外文翻译鲁棒优化设计的多目标遗传算法.docx
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外文翻译鲁棒优化设计的多目标遗传算法
中文译文：
鲁棒优化设计的多目标遗传算法
摘要：
现实世界中的多目标工程的优化设计问题往往存在着不可控制的参数变化。
解决这些问题的目的是为了获得良好的解决方案,并就目的和可行性而言，这些解决方案应该尽量的好，与此同时对于参数的变化是不敏感的。
这样的解决方法可以被称为鲁棒最优解决方案。
为了调查研究最优方案的性能和鲁棒性之间的权衡关系，我们提出了一个新的健全的多目标的遗传算法来优化两个目标：
一个是适应度值，另外一个是鲁棒性指数，在多目标和原始优化问题的可行性方面，适应度值是一种评定设计的解决方案性能的数值，而鲁棒性指数，基于非梯度为基础的参数灵敏度估计的方法，是一种在数量上评估设计方案鲁棒性的措施。
这种多目标的遗传算法并不需要一个假设的无法控制的参数概率分布，也不利用这些参数的梯度信息，三个距离度量可用于获得系统的鲁棒性指标和有效的解决办法。
为了能够更好的说明它的应用，多目标遗传算法可以应用于来自文献中的两个研究深入的工程设计的问题。
类别和学科的描述：
G.1.6优化非线性程序
关键词：
多目标遗传算法，鲁棒性设计优化，鲁棒性和性能的权衡
一.引言
在现实世界中，有许多的工程优化的问题，由于其他不确定性，使得这些问题的参数有着无法控制的变化，这些变化可以显著的降低这优化的方案的性能，甚至还能改变所获得方案的可行性，这些变化的意义在工程设计问题上尤为重要，这往往在有界可行域或者在最优解的边界所处的可行的领域范围内。
在文献中已经有很多的方法和方案来获得稳健的设计解决方法，这就是说，这些可行的设计方案在他们的目标中很适应，并且这些方案的客观的表现或者可行性（或者两者）对于参数的变化不敏感，一般而言，这些方法可以被分为两类：
随机的方法和确定性的方法，随机的方法使用变量参数的概率信息，例如，他们的期望值和方差,以最大限度降低解决方案的灵敏度。
（如帕金森疾病学组，可进行可行性鲁棒性优化——也称为可靠性优化。
同时，金和森得霍夫提出了一个进化性的的方案来处理在使用偏差信息时的性能和鲁棒性的权衡问题。
随机方法的主要缺点是对于无法控制的参数的概率分布是已知的或者是假设的，但是在现实的工程设计的问题中，事先获得这样的信息是很困难（甚至是不可能的事情）。
另一方面，确定性方法使用参数的梯度信息获得了鲁棒性的最佳的设计方案，Gunawan和Azarm的方法的目的在于获得最佳的解决方案来满足额外的鲁棒性规定的约束，这往往由决策者规定的。
在这论文中，我们提出了一个新的确定性的方法来调查研究最佳解决方法的性能和鲁棒性的权衡关系，是基于多目标的遗传算法。
我们追求的目标是同时优化：
1）最佳解决方法的性能的度量，比如，适应度的价值，这解释了原来的优化问题的目标函数和约束的价值。
2）最佳解决方法的鲁棒性的度量，鲁棒性指数，最初是由Gunawan和Azarm提出来的，它的推广使用是通过使用两种额外的距离规范。
这种确定性的方法是用非梯度基础来对参数敏感度进行估计，对于参数，这可以应用于无法分辨的目标函数或者约束函数的优化问题，任何的多目标遗传算法都可以在文献中应用到这种方法。
在Gunawan和Azarm的方法中，作者试图获得对参数变化不敏感最佳解决方案,换言之，鲁棒性的要求在他们的方法中被认为是一种约束，相反，我们把鲁棒性视为我们的目标之一，并且形成了一个新的双目标的鲁棒性优化问题（这个问题不管这个原始的问题有多少目的），来调查研究解决方案的鲁棒性和性能的关系，这个稳健的多目标遗传算法旨在同时最大化的提高性能和鲁棒性，本论文的其他的组织文本如下：
在第二部分，我们将展示最初的优化问题并且解释一些定义和专业术语，基于对于目标和可行性的描述，我们将在第三节展示出我们的新方法，在第四节我们将展示解决两个测试问题的应用，随后将讨论其结果，本文将以对于第五节的总结来结束。
