数学人教版九年级上222降次解一元二次方程教案.docx

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数学人教版九年级上222降次解一元二次方程教案

22.2降次——解一元二次方程

课题：

22.2.1配方法（第1课时）

一、教学目标

1.经历探究过程，会用配方法解较简单的一元二次方程（二次项系数为1）.

2.培养思考能力和探索精神.

二、教学重点和难点

1.重点：

用配方法解一元二次方程.

2.难点：

配方.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.完成下面的解题过程：

（1）解方程：

2x2-8=0；

解：

原方程化成.

开平方，得，

x1=，x2=.

（2）解方程：

3（x-1）2-6=0.

解：

原方程化成.

开平方，得，

x1=，x2=.

（二）尝试指导，讲授新课

（师出示下面的板书）

直接开平方法：

第一步：

化成什么2＝常数；

第二步：

开平方降次；

第三步：

解一元一次方程.

师：

上节课我们学习了用直接开平方法解一元二次方程.（指准板书）用直接开平方法解一元二次方程有这么三步，第一步化成什么2＝常数；第二步开平方降次，把一元二次方程转化为一元一次方程

；第三步解一元一次方程，得到两个根.

师：

按这三步，我们来做一个题目.

（师出示例1）

例1解方程：

x2-4x+4=5.

（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）

解：

原方程化成（x-2）2=5.

开平方，得x-

2=

，

x1=

+2，x2=-

+2.

（三）试探练习，回授调节

2.完成下面的解题过程：

解方程：

9x2+6x+1=4；

解：

原方程化成.

开平方，得，

x1=，x2=.

（四）尝试指导，讲授新课

师：

下面我们再来做一个题目.

（师出示例2）

例2解方程：

x2+6x-16=0.

师：

（指准板书）怎么解这个一元二次方程？

（稍停）还是要按这三步来做.按这三步来做，关键是哪一步？

（稍停）关键是第一步，把方程化成什么2＝常数的这种样子，也就是左边化成含有x的式子的平方，右边是一个常数这种样子.怎么化呢？

大家自己先化一化.（生尝试，师巡视）

师：

下面我们一起来化.

师：

（指准方程）要把这个方程化成什么2＝常数这种样子，首先要把常数项移到右边去（板书：

解：

移项，得x2+6x=16），然后在这个方程的两边加上32（板书：

x2+6x+32=16+32），左边x2+6x+32等于什么？

（稍停）等于（x+3

）2（边讲边板书：

（x+3）2），右边16+32等于25（边讲边板书：

＝25）.这样我们把原方程化成了含有x的式子的平方＝常数这种样子.

师：

方程化成这种样子，下面就很好做了.开平方，得x+

3=±5（边讲边板书：

开平方，得x+3=±5），解一元一次方程，得到两个根，x1=2，x2=-8（边讲边板书：

x1=2，x2=-8）.

师：

（指准解题过程）这个题目做完了，通过做这个题目，大家不难发现，解这个题目的关键是在

方程两边加上32，把方程的左边配成（x+3）2.这样做叫什么？

叫配方（板书：

配方）.

师：

像这道例题那样，通过把方程左边配成平方形式来解一元二次方程的方法，叫配方法（板书：

配方法）.

师：

下面请大家做几个有关配方法的练习.

（五）试探练习，回授调节

3.填空：

（1）x2+2·x·2+=（x+）2；

（2）x2-2·x·6+=（x-）2；

（3）x2+10x+=（x+）2；

（4）x2-8x+=（x-）2.

4.完成下面的解题过程：

解方程：

x2-8x+1=0；

解：

移项，得.

配方，得，

.

开平方，得，

x1=，x2=.

5.用配方法解方程：

x2+10x+9=0.

（六）归纳小结，布置作业

师：

这节课我们学习了什么？

（稍停）我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？

（指准板书）和直接开平方法一样，都是这么三步，所不同的是，直接开平方法很容易把原方程化成什么2＝常数这种样子，而配方法需要通过配方才能把原方程化成这种样子.

课外补充作业：

6.填空：

（1）x2-2·x·3+=（x-）2；

（2）x2+2·x·4+=（x+）2；

（3）x2-4x+=（x-）2；

（4）x2+14x+=（x+）2.

7.完成下面的解题过程：

解方程：

x2+4x-12=0.

解：

移项，得.

配方，得，

.

开平方，得，

x1=，x2=.

8.用配方法解方程：

x2-6x+7=0.

四、板书设计

直接开平方法、配方法例1例2

第一步：

化成什么2＝常数；

第二步：

开平方降次；

第三步：

解一元一次方程.

