系,乃氏图与负实轴的交点频率g相位穿越频率。

曲线1稳定，曲线2不稳定。

5.6利用Bode图进行稳定性判定,如果系统是最小相位系统，且在所有角频率范围内，相角范围都在线以上，即当c时，相角范围都在线以上，那么闭环系统是稳定的。

如果系统是最小相位系统，且在相角-180之下的频率，,即当g时，那么闭环系统是稳定的,5.6利用Bode图进行稳定性判定,正相位裕量正幅值裕量,正相位裕量正幅值裕量,5.6利用Bode图进行稳定性判定,负相位裕量负幅值裕量,负相位裕量负幅值裕量,5.6利用Bode图进行稳定性判定,什么是临界稳定？

例题5-27,5.6利用Bode图进行稳定性判定,系统的开环频率特性为：

s1=zpk（,0-1-5,5）margin（s1）,s1=tf（1,0.21.210）margin（s1）,比较例题5-28，5-29,5.6利用Bode图进行稳定性判定,例题5-28,系统的开环频率特性为：

s1=zpk（,0-1-5,10）margin（s1）,5.6利用Bo