平面四杆机构毕业设计说明书.docx

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平面四杆机构毕业设计说明书

1绪论

1。

1课题背景

平面连杆机构在重型机械、纺织机械、食品机械、包装机械、农业机械中都有广泛的应用。

但是要在尽可能短的时间内设计出一个满足多种性能要求的机构却不是一件很容易的事情.过去人们已建立了一些四杆机构的设计方法，然而这些方法与工程设计的要求还有一段距离，常常花费很多时间却只得到一个不可行的设计方案。

因为机构的运动性能如急回特性K，压力角α，从动件的摆角Ψ，极位夹角θ与构件尺寸有关,本身的这些运动性能之间也都相互影响，比如，四杆机构中，从动件急回特性K完全取决于极位夹角θ的作用。

本篇论文主要研究工程中应用比较多的Ⅰ、Ⅱ曲柄摇杆机构的传动角γ，极位夹角θ与机构尺寸之间的关系，然后运用工程分析软件ADAMS针对机构进行运动学分析，从而能给出设计平面四杆机构时为保证有较好的特性时，选取构件尺寸的建议.进而为工程应用提供依据。

1。

2平面四杆机构的基本型式

平面四杆机构可分为铰链四杆机构和含有移动副的四杆机构。

其中只有转动副的平面四杆机构称为铰链四杆机构[1］。

在铰链四杆机构中,能作整周回转的称为曲柄，只能在一定角度范围内摆动的称为摇杆.由于曲柄和摇杆长度的不同,又可以将铰链四杆机构分为曲柄摇杆机构、双曲柄机构和双摇杆机构[2］.

平面四杆机构最基本的型式为图1-1所示的曲柄摇杆机构。

图1—1中，AD为机架，AB和DC为连架杆。

其中构件AB能绕其固定铰链中心A作整周转动而称为曲柄。

构件DC只能绕其固定铰链中心D在一定范围内往复摆动而称为摇杆。

构件BC不与机架直接相联而仅仅连接两连架杆AB和DC，因而称为连杆.连杆机构正是因为连杆的存在而得名［3]。

图1.1曲柄摇杆机构

两连架杆均为曲柄的铰链四杆机构称为双曲柄机构[4］.图1—2中,AD为机架,AB和DC为曲柄。

其中构件AB、DC能绕其固定铰链中心A、D作整周转动而称为曲柄。

若两对边构件长度相等且平行，则称为正平行四边形机构。

图1.2双曲柄机构

两连架杆均为摇杆的铰链四杆机构称为双摇杆机构[5］.如图1—3中,AD为机架，构件AB、DC只能绕其固定铰链中心A、D在一定范围内往复摆动而称为摇杆.

图1.3双摇杆机构

1。

3平面四杆机构的演化

1.回转副演化成移动副

下图1-4表示了曲柄摇杆机构先演化为曲柄滑块机构过程。

在实际中，曲柄滑块机构在金属切削机床、内燃机和空气压缩机等各种机械中得到了广泛的应用。

图1。

4移动副的演化过程

2。

取不同的构件为机架

铰链四杆机构的三种基本型式,可看作是由曲柄摇杆机构改变机架而得到的，如图1-5所示。

图1.5曲柄摇杆机构的演化过程

对于曲柄滑块机构,若选取不同构件为机架，同样也可以得到不同型式的机构，如图1—6所示。

曲柄滑块机构导杆机构摇块机构直动滑杆机构

图1。

6改变曲柄滑块机构的机架得到的不同型式

3.扩大回转副

由于结构的需要和受力的要求，使曲柄与连杆连接处的回转副的销轴扩大,形成一个几何中心与其回转中心不重合的圆盘，此盘就称为偏心轮。

回转中心与几何轴心的距离称为偏心距（即曲柄长度）,这种机构称为偏心轮机构（如图1-7）。

显然，这种机构与曲柄滑块机构的运动特性完全相同。

常用于要求行程短、受力大的场合，如冲床、剪床等机械中[6］。

图1。

7曲柄滑块机构演化成偏心轮机构

1.4平面四杆机构的主要工作特性

在讨论平面四杆机构的运动特性之前，就与机构运动性能有关的一些基本知识作一些简单的介绍。

1。

4。

1铰链四杆机构的曲柄存在条件

铰链四杆机构的曲柄存在条件：

（1）在曲柄摇杆机构中,曲柄是最短杆；

（2）最短杆与最长杆长度之和小于或等于其余两杆长度之和。

以上两条件是曲柄存在的必要条件.