二.问题的定义
在这部分中，我们将正式的定义问题并且在这篇论文中解释一些文中有使用的定义和专有名词。
多目标问题的一般的公式如下所示：
f是目标函数（它的下标表示变形的行向量），∆p是无法控制的参数矢量，要注意的是，本身具有无法控制的设计变量可以包括在x和∆p中，大写和小写的x分别是x的上界限和下界限，这个问题有j的不平等约束，我们认为所有的约束可以代表不平等的函数，在这论文中，我们把1中所示的优化问题叫做原始问题。
在M的目标中存在着权衡和折中，通常这个原始的问题有更多的最优解决方案，这些最优的解决方案组成起来叫做∆Pareto组，在Miettnen和Deb中都有讨论到。
在下面，我们将简单的描述在论文中所遇到的专业词汇。
标称参数数值
是参数向量值，∆p用来优化1中的问题，参数变量记作∆p。
标称的∆pareto解决方案是当∆p=∆p0时候，1中涉及到的优化问题的∆pareto解决方案。
让x0成为我们鲁棒性中想要分析的设计解决方案，f=fm=fl是对于目标函数的标称数值，并且g=gl=gx是对于约束函数来说的标称数值。
容忍区域是在∆p空间中的超矩形区域，通过一组∆p值来得出的，这是关于决策者所想要的鲁棒最优方案不要太敏感的程度，并且有一系列∆p的数值来形成∆p空间，这个区域通常被∆p的最大值和∆p的最小值所限制着，这个关系式中，
分别是∆p的最大上限和最小下限，简单点说，这个容忍区域是被认为是对称的，因为这可以有多于一个的无法控制的参数，并且这些参数有着不同的区间值，我们通常校正我们的公差区域来形成一个超正方形。
参数变化空间：
一个G维的空间，在这个空间的轴是参数的变化∆p的数值。
可以接受的性能变化区域APVR是在点x0，∆p0的周围的目标函数中形成的，这代表着最大的可接受的性能变化，并被DM所选择，看图表一的具体表示。
合适度数值fv是一种结合目标函数和约束函数的程度上，度量解决方法性能的数值，这个合适度数值从多目标遗传算法中获得，比如NSGA可以在我们的方法中作为适应度数值老用。
鲁棒性数值是计算关于∆p在半径的外部超球状的规范的公差区域的一个在最差敏感区域的半径，在我们的方法中，这被用来作为我们鲁棒性的测量方法，我们将在第三部分进一步的讨论它。
三.鲁棒性的多目标遗传算法
首先我们讨论了多目标的优化的方法，随后我们讨论了关于优化的可行性方面和两者相结合的方法。
考虑到可接受的性能变化区域（A∆PVR）的解决方法x0，这有一套的在目标函数中的诸如∆p的变化量，因为∆p仍然在f的范围之内，一套的∆p在∆p的空间内形成了一个超区域，叫做敏感性区域（SR），这个区域的范围如下可见：
图表一所示的是APVR和他关于解决方法x0的两参数和双目标的环境中的相对应的敏感性区域，图上可见，这APVR的内部的点，外部的点和在边界上的点分别的对应着SR的内部的，外部的，和边界上的点。
实质上，SR所代表的是在它违反APRV之前的解决方案x0所能吸收的可变参数的数量，我们可以使用SR的大小作为设计敏感性的措施，SR所能设计的越大，这个设计的鲁棒性越好，但是在一般情况下，SR的外形可以是不对称的，这就是意味着设计在∆p的方向上是可以敏感的，（正如在图一的b中的β的方向），但是在其他的方向（比如图一的b的α方向）是相对不敏感的，为了克服不对称的问题，一个不太好敏感性的区域可以被用来估计SR的设计，这敏感度不太好的区域是对称的超球形的接近SR的，在图上，这个区域是可以最近的接触原始SR的最小的超球形区域，正如在图标2所示，是一个双参数的例子。
因为WCSR是对称的，那么它的半径R而不是它的大小可以被用来作为衡量其鲁棒性的措施，它用来衡量设计的整体的鲁棒性，这个区域的半径可以通过解决单目标的优化问题来计算，如下面所示：
在这个问题上，设计的变量是∆p，目标函数是这个区域的半径，同等的约束函数是相应所产生的矢量∆f，它处在可接受性能变量的区域的边界上，这个区域评估方法的具体的讨论已经在其他地方给出了。