课题：

22.2.1配方法（第2课时）

一、教学目标

1.会用配方法解一元二次方程（二次项系数不为1）.

2.培养数感和运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

用配方法解一元二次方程.

2.难点：

配方法.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.完成下面的解题过程：

用配方法解方程：

x2-12x+35=0.

解：

移项，得.

配方，得，

.

开平方，得，

x1=，x2=.

2.填空：

（1）x2-2·x·

+=（x-）2；

（2）x2+5x+=（x+）2；

（3）x2-

x+=（x-）2；

（4）x2+x+=（x+）2.

（订正时告诉学生，加上的那个数是一次项系数一半的平方）

（二）尝试指导，讲授新课

（师出示下面的板书）

配方法

第一步：

化成什么2＝常数；

第二步：

开平方降次；

第三步：

解一元一次方程.

师：

（指准板书）上节课我们学习了用配方法解一元二次方程.怎么用配方法解一元二次方程？

有这么三步，第一步：

通过移项、配方把原方程化成什么2＝常数这种样子；第二步：

开平方，把一元二次方程转化为一元一次方程；第三步：

解一元一次方程，得到两个根.在这三步中，第一步中的配方是关键，所以这种解法叫做配方法.

师：

下面我们用配方法再来解几个一元二次方程，先看例1.

（师出示例1）

（三）尝试指导，讲授新课

例1用配方法解方程：

x2+5x+

=0.

（先让生尝试，然后师

边讲解边板书，解题过程如下）

解：

移项，得x2+5x=-

.

配方x2+5x+

=-

+

，

.

开平方，得x+

=

，

x1=

，x2=

.

（四）试探练习，回授调节

3.完成下面的解题过程：

用配方法解方程：

x2-x-

=0.

解：

移项，得.

配方，

.

开平方，得，

x1=，x2=.

（五）尝试指导，讲授新课

师：

下面

我们再来做一个题目.

（师出示例2）

例2用配方法解方程：

2x2+1=3x.

师：

（指准方程）这个方程与例1这个方程有点区别，区别在哪儿？

（稍停）区别主要是，例1这个方程的二次项系数是1，而这个方程的二次项系数不是1.怎么办？

我们可以设法把这个方程二次项系数化为1.下面大家自己先试着做一做.

（以下生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）

解：

移项，得2x2-3x=-1.

二次项系数化为1，得

.

配方

，

开平方，得

，

x1=1,x2=

.

（六）试探练习，回授调节

4.完成下面的解题过程：

用配方法解方程：

3x2+6x+2=0.

解：

移项，得.

二次项系数化为1，得.

配方，

.

开平方，得，

x1=,x2=.

5.用配方法解方程：

9x2-6x-8=0.

（七）归纳小结，布置作业

师：

这节课我们继续学习了用配方法解一元二次方程，（指板书）用配方法解一元二次方程就这么三步，解题的关键是第一步.怎么做第一步？

（指例2）先移项，再把二次项系数化为1，然后配方.配方时，要在方程两边加上一次项系数一半的平方.

（作业：

P42习题2.3.）

四、板书设计

配方法例1例2

第一步：

化成什么2＝常数；

第二步：

开平方降次；

第三步：

解一元一次方程.

课题：

22.2.1配方法（第3课时）

一、教学目标

1.会先整理再用配方法解一元二次方程（包括没有实数根的情况）.

2.培养数感和运算能力.

二、教学重点和难点

1.重点：

先整理再用配方法解一元二次方程.

2.难点：

没有实数根的情况.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.完成下面的解题过程：

用配方法解方程：

3x2+6x－4=0.

解：

移项，得.

二次项系数化为1，得.

配方，

.

开平方，得，

x1=,x2=.

（二）创设情境，导入新课

师：

上节课我们用配方法解了几个一元二次方程，这节课我们用配方法再来做几个题目.

（三）尝试指导，讲授新课

（师出示例题）

例用配方法解方程：

（1）（x-2）（x+3）=6；

（2）3x（x-1）=3x-4.

（先让生尝试，然后师边讲解边板书，解题过程如下）

解：

（1）整理，得x2+x-12=0.

移项，得x2+x=12.

配方x2+x+

=12+

，

.

开平方，得x+

=

，

x1=3，x2=-4.

（2）整理，得3x2-6x+4=0.

移项，得3x2-6x=-4.

二次项系数化为1，得

配方

，

.

原方程没有实数根.