因此,当各杆长度不变而取不同杆为机架时，可以得到不同类型的铰链四杆机构.

（a）取最短杆相邻的构件（如杆2）为机架时，最短杆1为曲柄,而另一连架杆3为摇杆，故图1。

8所示的机构为曲柄摇杆机构。

（b）取最短杆为机架，其连架杆2和4均为曲柄，故图1.9所示为双曲柄机构。

（c）取最短杆的对边（杆3）为机架,则两连架杆2和4都不能作整周转动，故图1。

10所示为双摇杆机构。

图1。

8曲柄摇杆机构

图1。

9双曲柄机构

图1。

10双摇杆机构

如果铰链四杆机构中的最短杆与最长杆长度之和大于其余两杆长度之和，则该机构中不可能存在曲柄，无论取哪个构件作为机架，都只能得到双摇杆机构。

由上述分析可知，最短杆和最长杆长度之和小于或等于其余两杆长度之和是铰链四杆机构存在曲柄的必要条件。

满足这个条件的机构究竟有一个曲柄、两个曲柄或没有曲柄，还需根据取何杆为机架来判断［7].

1。

4.2行程速度变化系数

当原动件（曲柄）做匀速定轴转动时，从动件相对于机架作往复运动（摆动或移动）的连杆机构，从动件正行程和反行程的位移量相同，而所需的时间一般并不相等，正反两个行程的平均速度也就不相等。

这种现象称为机构的急回特性。

在工程实际中，为了提高生产率,保证产品质量，常常使从动件的慢速运动行程为工作行程，而从动件的快速运动行程为空回行程。

因此，正确分析平面连杆机构的急回特性，在机构分析和设计中具有很重要意义。

为反应急回特性的相对程度，引入从动件行程速度变化系数，用K表示，其值为从动件快行程平均速度与从动件慢行程平均速度的比值（K≥1）

在图1。

11所示的曲柄摇杆机构中，曲柄与连杆重叠共线的AB1和拉直共线的AB2分别对应于从动件的两个极限位置C1D和C2D,矢径AB1和AB2将以A为圆心、曲柄长为半径的圆分割为圆心角不等的两部分,其中圆心角较大的用α1（≥180°）表示，小者用α2（≤180°）表示,由

α1=180°＋θ,α2=180°－θ

可得

θ=（α1－α2）／2

若曲柄以匀速转过α1和α2对应的时间为t1（对应于从动件慢行程）和t2（对应于从动件快行程）,则根据行程速度变化系数的定义，有：

因此,机构的急回特性也可以用θ角来表示，由于θ与从动件极限位置对应的曲柄位置有关，故称其为极位夹角。

对于曲柄摇杆机构，极位夹角即为∠C1AC2。

其值与机构尺寸有关，可能小于90°，也可能大于90°,一般范围为0°到180°.

图1。

11曲柄摇杆机构的行程速比系数分析

除曲柄摇杆机构外,偏置曲柄滑块机构和导杆机构也有急回特性。

如图1.12所示的偏置曲柄滑块机构，极位夹角为θ=∠C1AC2＜90°滑块慢行程的方向与曲柄的转向和偏置方向有关.当偏距e=0时，θ=0,即对心曲柄滑块机构无急回特性.

图1。

12偏置曲柄滑块机构

图1.13表示了摆动导杆机构的极位夹角，其取值范围为（0°，180°），并有ψ=θ.导杆慢行程摆动方向总是与曲柄转向相同[8]。

图1。

13转动导杆机构

4.3压力角和传动角

在图1。

14所示的曲柄摇杆ABCD中,若不考虑构件的惯性力和运动副中的摩擦力的影响，当曲柄AB为主动件时，则通过连杆BC作用于从动件摇杆CD上的力P即沿BC方向。

该力P的作用线与其作用点C的绝对速度υc之间所夹的锐角α称为压力角.

图1.14曲柄摇杆机构的压力角分析

由图可见，力P可分解为沿点C绝对速度υc方向的分力Pt及沿构件CD方向的分力Pn，Pn只能使铰链C及D产生径向压力,而分力Pt才是推动从动件CD运动的有效分力,其值Pt=Pcosα=Psinγ。

显然，压力角α越小，其有效分力Pt则越大,亦即机构的传动效益越高。

为了便于度量,引入压力角α的余角γ=90°－α，该角γ称为传动角。

显然，角γ越大，则有效分力Pt则越大而Pn就越小,因此在机构中常用其传动角γ的大小及其变化情况来表示机构的传力性能.

