小学数学奥数方法讲义40讲四.docx

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小学数学奥数方法讲义40讲四

第三十一讲分解质因数法

通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。

分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。

分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。

例1一块正方体木块，体积是1331立方厘米。

这块正方体木块的棱长是多少厘米？

（适于六年级程度）

解：

把1331分解质因数：

1331=11×11×11

答：

这块正方体木块的棱长是11厘米。

例2一个数的平方等于324，求这个数。

（适于六年级程度）

解：

把324分解质因数：

324=2×2×3×3×3×3

=（2×3×3）×（2×3×3）

=18×18

答：

这个数是18。

例3相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。

（适于六年级程度）

解：

把462分解质因数：

462=2×3×7×11

=（3×7）×（2×11）

=21×22

答：

这两个数是21和22。

*例4ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。

求ABC代表什么数？

（适于六年级程度）

解：

因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。

1673=239×7

答：

ABC代表239。

例5一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？

（适于六年级程度）

解：

先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。

2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3

=（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3）

=48×48

正方形的边长是48米。

这块田地的周长是：

48×4=192（米）

答略。

*例6有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。

已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。

求这个幼儿园有多少名小朋友？

（适于六年级程度）

解：

3250-10=3240（个）

把3240分解质因数：

3240=23×34×5

接近40的数有36、37、38、39

这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。

23×34×5÷（22×32）

=2×32×5

=90

答：

这个幼儿园有90名小朋友。

*例7105的约数共有几个？

（适于六年级程度）

解：

求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。

因为，105=3×5×7，

所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个；

含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个；

含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。

所以，105的约数共有4+3+1=8个。

答略。

*例8把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。

这三组数分别是多少？

（适于六年级程度）

解：

将这九个数分别分解质因数：

15=3×5

22=2×11

30=2×3×5

35=5×7

39=3×13

44=2×2×11

52=2×2×13

77=7×11

91=7×13

观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。

由以上观察分析可得这三组数分别是：

15、52和77；

22、30和91；

35、39和44。

答略。

*例9有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。

四个学生的年龄分别是几岁？

（适于六年级程度）

解：

把5040分解质因数：

5040=2×2×2×2×3×3×5×7

由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。

用八个质因数表示四个连续自然数是：

7，2×2×2，3×3，2×5

即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。

答略。

*例10在等式35×（   ）×81×27=7×18×（   ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。

（适于六年级程度）

解：

将已知等式的两边分解质因数，得：

5×37×7×（   ）=22×36×7×（   ）

把上面的等式化简，得：

15×（   ）=4×（   ）

所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。

15×（4）=4×（15）

答略。

*例11把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？

（适于六年级程度）

解：

把84分解质因数：

84=2×2×3×7

除了1和84外，84的约数有：

2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。

下面可根据不同的约数进行分组。

84÷2=42（组），84÷3=28（组），84÷4=21（组），84÷6=14（组），84÷7=12（组），84÷12=7（组），84÷14=6（组），84÷21=4（组），84÷28=3（组），84÷42=2（组）。

因此每组2人分42组；每组3人分28组；每组4人分21组；每组6人分14组；每组7人分12组；每组12人分7组；每组14人分6组；每组21人分4组；每组28人分3组；每组42人分2组。

一共有10种分法。

答略。

*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953这八个数分成两组，每组四个数，要使各组数中四个数的乘积相等。

求这两组数。

（适于六年级程度）

解：

要使两组数的乘积相等，这两组乘积中的每个因数不必相同，但这些因数经分解质因数，它们所含有的质因数一定相同。

因此，首先应把八个数分解质因数。

14=2×7       143=11×13

30=2×3×5   169=13×13

33=3×11      4445=5×7×127

75=3×5×5   4953=3×13×127

在上面的质因式中，质因数2、7、11、127各有2个，质因数3、5、13各有4个。

在把题中的八个数分为两组时，应使每一组中的质因数2、7、11、127各有1个，质因数3、5、13各有2个。

按这个要求每一组四个数的积应是：

2×7×11×127×3×3×5×5×13×13

因为，（2×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根据接下来为“14、75、143、4953”正符合题意，因此，要求的一组数是14、75、143、4953，另一组的四个数是：