师：

例题做完了，从这个例题，谁能概括怎么用配方法解一元二次方程？

（让生思考一会儿，再叫学生）

生：

……（让一两名好生回答）

师：

用配方法解一元二次方程，（指准例2）第一步要把原方程化成什么2＝常数这种样子，怎么化呢？

（稍停）先整理，把原方程化成一元一次方程的一般形式；再移项；然后把二次项系数化为1；然后再配方，配方时，在方程两边加上一次项系数一半的平方.第一步完成后，看右边的常数，如果右边的常数为负数，说明原方程没有实数根；（指准例1）如果右边的常数为非负数，则继续第二步第三步，第二步开平方，第三步解一元一次方程得到两个实数根.

（四）试探练习，回授调节

2.完成下面的解题过程：

用配方法解方程：

（2x-1）2=4x+9.

解：

整理，得.

移项，得.

二次项系数化为1，得

.

配方，

.

开平方，得，

x1=,x2=.

3.用配方法解方程：

（2x+1）（x-3）=x-9.

（五）归纳小结，布置作业

师：

本节课我们用配方法解了几个一元二次方程，通过做题，同桌之间互相说一说，怎么用配方法解一元二次方程？

（同桌之间互相说）

（作业：

P34练习2（5）（6））

四、板书设计（略）

课题：

22.2.2公式法（第4课时）

一、教学目标

1.经历一元二次方程求根的推导过程，会用公式法解一元二次方程.

2.发展符号感.

二、教学重点和难点

1.重点：

一元二次方程求根公式的推导和运用.

2.难点：

一元二次方程求根公式的推导.

三、教学过程

（一）尝试指导，讲授新课

师：

（板书：

ax2+bx+c=0，并指准）这是一个一元二次方程，x是未知数，a，b，c都是常数，而且a≠0（板书：

（a≠0））.怎么用配方法来解这个一元二次方程？

大家自己先试一试.

（生尝试，师巡视，要给学生充足的尝试时间）

师：

我们一起来解这个一元二次方程.首先我们要把这个方程化成什么2=常数这种样子，怎么化呢？

师：

先把常数项c移到右边（板书：

移项，得ax2+bx=-c）.

师：

再把二次项系数化为1，得

（板书：

二次项系数化为1，得

）.

师：

然后配方（板书：

配方），怎么配方？

（稍停）在方程两边加上一次项系数一半的平方（板书：

），左边是

（板书：

=），右边=

（边讲边在黑板的其它地方板演），所以

=

（边讲边板书：

）.

师：

（指准板书）通过移项、二次项系数化为1、配方，现在我们把原方程化成了什么2=常数这种形式，接下来怎么做呢？

师：

（指准方程）接下来开平方（板书：

开平方，得），

（边讲边板书：

），这个二次根式还可以化简，化简结果是

（边讲边将上面的二次根式改写成

）.

师：

（指准方程）把

移到方程右边去，可以解出x，

（边讲边板书：

）.

师：

（边讲边板书），

（边讲边板书）.

师：

（指准板书）这个方程解完了，通过解这个方程我们得出，一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是

（在这个式子外加框）.

师：

（指ax2+bx+c=0）忙乎了半天，有的同学可能会问：

这个方程尽是字

母，很难解，解它有什么用？

是啊，大家想一想，解这个方程有什么用啊？

（让生思考一会儿，再叫学生）

生：

……（让几名同学发表看法）

师：

以前我们解一元二次方程用的是配方法，要一步一步来解，过程比较麻烦.现在好了，通过解这个方程，（指准求根公式）有了这个式子，只需要把二次项系数a、一次项系数b、常数项c代入这个式子，就可以求出根.因为利用这个式子可直接求根，所以我们把这个式子叫做一元二次方程的求根公式（板书：

求根公式）.

师：

（指求根公式）求根公式挺复杂，大家把求根公式写一写，记一记，熟悉熟悉.（生熟悉公式）

师：

下面我们利用求根公式来解几个一元二次方程.

（师出示例题）

例利用求根公式解下列方程：

（1

）x2-4x-7=0；

（2）5x2-3x=x+1；

（3）2x2-2

x+1=0；（4）x2+17=8x.

师：

（指

（1）题）怎么利用求根公式解这个一元二次方程？

（板书：

解：

（1））

师：

（指

（1）题）首先要找出这个方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，这个方程的a，b，c等于什么？

生：

a=1，b=-4，c=-7（生答师板书：

a=1，b=-4，c=-7）.

