代入数字得T=1.03mg
(2)当V=
时,V>V0物体飞离锥面,此时物体只受重力mg和拉力T作用,设绳与轴线的夹角为α:
Tsinα=
③Tcosα=mg④
将V代入③④两式消去α可得2T2-3mgT-m2g2T=0解取合理值T=2mg
【评注】
本题涉及到物体随速度增大将要飘离锥面的临界问题,故要用临界分析法来解题。
临界分析法,就是找出问题的临界条件,算出关键物理量的值进行分析比较,得出在不同条件下物体不同的状态,从而求出结果。
本题关键在求出N=0时的速度值即临界条件。
特殊值分析法
[例3]如图1-16,两点电荷所带电量均为+Q,A处有一电子沿两电荷连线的中垂线运动,方向指向O点。
设电子原来静止,A点离O点足够远,电子只受电场力作用那么电子的运动状态是
(A)先匀加速,后匀减速(B)加速度越来越小,速度越来越大(C)加速度越来越大,速度越来越小(D)加速度先变大后变小,最后变为零
解:
本题如定量分析有些困难,但用特殊值分析法,变得相当容易,且概念清晰。
设A点在无限远,其电场强度为零,那么电子所受电场力为零;而在O点处的场强也为零,故电子在O点处受电场力亦为零;所以,电子在从A向O运动的过程中,所受电场力必有一个最大值,因此电场力一定由小到大,再由大到小至零。
由牛顿第二定律知:
加速度的值应是先由小变大,再由大变小,以至最后变为零;但速度是一直增大的,可见正确答案为(D)
【评注】
在用特殊值分析法解题时,分析相关物理量的变化,必须注意变化过程中“拐点(转折点)”的存在性,“拐点”的寻找时关键
4.逆思法
在解决问题的过程中为了解题简捷,或者从正面入手有一定难度,有意识地去改变思考问题的顺序,沿着正向(由前到后、由因到果)思维的相反(由后到前、由果到因)途径思考、解决问题,这种解题方法叫逆思法。
是一种具有创造性的思维方法,通常有:
运用可逆性原理、运用反证归谬、运用执果索因进行逆思。
运用可逆原理进行逆思
[例1].一颗子弹以700m/s的速度打穿同样的、并排放置的三块木板后速度减为零,如图1-19所示。
问子弹在三块木板中运动的时间之比是多少?
解:
此题正向思维按匀减速直线运动来解,比较繁琐。
但根据运动的可逆性,倒过来从后到前,将子弹的运动看成是初速度为零的匀加速直线运动,问题就变得很简单。
即初速度为零的匀加速直线运动通过连续相等位移的时间比,所以,t3∶t2∶t1=1∶(
-1)∶(
)因此t1∶t2∶t3=(
)∶(
-1)∶1
【评注】
物理学中可逆性过程如:
运动形式的可逆性、时间反演的可逆性、光路可逆性等往往正向思维解题较繁难,用逆向思维则简单明了。
运用反正归谬进行逆思
[例2]如图1-20所示,在水平放置的长方体空间内,有与y轴平行的等距离平行线,是用来描述真空中水平方向的某种均匀场的示意图(长方体外的空间场的强度为零)。
现有质量较大的带电粒子q,从A点以速度V0沿AC方向进入场中,且正好从C’方向离开该场。
试问这一组平行线是电场的电场线、磁场的磁场线和电场的等势线,这三种线中的哪一种?