传动角γ的大小是随机构位置的不同而变化的。

为了保证机构具有良好的传动性能，综合机构时，通常应使γmax≥40°。

尤其对于一些具有短暂高峰载荷的机构，可利用其传动角接近γmax时进行工作，从而节省动力［9]。

1.4。

4死点

在曲柄摇杆机构中,如图1。

15所示,若取摇杆作为原动件，则摇杆在两极限位置时,通过连杆加于曲柄的力P将经过铰链A的中心，此时传动角γ=0，即α=90°，故Pt=0，它不能推动曲柄转动,而使整个机构处于静止状态。

这种位置称为死点。

对传动而言，机构有死点是一个缺陷，需设法加以克服,例如可利用构件的惯性通过死点。

缝纫机在运动中就是依靠皮带轮的惯性来通过死点的。

也可以采用机构错位排列的办法,即将两组以上的机构组合起来，使各组机构的死点错开。

图1.15曲柄摇杆机构死点位置

构件的死点位置并非总是起消极作用。

在工程中，也常利用死点位置来实现一定的工作要求.例如图1。

16所示工件夹紧机构，当在P力作用下夹紧工件时,铰链中心B﹑C﹑D共线,机构处于死点位置，此时工件加在构件1上的反作用力Q无论多大，也不能使构件3转动，这就保证在去掉外力P之后，仍能可靠夹紧工件.当需要取出工件时,只要在手柄上施加向上的外力，就可以使机构离开死点位置，从而松脱工件[10].

图1。

16工件夹紧机构

1.5连杆机构的特点与应用

平面连杆机构构件运动形式多样，如可实现转动、摆动、移动和平面复杂运动，从而可用于实现已知运动规律和已知轨迹。

连杆机构之所以能被广泛地应用于各种机械及仪表中,这是由于它具有显著的优点：

由于运动副元素为圆柱面和平面而易于加工、安装并能保证精度要求，且因各构件之间为面接触而压强小，便于润滑，故其磨损小且承载能力大，两构件之间的接触是靠其本身的几何封闭来维系的，它不象凸轮机构有时需利用弹簧等力来保持接触；当主动件的运动规律不变时，仅改变机构中构件的相对长度,则可使从动件得到多种不同的运动规律:

另外，也可利用连杆曲线的多样性来满足工程上的各种轨迹要求［11］。

1。

6简单介绍本篇论文中所用到的软件

（1）VB软件

a。

概述

VisualBasic（VB）的开发基础:

Microsoft公司的Basic语言。

Visual-“可视化”、“形象化”的意思,指的是开发图形用户界面（GUI—GraphicalUserInterfaces）的方法。

Basic—是“BeginnersAll—purposeSymbolicInstructionCode"的缩写，即“初学者通用符号指令代码"，是专为初学者设计的高级语言。

b。

特点

1.是面向对象的可视化编程工具不需要编写大量的代码。

2。

仍然采用三种基本结构化程序设计方法。

3.采用事件驱动的编程机制。

4.提供了易学易用的应用程序集成开发环境。

5。

支持多种数据库系统的访问（MSAccess、Foxpro、SQLSever）.

6.支持对象链接与嵌入技术（OLE—ObjectLinkingandEmbedding）。

7。

完备的联机帮助系统（MSDN）。

（2）ADAMS软件

a。

概述

在机构设计中，要求机构的从动件必须满足某种运动规律，这就需要对机构进行必要的运动分析.常规的分析方法是图解法和解析法。

但是，前者的设计精度低；后者的计算工作量大，必须借助计算机编程处理.如果借助ADAMS软件，通过仿真，可以确定构件的运动情况，检验构件之间是否干涉、执行件的运动是否与期望的相符。

ADAMS软件是由美国MSC公司开发研制的集建模、求解、可视化技术于一体的虚拟样机软件，主要针对机械系统的仿真分析.ADAMS软件由一下几个模块构成的.核心模块、功能扩展模块、专业模块、工具箱和接口模块。

最主要的模块为ADAMS/Ⅵew（用户界面模块）和ADAMS／Solver（求解器）。

通过这两个模块，可以对大部分的机械系统进行仿真。

该模型既可以在ADAMS下直接建模,也可以从其它CAD软件中调入造型逼真的几何模型，然后在模型上施加力或力矩的运动激励，再施加一定的运动约束副,最后执行一组与实际运动状况相近的运动仿真测试，得到仿真结果就是实际运动情况。