师：

找出了a，b，c，接下来干什么？

接下来要计算b2-4ac的值（板书：

b2-4ac=）.b2-4ac=（-4）2-4×1×（-7）=44（边讲边板书：

（-4）2-4×1×（-7）=44）

师：

大家可能觉得有点奇怪，找出了a，b，c，为什么不把a，b，c直接代入求根公式，而是先计算b2-4ac的值？

（稍停后指准求根公式

）大家看求根公式，公式中这个二次根式的被开方数是b2-4ac，可见b2-4ac必须大于等于0.计算b2-4ac的目的是什么？

目的是看一看b2-4ac的值是大于等于0还是小于0.如果b2-4ac的值大于等于0，下一步才把a，b，c代入求根公式；如果b2-4ac的值小于0，这个二次根式没有意义，说明方程没有实数根.总之，要根据b2-4ac值的符号来决定下一步怎么做，所以不能直接把a，b，c代入求根公式，先要求b2-4ac的值.

师：

（指准板书）这个方程的b2-4ac等于44，大于0（边讲边板书：

＞0），所以下一步可以把a，b，c代入求根公式.

师：

（边讲边板书）.

师：

，

（边讲边板书）.

（以下师边讲解边板书其它各题，解题过程如下）

（2）整理，得5x2-4x-1=0.

a=5，b=-4，c=-1，

b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36＞0.

，

，

.

（3）a=2，b=-2

，c=1，

b2-4ac=（-2

）2-4×2×1=0.

，

.

（4）整理，得x2-8x+17=0.

a=1，b=-8，c=17，

b2-4ac=（-8）2-4×1×17=-4＜0.

方程没有实数根.

（二）试探练习，回

授调节

1.完成下面的解题过程：

利用求根公式解方程：

x2+x-6=0.

解：

a=，b=，c=.

b2-4ac==＞0.

，

，

.

2.利用求根公式解下列方程：

（1）

；

（2）

；

（3）3x2-4x+2=0；

（三）归纳小结，布置作业

师：

本节课我们学习了利用求根公式解一元二次方程，利用求根公式解一元二次方程，这种方法叫公式法（板书课题：

22.2.2公式法）.

师：

和配方法相比，用公式法解一元二次方程要简单得多，不过我们还要看到，公式法所用的求根公式是用配方法推导出来的，所以我们说，公式法更简单，配方法更基本.

（作业：

P42习题5

（1）

（2）（5）（6））

四、板书设计（略）

22.2.2公式法

ax2+bx+c=0（a≠0）例

移项，得……

二次项系数化为1，得……

配方……

……

开平方，得……

x1=……x2=……

课题：

22.2.2公式法（第5课时）

一、教学目标

1.会较熟练地用公式法解一元二次方程.

2.知道什么是判别式，会根据判别式的值确定解的情况.

二、教学

重点和难点

1.重点：

根据判别式的值确定解的情况.

2.难点：

根据判别式的值确定解的情况.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.完成下面的解题过程：

用公式法解下列方程：

（1）2x2-3x-2=0.

解：

a=，b=，c=.

b2-4ac==＞0.

，

，

.

（2）x（2x-

）=

x-3.

解：

整理，得.

a=，b=，c=.

b2-4ac==.

，

.

（3）（x-2）2=x-3.

解：

整理，得

.

a=，b=，c=.

b2-4ac=

=＜0.

方程实数根.

（二）尝试指导，讲授新课

（师出示下面的板书）

一元二次方程ax2+bx+c=0

（1）当b2-4ac时，方程有两个不相等的实数根；

（2）当b2-4ac时，方程有两个相等的实数根；

（3）当b2-4ac时，方程

没有实数根.

师：

刚才我们解了个一元二次方程，我们是怎么解方程的？

（稍停）

师：

（指准板书）首先我们把方程化成一元二次方程的一般形式，也就是ax2+bx+c=0这样的形式.

师：

然后计算b2-4ac的值，（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个不相等的实数根？

生：

当b2-4ac＞0时（多让几名同学回答，然后师填入：

＞0）.

师：

（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程有两个相等的实数根？

生：

当b2-4ac＝0时（多让几名同学回答，然后师填入：

＝0）.

师：

（指准板书）当b2-4ac的值怎么样时，方程没有实数根？

生：

当b2-4ac＜0时（生答师填入：

＜0）.

师：

（指板书）通过解一元二次方程，我们得到了这个的结论，请大家一起来把这个结论读两遍.（生读）

师：

（指板书）这是一个很重要的结论，这个结论告诉我们，一元二次方程根的情况由式子b2-4ac决定，所以我们把式子b2-4ac叫做一元二次方程根的判别式（板书：

b2-4ac叫做根的判别式），记作△（板书：

记作△）.

师：

下面我们就利用这个结论来做一个题目.

（师出示下面的例题）

例利用判别式判断下列方程的根的情况：

（1）2x2+3x-4=0；

（2）4y2+9=12y；

（3）5（x2+1）-7x=0.

