中考数学一轮专题复习 等腰三角形综合运用 单元检测含答案.docx

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中考数学一轮专题复习等腰三角形综合运用单元检测含答案

等腰三角形综合运用单元检测

一、单选题

1.如图，坐标平面内一点A（2，﹣1），O为原点，P是x轴上的一个动点

，如果以点P、O、A为顶点的三角形是等腰三角形，那么符合条件的动点P的个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

2.已知等腰三角形的一个外角是120°,则它是（）

A.等腰直角三角形B.一般的等腰三角形

C.等边三角形D.等腰钝角三角形

3.

如图，△ABC的面积等于6，边AC=3.现将△ABC沿AB所在直线翻折，使点C落在直线AD上的C’处。

点P在直线AD上，则线段BP的长不可能是（）

A.3B.4C.5D.6

4.

7．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC分为三个三角形，则S△ABO︰S△BCO︰S△CAO等于（）

A．1︰1︰1B．1︰2︰3

C．2︰3︰4D．3︰4︰5

5.若实数m、n满足等式

，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（　　）

A．12B．10C．8D．6

6.

如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB＝6㎝，则△DEB的周长为（　　）

A.4㎝　　B.6㎝　　C.10㎝　　D.不能确定

7.如图，等边三角形ABC边长是定值，点O是它的外心，过点O任意作一条直线分别交AB，BC于点D，E．将△BDE沿直线DE折叠，得到

，若

，

分别交AC于点F，G，连接OF，OG，则下列判断错误的是（　　）

A．△ADF≌△CGE

B．△B’FG的周长是一个定值

C．四边形FOEC的面积是一个定值

D．四边形OGB'F的面积是一个定值

8.

如图，在□ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E。

若BF=6，AB=5，则AE的长为（）

A.4B.6C.8D.40

9.已知等腰三角形一边长为4，另一边长为8，刚这个等腰三角形的周长为（）

A.16B.20或16C.20D.12

10.已知一个等腰三角形的顶角为30°，则它的一个底角等于（）

A．30°　　　B．75°C．150°　　　D．125°

二、填空题（共有7道小题）

11.

如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，且BD＝AE，AD与CE交于点F.则∠DFC＝________°.

12.

如图，等腰△ABC的底角为72°，腰AB的垂直平分线交另一腰AC于点E，垂足为D，连接BE，则∠EBC的度数为

13.

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于点E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是_________．

14.

如图，△ABD与△AEC都是等边三角形．DC与BE交于点O。

下列结论中，正确的是　_________　．

①BE=CD；②∠BOD=60°；③∠BDO=∠CEO．

15.

通过学习我们已经知道三角形的三条内角平分线是交于一点的．如图，P是△ABC的内角平分线的交点，已知P点到AB边的距离为1，△ABC的周长为10，则△ABC的面积为　　．

16.在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则△ABC是　_________　三角形．　

17.在△ABC中，AB＝BC，∠B＝∠C，则∠A的度数是________．

三、解答题（共有7道小题）

18.

如图，在等边△ABC的边BC上任取一点D，作∠ADE＝60°，DE交∠C的外角平分线于E，证明△ADE是等边三角形。

19.

如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），当t＝2s时，判断△BPQ的形状，并说明理由.

20.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，D是BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F。

求证：

∠B=∠C

21.

如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB＝AC，BD＝CE.求证：

AD＝AE.

22.如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，

（1）请判断BD和AE的关系，并证明。

（2）如果点D在△ABC的内部，上述关系还成立吗？

请证明。

23.如图，等边△ABC中，D是AB边上的动点，以CD为一边，向上作等边△EDC，连接AE.