过去需要数星期、数个月完成的工作,在ADAMS软件下仅需要几个小时就可以完成，并可看到物理样机工作情况［12].

b.在机构设计分析中的应用

机械制造业发展的总趋势智能化和信息化。

要想在竞争日趋激烈的市场上获胜，缩短开发周期，提高产品质量，降低成本都是商家们所追求的。

运用ADAMS可以把零件部件的设计和分析技术柔和在一起.在计算机上建造整体模型,并对产品进行生产前的仿真分析，预测其性能，可以完成物理样机无法完成的无数次的仿真试验，进而改进产品，提高市场的响应力[13]。

2铰链四杆机构的相对尺寸模型

铰链四杆机构的杆长组合有无穷多种，若在这无穷多种机构尺寸中随意取出一些来研究，那是很难找出机构运动性能的变化规律的。

图2.1所示是两个对应杆长度成比例的四杆机构，研究表明两者许多性能是完全相同的。

因此我们可以不必研究四杆机构的全部尺寸型，而仅研究其相对尺寸型。

因此，可采用下述方法将对应各杆长度成比例的相似机构统一为一个尺寸型［14］。

图2。

1对应杆长度成比例的四杆机构

设铰链四杆机构的实际杆长分别为L1、L2、L3、L4、四个杆的平均长度为L,即：

L=（L1+L2+L3+L4）/4

于是可得实际机构尺寸经过标准化了的相对机构尺寸为:

a=L1/L、b=L2/L、c=L3/L、d=L4/L

式中a、b、c、d分别为原动件、连杆、从动件和机架的相对杆长。

这样，任意铰链四杆机构的四个相对杆长之和恒为：

a+b+c+d=4

由于4个杆长必须构成闭式运动链,任一杆长都必须小于其余三个杆长之和，因此4个相对杆长必须满足下列不等式：

0

3曲柄摇杆机构的工作特性分析

3.1曲柄摇杆机构传动角分析

传动角γ是曲柄摇杆机构传力性能的主要指标，当机构运转时，其传动角的大小是变化的,为了保证机构传动良好，设计时通常应使γmin≥40°[15］。

如图3.1，若连杆b与从动件c的夹角设为δ，其可能取值范围为0°-180°。

显然，当δ≤90°时，γ=δ；当δ>90°时，γ=180°—δ。

设δ角的极限值为δm和δ0,则

图3。

1曲柄摇杆机构δ角极值位置

利用如图3。

2所示的程序框图可以计算所有组合尺寸的δm和δ0，在确定了曲柄摇杆机构的类型后，可得出该机构的最小传动角。

如Ⅰ型曲柄摇杆机构的最小传动角γmin=δ0，Ⅱ型曲柄摇杆机构的最小传动角γmin=180°—δm。

图3。

2传动角极值计算流程图

图3。

3VB中传动角的计算

图3.2的功能可以通过VB编程来实现，窗口如图3-3所示，应用这个程序，可以根据a、c、d的值快捷的求出b和最大、最小传动角的值。

图3。

2的程序见附录A

例如，当a=0。

43，c=0。

7，d=1.51时，得出的结果如图3.4所示:

图3。

4VB编程显示结果

3.2Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构慢行程最小传动角位置

机构的最小传动角γmin的大小是衡量其传力性能的重要指标，故设计曲柄摇杆机构时,均要求γmin尽可能地大，一般应大于40°或50°。

在以往的教科书中,均指出最小传动角出现在曲柄与机架重叠共线（I型机构）或拉直共线（II型机构）的位置[16］.但是，该两位置刚好位于机构空回（快）行程的阶段内。

本节将着重剖析工程中应用较多的Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构工作行程中最小传动角的位置以及最小传动角与构件尺寸之间的关系等一系列问题。

（1）Ⅰ型曲柄摇杆机构:

K>1且摇杆慢行程摆动方向与曲柄转向相同.如图3。

7，其结构特征为：

A、D位于C1C2两点所确定的直线的同侧，构件尺寸关系为a2+d2

（2）Ⅱ型曲柄摇杆机构:

