三年级数学奥数讲座乘除法的运算律和性质.docx
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三年级数学奥数讲座乘除法的运算律和性质
三年级数学奥数讲座乘、除法的运算律和性质
三年级乘、除法的运算律和性质
我们在第1讲中介绍了加、减法的运算律和性质，利用它们可以简化一些加、减法算式的计算。
本讲将介绍在巧算中常用的一些乘、除法的运算律和性质，其目的也是使一些乘、除法计算得到简化。
1.乘法的运算律
乘法交换律：
两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变。
即
a×b=b×a。
其中，a，b为任意数。
例如，35×120=120×35=4200。
乘法结合律：
三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数相乘后，再与前一个数相乘，积不变。
即
a×b×c=（a×b）×c=a×（b×c）。
注意：
（1）这两个运算律中数的个数可以推广到更多个的情形。
即多个数连乘中，可以任意交换其中各数的位置，积不变；多个数连乘中，可以任意先把几个数结合起来相乘后，再与其它数相乘，积不变。
（2）这两个运算律常一起并用。
例如，并用的结果有
a×b×c=b×（a×c）等。
例1计算下列各题：
（1）17×4×25；
（2）125×19×8；
（3）125×72；（4）25×125×16。
分析：
由于25×4=100，125×8=1000，125×4=500，运用乘法交换律和结合律，在计算中尽量先把25与4、把125与8或4结合起来相乘后，再与其它数相乘，以简化计算。
解：
（2）125×19×8
=（125×8）×19
=1000×19
=19000；
（3）125×72
=125×（8×9）
=（125×8）×9
=1000×9
=9000；
（4）25×125×16或
=25×125×2×8
=（25×2）×（125×8）
=50×1000
=50000，
25×125×16
=25×125×4×4
=（25×4）×（125×4）
=100×500
=50000。
乘法分配律：
两个数之和（或差）与一数相乘，可用此数先分别乘和（或差）中的各数，然后再把这两个积相加（或减）。
即
（a+b）×c=a×c+b×c，
（a-b）×c=a×c-b×c。
例2计算下列各题：
（1）125×（40+8）；
（2）（100-4）×25；
（3）2004×25；（4）125×792。
解：
（1）125×（40+8）
=125×40+125×8
=5000+1000
=6000；
（2）（100-4）×25
=100×25-4×25
=2500-100
=2400；
（3）2004×25
=（2000+4）×25
=2000×25+4×25
=50000+100
=50100；
（4）125×792
=125×（800-8）
=125×800-125×8
=（125×8）×100-1000
=1000×100-1000
=1000×（100-1）
=99000。
2.除法的运算律和性质
商不变性质：
被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变。
即
a÷b=（a×n）÷（b×n）（n≠0）
=（a÷m）÷（b÷m）（m≠0）
例3计算：
（1）425÷25；
（2）3640÷70。
解：
（1）425÷25
=（425×4）÷（25×4）
=1700÷100
=17；
（2）3640÷70
=（3640÷10）÷（70÷10）
=364÷7
=52。
（2）两数之和（或差）除以一个数，可以用这两个数分别除以那个数，然后再求两个商的和（或差）。
即
（a±b）÷c=a÷c±b÷c。
例如，（8+4）÷2=8÷2+4÷2，
（9-6）÷3=9÷3-6÷3。
此性质可以推广到多个数之和（或差）的情形。
例如
（1000-688-136）÷8
=1000÷8-688÷8-136÷8
=125-86-17=22。
（3）在连除中，可以交换除数的位置，商不变。
即
a÷b÷c=a÷c÷b。
在这个性质中，除数的个数可以推广到更多个的情形。
例如，
168÷7÷4÷3=168÷3÷4÷7=……
例4计算下列各题：
（1）（182+325）÷13；
（2）（2046-1059-735）÷3；
（3）775÷25；
（4）2275÷13÷5。
解：
（1）（182＋325）÷13
=182÷13+325÷13
=14+25
=39；
（2）（2046-1059-735）÷3
=2046÷3-1059÷3-735÷3
=682-353-245
=84；
（3）775÷25
=（700+75）÷25
=700÷25+75÷25
=28+3=31；
（4）2275÷13÷5
=2275÷5÷13
=455÷13
=35。
3.乘、除法混合运算的性质
（1）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置。
例如，
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a。
（2）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则去括号情形：
括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变。
即
a×（b×c）=a×b×c，
a×（b÷c）=a×b÷c。
括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。
即
a÷（b×c）=a÷b÷c，
a÷（b÷c）=a÷b×c。
添加括号情形：
加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”变为“÷”，“÷”变为“×”。
即
a×b×c=a×（b×c），
＝1024；
（5）2460÷5÷2
=2460÷（5×2）
=2460÷10
=246；
（6）527×15÷5
=527×（15÷5）
=527×3
=1581；
（7）（54×24）÷（9×4）
=（54÷9）×（24÷4）
=6×6=36。
练习
用简便方法计算下列各题。
1.
（1）12×4×25；
（2）125×13×8；（3）125×56；（4）25×32×125。
2.
（1）125×（80+4）；
（2）（100-8）×25；（3）180×125；（4）125×88。
3.
（1）1375÷25；
（2）12880÷230。
4.
（1）（128+1088）÷8；
（2）（1040-324-528）÷4；
（3）1125÷125；
（4）4505÷17÷5。
5.
（1）384×12÷8；
（2）2352÷（7×8）；
（3）1200×（4÷12）；
（4）1250÷（10÷8）；
（5）2250÷75÷3；
（6）636×35÷7；
（7）（126×56）÷（7×18）。
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