一个类似的方法可以用在可行性的鲁棒性优化上，对于设计x0来说，所有的∆p点形成了可行性敏感区域，这些点所对应的约束函数值是g。
这就意味着这个可行性敏感区域内的∆p将不会改变x0的设计可行性。
可行性的WCSR是FSR的最差的估计，R是名义的FWCSR的半径，R可以通过下面的式子计算出来：
因为SR和FSR在相同的∆p空间里面被定义并且有着相同的范围，R表示我们正在寻找对于解决设计方法的SR和FSR的最差情况下的估计的半径，正如表2所示的
半径R可以通过下面所示的优化问题来计算，可见下面：
比如，在图2所示的例子中，
3.2鲁棒性指数
半径R代表着在序数的范围内解决方案的鲁棒性，但是不表示一个于设计解决方法有关的物理结构，对于DM来说，进行性能和鲁棒性的权衡分析师很困难的，比如，如果R，那么一个人不会决定是否一个设计方案是稳健还是不稳健，为了解决这个困难，我们使用规范的公差区域的外部的球星空间的半径，R，正如参照鲁棒性要求。
我们定义鲁棒性指数为η=R/RE,并且使用这个鲁棒性指数最为在我们多目标遗传算法中的两个目标中的一个，R是一个在5中计算的优化方法，因为R是规范的公差区域的外部圆的半径，如果η=R/RE≧1，那么这个设计的x0是稳健的。
3.3适应度的值
记得我们在本篇论文的目标是最大限度地提高设计的性能和鲁棒性。
系统的鲁棒性指数作为一种鲁棒性设计解决方案的一种措施。
因此我们还需要对于设计解决方案的整体性能有另一个措施。
在多目标的优化问题中，多目标遗传算法是获得Pareto最优解决方法的一个很好的工具，大多数的多目标遗传算法把一个适应度的值或者等级分配给在整体中的每一个可供选择的解决方法，以表示一种相对好的东西，解释了目标值和约束函数，所以适应度值可以从多目标遗传算法中获得，比如来自NSGA中的等级数值，可以在我们的方法中被用来作为性能的衡量措施，适应度的值越小，解决方法的性能越好，更多关于如何获得适应度的数值的细节问题可以参见23.
注意到不同的多目标遗传算法的方法可以产生不同的解决方案，但是，这儿我们的目标并不是阐述一个新的遗传算法或者区分多目标遗传算法中的不同之处。
3.4RMOA的方法
考虑到对于一个设计解决方案性能和鲁棒性的两个措施，正如我们之前所讨论的，我们可以阐述我们的问题，它有两个目标，一个是性能，一个是设计解决方法的鲁棒性，对于稳健的多目标的优化的问题的公式如下所示：
这里的适应度数值f是目标函数和约束函数的一个函数，这可以在1中被计算出来的，鲁棒性η可以从5中计算出来。
在图4中，一个优化的方案，和一个内外的结构，可以被用来解决6中的问题，外部的子问题可以同时的把适应性的数值f降到最低，还可以把鲁棒性指数变到最大，我们使用内部的子问题来计算关于∆p的半径R的值。
我们以叫做x0的x的数值开始，在外部的子问题上，并且把它送到内部的子问题中，这个标称数值在内部的子问题中是确定的，然后我们优化半径R作为标称设计x0中∆p的一个函数，这个最优的数值R被送回到了外部的子问题中，在上面的思想中，对于所有的设计变量这将反复的进行。
我们现在讨论了应用在鲁棒的多目标遗传算法中的适应性分配的步骤，简单点说，多目标遗传算法的细节并没有在这里讨论，而关注的重点却在鲁棒的多目标遗传算法上了，遗传算法要求对于所有的候选的解决方法有一个梯度的适应性的数值，在适应性分配步骤上主要的步骤如下：
步骤一，评估原始entire的目标函数和约束函数。
步骤二，计算每一个候选问题的鲁棒性指数η。
步骤三，基于原问题的目标之进行非占优排序，考虑到它的等级和约束的违反程度把适应性f分配给候选的解决方法。
步骤四，基于鲁棒性指数η和适应性数值f作为目标函数，进行非占优排序选择，在本质上，这就是双目标的非占优排序的分类。
步骤五，基于来自步骤四的非受控性等级，分配一个适应性数值，并且继续的强调遗传算法直到达成一致。
3.5距离标准