K>1且摇杆慢行程摆动方向与曲柄转向相反。

如图3.8，其结构特征为：

A、D位于C1C2两点所确定的直线的的异侧,构件尺寸关系为a2+d2〉b2+c2[17]。

3。

2.1Ⅰ型曲柄摇杆机构慢行程最小传动角的位置分析

图3。

5I型曲柄摇杆机构慢行程传动角位置分析

如图3.5所示,设a，b,c,d分别表示曲柄摇杆机构中曲柄、连杆、摇杆、机架的相对尺寸长度，θ为极位夹角,γ为传动角，在I型机构中，Φ为慢行程过程中机架AD与曲柄AB所夹的角[18]。

其变化范围为[Φ0,Φmax］,Φ0，Φmax为机构在极限位置时，机架与曲柄AB2,AB1沿逆时针方向的夹角。

在三角形AC2D中，由余弦定理得

（3.1）

而（3.2）

在三角形AC1D中，由余弦定理得

=—

故

1）当时，即当机构处于ABCD位置时，在三角形ABD和三角形BCD中,由余弦定理得：

COS∠BCD=

因cos为减函数，当Φ=Φmin=Φ0时,∠BCD取极小值,记为∠BCDmin

当Φ=180º时,∠BCD取极大值，记为∠BCDmax

2）当Φ∈（180°，Φmax]时,即机构处于ABC'D位置时，在三角形AB’D和三角形BC'D中由余弦定理得:

COS∠B’C'D=

因cos为增函数，当=时，∠B'C’D取极小值，记为∠B’C'Dmin；

故慢行程最小传动角γ'min=min{∠BCDmin,180°—∠BCDmax，∠B’C’Dmin｝

对∠BCD与∠B’C’D进行比较：

当Φ0≤360°－Φmax，即cos0≥cosmax，（max＞180°），则∠BCDmin＜∠B’C’Dmin；而360°－Φmax=360°－（Φ0＋θ＋180°）=180°－θ－Φ0，即Φ0≤90°－θ／2.

当Φ0＞360°－Φmax，即Φ0＞90°－θ／2时,则∠BCDmin＞∠B’C’Dmin.

因此可以得出对于I型曲柄摇杆机构在慢行程时最小传动角的位置为:

当Φ0≤90°－θ／2时,慢行程最小传动角γ’min出现在曲柄与连杆拉直共线或曲柄与机架拉直共线的位置，即γ’min=min［∠BCDmin，180°—∠BCDmax,]

当Φ0＞90°－θ／2时，慢行程最小传动角γ'min出现在曲柄与连杆重叠共线或曲柄与机架拉直共线的位置，即min[180°—∠BCDmax，∠B’C’Dmin］。

3。

2。

2Ⅱ型曲柄摇杆机构慢行程最小传动角的位置分析

如图3。

6所示，在II型机构慢行程中,Φ为机架与曲柄间的夹角，其变化范围为[-Φmax，Φ0］,Φmax为机架与曲柄AB1沿顺时针方向的夹角，Φ0为机架与曲柄AB2逆时

针方向的夹角，AB1、AB2为曲柄与连杆重叠,延长共线位置[19]。

图3。

6II型曲柄摇杆机构慢行程传动角位置分析

在三角形AC2D中，由余弦定理得:

Φ0=

Φmax=180°－（Φ0－θ）=180°﹢θ－Φ0

在实际计算时为了方便起见，将Φ分为两个区间，即：

（0°，Φ0］，［0°,Φmax];对II型,＞,则－－＞0，故cos0＞0，即0＜θ＜90°，

当Φmax＜180°，即（0°，Φ0]［0°，Φmax]，故只需讨论Φ∈[0°,Φmax］范围内的γmin即可[20］。

当Φ∈［0°,Φmax],在三角形ABD和三角形BCD中,由余弦定理得:

cos∠BCD=

因cos为减函数，当Φ=Φmax时，∠BCD取极大值，记为∠BCDmax；当Φ=0，cos=1，∠BCD取极小值，记为∠BCDmin，所以γ’min=min[∠BCDmin,180°－∠BCDmax］。

由此得出Ⅱ型曲柄摇杆机构慢行程最小传动角γ’min出现在曲柄与机架或与连杆重叠共线的位置［21].