并用m、V0、L和q来表示这个场的强度(图中截面为边长L的正方形AD=2L,CE=L)。
解:
要确定这组平行线是电场的电场线、磁场的磁场线还是电场的等势线,只能用反正法。
假设是电场线,那么粒子沿AC方向进入场后,受竖直向下的重力和与y轴平行的电场力作用,这样粒子运动轨迹一定在ADEC平面内,不可能从C’点沿CC’方向离开电场,故不会是电场线。
再假设这组等距离平行线是磁场线,则粒子进人场后,在y轴方向不受力作用。
因此,沿y轴方向的水平分速度V0cos45°保持不变,即等于粒子最后从C’点沿CC’方向离开时的速度V在y轴方向的水平分速度Vcos45°由此可知V=V0。
由于粒子的质量较大,应考虑重力的作用,而洛仑兹力对粒子不做功,这样粒子的机械能应守恒,但从进入场中时机械能为
,离开时机械能为
+mgL,显然械能不守恒,所以也不可为磁场线.即使不考虑重力作用。
粒子虽有可能以大小和方向与V0都相同的速度离开该场,但也不可能在C’处(这可从粒子做螺旋运动的周期去分析)。
最后假设这组等距离平行线是等势线,则电场线应与x轴平行。
粒子进人电场后,同时受到竖直向下的重力和水平向里的电场力作用(设粒子为正电荷,电场强度方向水平向里)。
这时粒子在y轴方向作匀速运动,竖直方向作竖直上抛运动,水平向里作匀加速运动。
粒子从C’点沿CC’离开电场时,竖直上升的速度为零,上升高度为L;沿y轴方向的位移为2L。
这同射出角为45°的斜抛运动是完更符合的。
因为竖值上升的高度L=
=
上升时间t=
,这时沿y轴方向的位移刚好是S=tV0cos45°=
=2L至于要满足水平向里的速度为V0sin45°,和水平向里的位移为L,只要粒子所受电场力等于重力就可以了。
最后根据:
EqL=
即得电场强度E=
【评注】
反证归谬是逆向思维的常用方法,基本思路是:
(1)反设,即假设问题结论的反面正确;
(2)归谬,从这个临时假设出发,利用已知条件进行正确的推理,推导出谬误的结论;(3)结论,指出反设错误,由排中律确定原来结论是正确的。
它是通过否定反面,来肯定正面的。
运用“执果索因”进行逆思
[例3]长度为L的橡皮带,一端拴住一个质量为m的小球,以另一端为中心,使小球在光滑水平面上做匀速圆周运动,角速度为ω。
若橡皮带每伸长单位长度产生的弹力为f,试证明橡皮带的张力为F=
证明:
假设所证结论正确,则将F=
展开,逐步上溯得Ff-Fmω2=mω2fL,Ff=mω2fL+Fmω2F=mω2(L+
)=mω2(L+
)由题意知f=K故F=mω2(L+ΔL)上式正是反映小球在水平面内做运速圆周运动时,所需要的向心力是由橡皮带的张力提供的,物理意义明确且步步可逆,所以得证。
【评注】
这种逆思法也是先假定所要证明的结论成立,由此出发,利用一定的物理知识,推导出符合题设物理模型的条件。
这样把结论转化为判断条件(推理的每一步均可逆),以此判断所证结论确实正确、成立。
5.估算法
所谓估算法就是对某些物理量的数量级进行大致推算或精确度要求不太高的近似计算方法。
估算题与一般的计算题相比较,它虽然是不精确不严密的计算,但确是合理的近似,它可以避免繁琐的计算而着重于简捷的思维能力的培养。
解估算题的基本思路是:
(1)抓住主要因素,忽略次要因素,从而建立理想化模型。
(2)认真审题,注意挖掘埋藏较深的隐含条件。
(3)分析已知条件和所求量的相互关系以及物理过程所遵守的物理规律,从而找到估算依据。
(4)明确解题思路,步步为营层层剥皮求出答案,答案一般保留一到两位有效数字。
[例1]估算地球大气层空气的总重量。
解:
设地球半径为R,地球表面处的大气压强均为标准大气压p0,则大气层空气的总重量G=p0S=p04πR2=1.0×105×4×3.14×(6.4×106)2≈5×1019N
【评注】
此题求解的关键是抓住“大气压是由大气重量产生的”这一概念,然后从似乎缺少条件的情况下挖掘出两个隐藏很深的隐含条件,即标准大气压p0和地球半径R。
根据G=p0S即可求出结果。
例2质量为m的弹性小球置于质量为M的弹性球上,且M>>m,今让M抬高h自由下落如图1-24所示.问m最高能反弹多高?
解:
对此题,运用有关规律列方程求解非常麻烦,运用近似模型处理就非常容易了。
假定大球着地速度为V,与地碰后反弹速度也为V(弹性碰撞,质点模型且近似处理)。
以M为参照系,m与M碰撞时速度为2V(向下),由弹性碰撞(近似运动模型)规律及M>>m,可知碰后m相对于M的速度为2V(向上),则m对地的速度为2V+V=3V。
又因h=V2/2g,所以(3V)2/2g=9h(竖直上抛的运动模型),即小球最高能反弹9h高.