30、33、169、4445。

答略。

*例13一个长方形的面积是315平方厘米，长比宽多6厘米。

求这个长方形的长和宽。

（适于五年级程度）

解：

设长方形的宽为x厘米，则长为（x+6）厘米。

根据题意列方程，得：

x（x+6）=315

x（x+6）=3×3×5×7

=（3×5）×（3×7）

x（x+6）=15×21

x（x+6）=15×（15+6）

x=15

x+6=21

答：

这个长方形的长是21厘米，宽是15厘米。

*例14已知三个连续自然数的积为210，求这三个自然数各是多少？

（适于五年级程度）

解：

设这三个连续自然数分别是x-1，x，x+1，根据题意列方程，得：

（x-1）×x×（x+1）

=210

=21×10

=3×7×2×5

=5×6×7

比较方程两边的因数，得：

x=6，x-1=5，x+1=7。

答：

这三个连续自然数分别是5、6、7。

*例15将37分为甲、乙、丙三个数，使甲、乙、丙三个数的乘积为1440，并且甲、乙两数的积比丙数的3倍多12，求甲、乙、丙各是几？

（适于六年级程度）

解：

把1440分解质因数：

1440=12×12×10

=2×2×3×2×2×3×2×5

=（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5）

=8×9×20

如果甲、乙二数分别是8、9，丙数是20，则：

8×9=72，

20×3+12=72

正符合题中条件。

答：

甲、乙、丙三个数分别是8、9、20。

*例16一个星期天的早晨，母亲对孩子们说：

“你们是否发现在你们中间，大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和？

”儿子们齐声回答说：

“是的，我们的年龄和您年龄的乘积，等于您儿子人数的立方乘以1000加上您儿子人数的平方乘以10。

”从这次谈话中，你能否确定母亲在多大时，才生下第二个儿子？

（适于六年级程度）

解：

由题意可知，母亲有三个儿子。

母亲的年龄与三个儿子年龄的乘积等于：

33×1000+32×10=27090

把27090分解质因数：

27090=43×7×5×32×2

根据“大哥的年龄等于两个弟弟年龄之和”，重新组合上面的质因式得：

43×14×9×5

这个质因式中14就是9与5之和。

所以母亲43岁，大儿子14岁，二儿子9岁，小儿子5岁。

43-9=34（岁）

答：

母亲在34岁时生下第二个儿子。

第三十二讲最大公约数法

通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。

例1甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。

每个小组最多有多少名学生？

（适于六年级程度）

解：

要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：

2×3=6

42和48的最大公约数是6。

答：

每个小组最多能有6名学生。

例2有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。

能分割成多少个正方形？

（适于六年级程度）

解：

因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。

求出150和60的最大公约数：

2×3×5=30

150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。

看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。

这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。

所以，这个长方形能分割成正方形：

5×2=10（个）

答：

能分割成10个正方形。

例3有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。

如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。

小木块的棱长是多少？

可以截成多少块这样的小木块？

（适于六年级程度）

解：

3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。

5×5=25

325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。

因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。

可以截成棱长是25厘米的小木块：

3×7×13=273（块）

答：

小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。

例4有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。

现在要把三根长绳截成长度相等的小段。

每段最长是多少米？

一共可以截成多少段？

（适于六年级程度）

解：

此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。

3×5=15

45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。

因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。

所以有：

3+4+5=12（段）

答：

每段最长15米，一共可以截成12段。

例5某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。

要使组数最少，每组应是多少人？

能分成多少组？

（适于六年级程度）

解：

因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：