（1）△DBC和△EAC会全等吗？

请说说你的理由；

（2）试说明AE∥BC的理由；

（3）如图，当图中动点D运动到边BA的延长线上时，所作仍为等边三角形，请问是否仍有AE∥BC？

证明你的猜想．

24.已知：

如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN

都是等边三角形，AN交MC于点E，BM交CN于点F．

（1）求证：

AN=BM；

（2）证明△CEF是等边三角形

（3）如果点C不在线段AB上，请直接判断△CEF的形状，不用证明。

参考答案

一、单选题（共有10道小题）

1.C

2.C

3.A

4.C

5.解：

∵|m－2|＋

＝0，

∴m－2＝0，n－4＝0，

解得m＝2，n＝4，

当m＝2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；

当n＝4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：

2＋4＋4＝10．

故选：

B．

6.B

7.解：

A、连接OA、OC，

∵点O是等边三角形ABC的外心，

∴AO平分∠BAC，

∴点O到AB、AC的距离相等，

由折叠得：

DO平分∠BDB'，

∴点O到AB、DB'的距离相等，

∴点O到DB'、AC的距离相等，

∴FO平分∠DFG，

∠DFO＝∠OFG＝

（∠FAD＋∠ADF），

由折叠得：

∠BDE＝∠ODF＝

（∠DAF＋∠AFD），

∴∠OFD＋∠ODF＝

（∠FAD＋∠ADF＋∠DAF＋∠AFD）＝120°，

∴∠DOF＝60°，

同理可得∠EOG＝60°，

∴∠FOG＝60°＝∠DOF＝∠EOG，

∴△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴OD＝OG，OE＝OF，

∠OGF＝∠ODF＝∠ODB，∠OFG＝∠OEG＝∠OEB，

∴△OAD≌△OCG，△OAF≌△OCE，

∴AD＝CG，AF＝CE，

∴△ADF≌△CGE，

故选项A正确；

B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，

∴DF＝GF＝GE，

∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，

∴B'G＝AD，

∴△B'FG的周长＝FG＋B'F＋B'G＝FG＋AF＋CG＝AC（定值），

故选项B正确；

C、S四边形FOEC＝S△OCF＋S△OCE＝S△OCF＋S△OAF＝S△AOC＝

（定值），

故选项C正确；

D、S四边形OGB'F＝S△OFG＋S△B'GF＝S△OFD＋△ADF＝S四边形OFAD＝S△OAD＋S△OAF＝S△OCG＋S△OAF＝S△OAC－S△OFG，

过O作OH⊥AC于H，

∴S△OFG＝

•FG•OH，

由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，

故选项D不一定正确；

故选：

D．

8.C

9.C.

10.B

二、填空题（共有7道小题）

11.60

12.36°

13.2

14.①②

15.5

16.等边

17.60°

三、解答题（共有7道小题）

18.解：

过D作AC的平行线交AB于P

∴△BDP为等边三角形，BD=BP，

∴AP=CD，

∵∠BPD为△ADP的外角，

∴∠ADP+∠DAP=∠BPD=60°

而∠ADP+∠EDC=180°-∠BDP-∠ADE=60°

∴∠ADP+∠DAP=∠ADP+∠EDC=60°

∴∠DAP=∠EDC，

在△ADP和△DEC中，

∴△ADP≌△DEC（ASA），

∴AD=DE

∵∠ADE=60°

∴△ADE是等边三角形．

19.解：

△BPQ是等边三角形．理由如下：

当t＝2s时，AP＝2×1＝2（cm），BQ＝2×2＝4（cm）．

∴BP＝AB－AP＝6－2＝4（cm）．

∴BQ＝BP.又∵∠B＝60°，

∴△BPQ是等边三角形．

20.证明：

∵

∴DE=DF

在Rt△BDE和Rt△CDF中

∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）

∴∠B=∠C

21.证明：

过点A作AF⊥BC于点F.又∵AB＝AC，

∴BF＝CF.

∵BD＝CE，

∴DF＝EF.

∴AD＝AE.

也可以用等边对等角+SAS来证明

22.解：

BD=AE，理由如下：

∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形

∴AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=90°

∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD

即∠BCD=∠ACE

在△BCD和△ACE中

∴△BCD≌△ACE（SAS）

∴BD=AE

（2）类比可证

23.证明：

（1）△DBC和△EAC全等．理由：

∵∠ACB＝60°，∠DCE＝60°，

∴∠BCD＝60°－∠ACD，∠ACE＝60°－∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE.

在△DBC和△EAC中，

，

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

（2）∵△DBC≌△EAC，

∴∠EAC＝∠B＝60°.

又∵∠ACB＝60°，

∴∠EAC＝∠ACB.

∴AE∥BC.

（3）结论：

AE∥BC.理由：

∵△ABC、△EDC为等边三角形，

∴BC＝AC，DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60.

∴∠BCA＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，

即∠BCD＝∠ACE.

在△DBC和△EAC中，

，

∴△DBC≌△EAC（SAS）．

∴∠EAC＝∠B＝60°.

又∵∠ACB＝60°，

∴∠EAC＝∠ACB.

∴AE∥BC.

24.证明

（1）:

∵△ACM，△CBN是等边三角形

∴AC="MC,BC=NC,"∠ACM="60°,∠NCB=60°

在△CAN和△MCB中

∴△CAN≌△MCB（SAS）

∴AN="BM

（2）∵△CAN≌△MCB

∴∠CAN=∠MCB

又∵∠MCF=180°-∠ACM-∠NCB="180°-60°-60°=60°

∴∠MCF=∠ACE

在△CAE和△CMF中

∴△CAE≌△CMF（ASA）

∴CE=CF

∴△CEF为等腰三角形,

又∵∠ECF=60°

∴△CEF为等边三角形.

（3）等腰三角形，证明略，类比证明。