【评注】
本题作用顺序为:
先M与地做弹性碰撞反弹,再m与M做弹性碰撞m相对M反弹,这样解题思路简捷明了。
[例3]估算标准状态下气体分子间的平均距离。
解:
1mol任何气体在标准状态下的体积都是22.4×10-3m3,所含分子数都是6.02×1023个,故每个分子占有的体积为v=V0/NA=22.4×10-3/6.02×1023m3≈3.7×10-26m3每个分子都看成是占据一个立方体的中心,那么相邻两个分子间的距离即为立方体的边长,所以有d=
m≈3.3×10-9m
【评注】
本题关键要知道标准状态下气体的摩尔体积和分子占有体积的立方体模型,从而近似算出结果。
[例4]在太阳直射下地球表面每平方厘米每分钟获得4.2J的能量,试估算我国江河每年流入海洋的水流量(设年平均气温25℃,汽化热为2.4×106J/kg,取一位有效数字)。
解:
因为海洋约占地球面积S地的
,且只有
S地受太阳照射,则一年内海洋吸收太阳能为:
E=
×
S地×4.2×365×24×60J=8.3×105×S地J海洋一年的总蒸发水汽量M=E/L
如取25℃时水的汽化热为2.44×106J/kg则M=
=0.34S地kg
设我国的面积为S,则输送到我国上空的水汽量为:
m=
=0.34S=0.34×9.6×1016kg≈3×1016kgV=
=3×1013m3即我国各江河一年流入海洋的水流量约为3×1013m3。
【评注】
每年流入海洋的水流量近似等于每年大气送到我国上空的水汽质量。
水汽遇冷凝结成雨、雪落地,通过江河流入大海。
本题要知道基本的地理常识,海洋约占地球面积S地的
,地球只有半边受阳光照射,我国的国土面积等知识。
6.虚设法
在物理解题中,我们常常用到一种虚拟的思维方法,即从给定的物理条件出发,假设与想象某种虚拟的东西,达到迅速、准确地解决问题的目的,我们把这种方法较虚设法。
虚设法常见的几种情形是:
虚设条件、虚设过程、虚设状态、虚设结论等。
虚设条件
[例1]如图1-25所示,匀强磁场B垂直纸面向里,导线abc是半径为R的半圆周。
当导线以速度V垂直磁场向右运动时,求导线内产生感生电动势的大小。
解:
本题直接求解比较困难,但若虚设用一根导线将直径ac连接起来构成闭合回路问题就变得简单。
对这个闭合回路来说,磁通量不变化,整个回路内感生电动势为零。
这表明直导线与半圆导线切割磁感线产生的电动势大小相等方向相反,所以可得:
ε圆=ε直=2BRV
【评注】
本题虚设了一段直导线使之成为闭合回路,利用闭合回路感生电动势为零很容易解决问题。
利用这种方法可以解决任意形状导线的有效切割长度的问题。
虚设过程
[例2]质量为M的木块被固定在光滑的水平面上,一颗质量为m的子弹以速度V0水平飞来,穿透木块后的速度为V0/2。
现使该木块不固定,可以在光滑水平面上滑动,同样的子弹以初速度V0飞来射向木块,如果M/m<3,那么子弹将
(A)能够射穿木块(B)不能穿过木块,留在木块中共同运动(C)刚好穿透木块但留在木块边缘共同运动(D)条件不足,无法判断
解:
设木块放在光滑水平面上时子弹刚好能穿过木块,则由水平方向动量守恒得:
mV0=(M+m)V①根据功能关系知木块固定时子弹穿过木块克服阻力做功为
②因是同样的木块所以穿过它克服阻力做功应相同则:
③解①②③得:
M/m=3可见,当M/m=3时子弹刚好穿过木块;当M/m>3时子弹能穿出木块;当M/m<3时子弹不能穿出木块。
因此正确答案是(B)
【评注】
本题首先虚设过程,子弹刚好能穿出木块,利用动量守恒和功能关系得出M与m的关系,再比较得出正确结论。
虚设状态
[例3]如图1-26所示,要把闭合线圈向右匀速拉出,则
(A)线圈电阻R一定时,速度大时做功少,(B)线圈电阻R一定时,速度小时做功少(C)线圈的速度一定时,电阻大的做功少(D)线圈的速度一定时,电阻小的做功少?
解:
虚设线圈缓慢拉出,速度接近零,则闭合线圈中几乎没有电流,就无需克服磁场力做功,故速度小时做功少,所以(B)正确。
再虚设线圈的电阻无限大,则线圈内也几乎无电流,亦无需克服磁场力做功,故电阻大时做功少,所以(C)正确
【评注】
在所研究的物理过程中,可以虚设某一特殊状态,通过对其状态的分析与一般状态的比较,能够迅速作出正确的判断。
虚设结论
[例4]木块A、B叠放在一起共同沿光滑斜面下滑,A与B间的接触面时粗糙的,如图1-27所示,试判断A、B间是后存在静摩擦力作用
解:
1)当B与斜面间无摩擦时,假设A、B间不存在静摩擦力,那么可以推算出A、B下滑的加速度为gsinθ,它们之间无相对滑动趋势,因此可以判断A与B之间不存在静摩擦力。
2)当B与斜面有摩擦(滑动摩擦系数为μ)时,假设A与B之间无静摩擦力,则A的加速度为aA=gsinθ,而B下滑的加速度为aB=
=gsinθ-
即aA>aB故A、B间有相对滑动趋势,因此可以判断A、B之间实际上存在静摩擦力,A受到静摩擦力向后,B受到的向前,此力的大小可以求出为fB静=μmAgcosθ
【评注】
在分析某些未知物理问题时,可以虚设某种结论,然后进行分析推理,从而得出肯定或否定的结论,得出正确的判断。
7.图像法
所谓图像法,就是利用图像本身的数学特征所反映的物理意义解决物理问题(根据物理图像判断物理过程、状态、物理量之间的函数关系和