234-3=231（人）…………………男

146-3=143（人）…………………女

要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。

231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。

因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。

21+13=34（组）

答：

每一组应是11人，能分成34组。

例6把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。

一共要装多少个小盒？

（适于六年级程度）

解：

求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。

要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。

2×3×5=30

330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。

330÷30=11（盒）……………红球装11盒

360÷30=12（盒）……………绿球装12盒

11+12=23（盒）……………共装23盒

答略。

例7一个数除40不足2，除68也不足2。

这个数最大是多少？

（适于六年级程度）

解：

“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：

40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。

看来，能被这个数整除的数是：

40+2=42，68+2=70。

这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。

2×7=14

答：

这个数最大是14。

例8李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。

第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。

每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。

问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？

（适于六年级程度）

解：

三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。

把104、195、234分别分解质因数：

104=23×13

195=3×5×13

234=2×32×13

104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。

1.04÷0.13=8（千克）………第一筐

1.95÷0.13=15（千克）………第二筐

2.34÷0.13=18（千克）………第三筐

8+15+18=41（千克）

答：

第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。

例9一个两位数除472，余数是17。

这个两位数是多少？

（适于六年级程度）

解：

因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。

455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。

答略。

例10把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。

最少要焊多少个点？

（单位：

厘米）（适于六年级程度）

解：

要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。

2×3=6

它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。

焊点数为：

7+4+3+6=20（个）

按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。

20-4=16（个）

答略。

第三十三讲最小公倍数法

通过计算出几个数的最小公倍数，从而解答出问题的解题方法叫做最小公倍数法。

例1用长36厘米，宽24厘米的长方形瓷砖铺一个正方形地面，最少需要多少块瓷砖？

（适于六年级程度）

解：

因为求这个正方形地面所需要的长方形瓷砖最少，所以正方形的边长应是36、24的最小公倍数。

2×2×3×3×2=72

36、24的最小公倍数是72，即正方形的边长是72厘米。

72÷36=2

72÷24=3

2×3=6（块）

答：

最少需要6块瓷砖。

*例2王光用长6厘米、宽4厘米、高3厘米的长方体木块拼最小的正方体模型。

这个正方体模型的体积是多大？

用多少块上面那样的长方体木块？

（适于六年级程度）

解：

此题应先求正方体模型的棱长，这个棱长就是6、4和3的最小公倍数。

2×3×2=12

6、4和3的最小公倍数是12，即正方体模型的棱长是12厘米。

正方体模型的体积为：

12×12×12=1728（立方厘米）

长方体木块的块数是：

1728÷（6×4×3）

=1728÷72

=24（块）

答略。

例3有一个不足50人的班级，每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人。

这个班级有多少人？

（适于六年级程度）

解：

这个班的学生每12人分为一组余1人，每16人分为一组也余1人，这说明这个班的人数比12与16的公倍数（50以内）多1人。

所以先求12与16的最小公倍数。

2×2×3×4=48

12与16的最小公倍数是48。

48+1=49（人）

49<50，正好符合题中全班不足50人的要求。

答：

这个班有49人。

例4某公共汽车站有三条线路通往不同的地方。