（师边讲解边板书，解题过程如下）

解：

（1）a=2，b=3，c=-4.

△=b2-4ac=32-4×2×（-4）=9+32＞0，

方程有两个不相等的实数根.

（2）整理，得4y2-12y+9=0

a=4，b=-12，c=9.

△=b2-4ac=（-12）2-4×4×9=144-144=0，

方程有两个相等的实数根.

（3）整理，得5x2-7x+5=0

a=5，b=-7，c=5.

△=b2-4ac=（-7）2-4×5×5=49-100＜0，

方程没有实数根.

（三）试探练习，回授调节

2.利用判别式判断下列方程的根的情况：

（1）x2-5x=-7；

（2）（x-1）（2x+3）=x；

（3）x2+5=2

x.

（四）归纳小结，布置作业

师：

本节课我们学习了什么？

（稍停）我们学习了利用判别式判断方程根的情况.请大家再把这个结论读一遍.（生读）

（作业：

P42习题4.5（3）（4））

四、板书设计（略）

一元二次方程ax2+bx+c=0例

（1）当b2-4ac＞0时……

（2）当b2-4ac=0时……

（3）当b2-4ac＜0时……

课题：

22.2.3因式分解法（第6课时）

一、教学目标

1.会用因式分解法解一元二次方程，领会因式分解法的实质是降次.

2.培养式的变形能力，发展符号感.

二、教学重点和难点

1.重点：

用因式分解法解一元二次方程.

2.难点：

式的变形.

三、教学过程

（一）基本训练，巩固旧知

1.完成下面的解题过程：

用公式法解方程：

2x（x-1）+6=2（0.5x+3）

解：

整理，得.

a=，b=，c=.

b2-4ac==＞0.

，

，

.

（二）尝试指导，讲授新课

师：

刚才我们解了一个方程，我们是怎么解的？

（稍停）我们先整理得到了方程2x2-3x=0（边讲边板书：

2x2-3x=0），然后用公式法求出两个根.

师：

（指2x2-3x=0）除了用公式法，大家想一想，还有别的更简单的方法解这个方程吗？

（让生思考一会儿）

师：

（指2x2-3x=0）我们把这个方程的左边分解因式（板书：

因式分解，得），得到x（2x-3）=0（边讲边板书：

x（2x-3）=0）.

师：

（指准x（2x-3）=0）x乘以2x-3等于0，这说明什么？

生：

……（多让几名同学发表看法）

师：

（指准x（2x-3）=0）x乘以2x-3等于0，说明x=0或者2x-3=0（板书：

于是得x=0或2x-3=0）.

师：

（指准板书）这样我们通过因式分解把一元二次方程转化成了两个一元一次方程.接下来解这两个一元一次方程，由x=0得到x1=0（板书：

x1=0），由2x-3=0，得到

（板书：

）.

师：

（指板书）用这种方法解出的结果与用公式法解出的结果是一样的，但显然用这种方法解更简单.大家再看一看，用这种方法解方程，哪一步是关键？

生：

因式分解.（多让几名同学回答）

师：

因式分解是这种方法的关键，那么这种方法应该叫做什么法？

生：

（齐答）因式分解法.（师板书课题：

22.2.3因式分解法）

师：

通过因式分解来解一元二次方程，这种方法叫做因式分解法.下面我们用因式分解法再来解几个一元二次方程.

（师出示例题）

例用因式分解法解下列方程：

（1）x（x-2）+x-2=0；

（2）5x2-2x-

=x2-2x+

；

（3）（2y+3）2=（y-1）2.

（师边讲解边板书，

（1）

（2）题解题过程如课本第39页所示，（3）题解题过程如下）

（3）移项，得（2y+3）2-（y-1）2=0.

因式分解，得（3y+2）（y+4）=0.

于是得3y+2=0或y+4=0，

，y2=-4.

师：

我们用因式分解法做了几个题，通过做题，哪位同学会归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤？

（让生思考一会儿再叫学生）

生：

……（让两名学生归纳）

师：

（指准例（3）题）用因式分解法解一元二次方程，先把方程右边移到左边，再把左边分解因式，化为两个一次式的乘积等于0的形式，然后得到两个一元一次方程，最后分别解这两个一元一次方程，得到两个根.

师：

按这样的步骤，下面同学们自己做几个练习.

（三）试探练习，回授调节

2.完成下面的解题过程：

用因式分解法解方程：

x2=2

x.

解：

移项，得.

因式分解，得.

于是得或，

x1=，x2=.

3.用因式分解法解下列方程：

（1）x2+x=0；

（2）4x