3.3Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构慢行程最小传动角的位置分析总结

对于Ⅰ型曲柄摇杆机构：

当Φ0≤90°－θ／2时，慢行程最小传动角γ’min出现在曲柄与连杆拉直共线或与机架拉直共线的位置，即γ’min=min［∠BCDmin,180°—∠BCDmax，］。

当Φ0＞90°－θ／2时,慢行程最小传动角γ’min出现在曲柄与连杆重叠共线或曲柄与机架拉直共线的位置，即γ’min=min［180°—∠BCDmax，∠B’C’Dmin]。

对于Ⅱ型曲柄摇杆机构，慢行程最小传动角γ'min出现在曲柄与几家或与连杆重叠共线的位置，即γ’min=min[∠BCDmin，180°—∠BCDmax，]

3。

4Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构最小传动角受构件尺寸变化的影响情况。

将构件尺寸转化为相对尺寸,其相对杆长a为严格最小.对于Ⅰ型曲柄摇杆机构，最小传动角γmin出现在曲柄与机架重叠共线位置[22]，其值可表示为：

（3。

3）

对于Ⅱ型曲柄摇杆机构，最小传动角γmin出现在曲柄与机架拉直共线位置,其值可表示为：

（3。

4）

由上面两个式子可得如下结论［21]：

结论1对于a,d一定的Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构，交换b与c两值的机构和原机构的最小传动角相同[23]。

结论2对于a、d一定的I型曲柄摇杆机构，|b-c｜越小，则机构的最小传动角γmin越大;当b=c时，γmin取得极大值.

结论3对于a、d一定的II型曲柄摇杆机构，｜b-c|越大，则机构的最小传动角γmin越大。

结论1可以从式3。

3﹑式3。

4明显得出

结论2证明如下:

当a﹑d一定时，d+a为定值,由于a+b+c+d=4,故b+c也为定值。

令：

显然有：

（3。

5）

因γmin（0,90°）,所以0〈f1<1，式3.6中只有2bc为变量。

令g=bc,M=b+c，其中M=4－（a+d）为常数。

显然:

当b=c=M／2时，函数g取得极大值；当b或c（a,M/2］时，函数g为单调增函数；当b或c（M/2，4-2a-d）时，函数g为单调减函数。

可见当|b-c｜越小时,bc值越大由式知道f1越小，因余弦函数在（0,90°）为单调递减函数，故γmin就越大。

当b=c=M/2时,f1取得极小值，γmin相应取得极大值，结论2得证。

结论3证明如下：

a、d一定，则a+d为定值，由于a+b+c+d=4，故b+c也为定值。

令:

显然有：

=1－（3。

6）

由式3.8中只有2bc为变量，类似前面分析可得出|b－c|越大，bc值越小,f2就越小，因余弦函数在（0，90°）内为单调递减函数，所以γmin将变大,进而得出结论3.

4曲柄摇杆机构极位夹角分析

4。

1极位夹角与构件尺寸的关系

本节深入分析工程上应用较多的Ⅰ、Ⅱ型曲柄摇杆机构的极位夹角与构件尺寸的内在关系,得出相应的结论。

1．曲柄摇杆机构极位夹角θ大于或等于90°的充要条件

对于图3.7，3.8所示平面曲柄摇杆机构，构件4为机架,四个构件的长度满足杆长之和条件。

以下讨论均假设［24］:

1）曲柄1为主动件作等角速转动，摇杆3为从动件作往复摆动;

2）构件1为严格最短，即b、c，d均大于a；

3）不存在运动不确定位置，即四构件不共线.

图3.7Ⅰ型曲柄摇杆机构图3.8Ⅱ型曲柄摇杆机构

在此假设前提下，有结论1

结论1曲柄摇杆机构极位夹角θ大于90°当且仅当以下两式同时成立

（4。

1）

（4.2）

结论1证明如下：

如图3。

3,3.4所示，记α1=∠C1AD，α2=∠C2AD，其中α1α2∈（0°，180°），根据极位夹角的定义，有θ＝|α1-α2｜,即

（4.3）

式中:

，（4.4）

θ＞90°

再记，则对于α1α2∈（0°，180°）有，，所以式4.3可写为

（4.5）

显然（4。

6）

由上式知，t1﹑t2均不能为零，且必有其一小于零。

由式4.4知

（4。

7）

（4.8）

显然4。

7和4.8不能同时成立，故不存在的情况。

因此有

且（4。

9）

将式4。

6变形为:

，则在满足4。

9的条件下，有

（4。

10）

结合构件尺寸后，等价于

（4。

11）

综合上述分析的，即得结论1：

且

因行程速度变化系数K=（180°+θ）∕（180°－θ）