第一条线路每隔8分钟发一次车；第二条线路每隔10分钟发一次车；第三条线路每隔12分钟发一次车。

三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车？

（适于六年级程度）

解：

求三条线路的汽车在同一时间发车以后，至少再经过多少分钟又在同一时间发车，就是要求出三条线路汽车发车时间间隔的最小公倍数，即8、10、12的最小公倍数。

2×2×2×5×3=120

答：

至少经过120分钟又在同一时间发车。

例5有一筐鸡蛋，4个4个地数余2个，5个5个地数余3个，6个6个地数余4个。

这筐鸡蛋最少有多少个？

（适于六年级程度）

解：

从题中的已知条件可以看出.不论是4个4个地数，还是5个5个地数、6个6个地数，筐中的鸡蛋数都是只差2个就正好是能被4、5、6整除的数。

因为要求这筐鸡蛋最少是多少个，所以求出4、5、6的最小公倍数后再减去2，就得到鸡蛋的个数。

2×2×5×3=60

4、5、6的最小公倍数是60。

60-2=58（个）

答：

这筐鸡蛋最少有58个。

*例6文化路小学举行了一次智力竞赛。

参加竞赛的人中，平均每15人有3个人得一等奖，每8人有2个人得二等奖，每12人有4个人得三等奖。

参加这次竞赛的共有94人得奖。

求有多少人参加了这次竞赛？

得一、二、三等奖的各有多少人？

（适于六年级程度）

解：

15、8和12的最小公倍数是120，参加这次竞赛的人数是120人。

得一等奖的人数是：

3×（120÷15）=24（人）

得二等奖的人数是：

2×（120÷8）=30（人）

得三等奖的人数是：

4×（120÷12）=40（人）

答略。

*例7有一个电子钟，每到整点响一次铃，每走9分钟亮一次灯。

中午12点整时，电子钟既响铃又亮灯。

求下一次既响铃又亮灯是几点钟？

（适于六年级程度）

解：

每到整点响一次铃，就是每到60分钟响一次铃。

求间隔多长时间后，电子钟既响铃又亮灯，就是求60与9的最小公倍数。

60与9的最小公倍数是180。

180÷60=3（小时）

由于是中午12点时既响铃又亮灯，所以下一次既响铃又亮灯是下午3点钟。

答略。

*例8一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。

后来改为每隔6米栽一棵树。

求重新挖树坑时可以少挖几个？

（适于六年级程度）

解：

这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：

96÷4+1=25（个）

后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。

由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。

96÷12+1=9（个）

96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。

答略。

例9一项工程，甲队单独做需要18天，乙队单独做需要24天。

两队合作8天后，余下的工程由甲队单独做，甲队还要做几天？

（适于六年级程度）

解：

由18、24的最小公倍数是72，可把全工程分为72等份。

72÷18=4（份）…………是甲一天做的份数

72÷24=3（份）…………是乙一天做的份数

（4+3）×8=56份）………两队8天合作的份数

72-56=16（份）…………余下工程的份数

16÷4=4（天）……………甲还要做的天数

答略。

*例10甲、乙两个码头之间的水路长234千米，某船从甲码头到乙码头需要9小时，从乙码头返回甲码头需要13小时。

求此船在静水中的速度？

（适于高年级程度）

解：

9、13的最小公倍数是117，可以把两码头之间的水路234千米分成117等份。

每一份是：

234÷117=2（千米）

静水中船的速度占总份数的：

（13+9）÷2=11（份）

船在静水中每小时行：

2×11=22（千米）

答略。

*例11王勇从山脚下登上山顶，再按原路返回。

他上山的速度为每小时3千米，下山的速度为每小时5千米。

他上、下山的平均速度是每小时多少千米？

（适于六年级程度）

解：

设山脚到山顶的距离为3与5的最小公倍数。

3×5=15（千米）

上山用：

15÷3=5（小时）

下山用：

15÷5=3（小时）

总距离÷总时间=平均速度

（15×2）÷（5+3）=3.75（千米）

答：

他上、下山的平均速度是每小时3.75千米。

*例12某工厂生产一种零件，要经过三道工序。

第一道工序每个工人每小时做50个；第二道工序每个工人每小时做30个；第三道工序每个工人每小时做25个。

在要求均衡生产的条件下，这三道工序至少各应分配多少名工人？

（适于六年级程度）

解：

50、30、25三个数的最小公倍数是150。

第一道工序至少应分配：

150÷50=3（人）

第二道工序至少应分配：

150÷30=5（人）

第三道工序至少应分配：

150÷25=6（人）

答略。

第三十四讲解平均数问题的方法

已知几个不相等的数及它们的份数，求总平均值的问题，叫做平均数问题。

解答平均数问题时，要先求出总数量和总份数。

总数量是几个数的和，总份数是这几个数的份数的和。

解答这类问题的公式是；

总数量÷总份数=平均数

例1气象小组在一天的2点、8点、14点、20点测得某地的温度分别是13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度。

算出这一天的平均温度。

（适于四年级程度）

解：

本题可运用求平均数的解题规律“总数量÷总份数=平均数”进行计算。

这里的总数量是指测得的四个温度的和，即13摄氏度、16摄氏度、25摄氏度、18摄氏度的和；这里的总份数是指测量气温的次数，一天测量四次气温，所以总份数为4。

（13+16+25+18）÷4

=72÷4

=18（摄氏度）

答：

这一天的平均气温为18摄氏度。

例2王师傅加工一批零件，前3天加工了148个，后4天加工了167个。

王师傅平均每天加工多少个零件？

（适于四年级程度）

解：

此题的总数量是指前3天和后4天