在5中，我们可以使用三个不同的q的数值，q可以是1,2或者无穷大，不同的L范数将会影响在设计解决方案中的鲁棒性指数的数值，正如在5中所示的那样，A,B,C三点到最初的点的距离相当于在L1L2的标准中半径大小，鲁棒性的措施可以在某一个特定的距离标准中表示清楚。
4.测试结果
在这部分，我们将要阐述对于两个测试问题在我们提出的解决方案中的应用。
4.1测试问题一
4.11问题描述
我们使用来描述RMOGA的第一个测试问题是一个很流行的测试问题，来自工程设计优化文献中。
这个问题在于设计一个双条的构架，可以用来在节点C处带动一个垂直重达100kn的东西，这个构架在图中所示由两个节点所组成，这个目标函数就是最小的降低两个连接的体积，并且最小的降低他们当中的应力，这个变量时跨区域的链接，这个约束函数是，最大的应力是100000kn/mm，对于y来说的范围是1.0到3.0，这个问题的公式就是下面所示的：
4.1.2鲁棒的多目标遗传的解决方案
在设计的变化量中的已知的变量以这样的形式来设定，∆x1=∆x2=0.0001并且∆y=0.05，这可接受的性能变化量∆f01和∆f02这两个以0.75来设定的。
图7所示的是pareto最优解决方案和所有其他的通过解决问题获得的方案，可以看出适应度值的所有解决方案都有最好的解适应度值，比如它有一个鲁棒指数η大于1的数，在另一方面我们可以看到一个有较小适应度数值的解决方案，决策者有可能不会选着来自pareto最优解决方案，因为这些解决方案可能是更加的有鲁棒性而不是必要性。
图8通过比较6中所示的和对于目标函数来说的定位的多目标遗传算法获得的pareto最优解决方案，并且这些解决方案可以通过传统的遗传算法获得，但是这些遗传算法并不考虑鲁棒性，我们观察到通过RMOGA获得的pareto最优解决方案与最初的相差甚远，正如预料的那样，这倒是我们得出结论，通过多目标遗传算法得来的名义pareto方案并不是那么的有鲁棒性。
图9比较了鲁棒性指数和使用不同的距离矩阵获得的f值，正如9所示的，在关于鲁棒性指数的解决方案中存在着一些的重复。
图10比较了名义的pareto最优解决方案和通过使用L1标准距离矩阵的RMOGA所获得的所有的鲁棒性的设计，大多数的鲁棒性设计和最初的解决方案差之甚远，这些原始的解决方案属于名义的pareto，它的前面并不是最有鲁棒性的，最后注意到，并没有鲁棒性的解决方案可以获得的。
从对于这个例子的模拟结果来看，我们可以得出结论的是计算出来的鲁棒性指数在很多程度上取决于所用的距离矩阵，这也在说明，使用RMOGA获得的设计解决方案的鲁棒性在很大程度上取决于所用来计算鲁棒性指数的距离矩阵的种类。
5.结论
本篇论文展示了确定性的鲁棒性多目标遗传算法，这多目标的遗传算法提供了一套的解决方案，这些方案对于性能和鲁棒性来说是pareto最优解，适应度数值解释了原始问题的目标函数和约束函数的问题，这鲁棒性指数也解释了在目标函数和约束函数中的变量，这展示了在性能和设计解决方案中的折中，多目标遗传算法使用了一个内外的优化结构来解决了整个问题，并且内外的优化的子问题可以使用双重的遗传算法来得以解决，任何多目标遗传算法可以使用我们这个方法，这个方法并不要求一个假象的无法控制的参数的概率分布，也不需要使用这些参数的梯度信息，这三个不同的欧几里得的距离矩阵在连接多目标遗传算法中可以被使用来计算鲁棒性指数。
这个方法应用到两个工程测试的问题上，鲁棒性的多目标遗传算法的结果与名义的pareto解决方法进行了比较，通过多目标遗传算法的鲁棒性设计解决方案在很大程度上在性能上比标称的pareto方案要差点，但是同时，它们两个对于在设计参数的变化方面是不敏感的，在两个测试问题中，可以发现，关于目标函数和约束函数的性能，最好的设计解决方案并不是最具有鲁棒性的，鲁棒性的多目标遗传算法可以用来弱化设计方案和鲁棒性性能的权衡的问题，因此可以在选择具有鲁棒性的最好的解决方案中帮助DM，基于模拟的结果，我们可以得出结论，设计的鲁棒性在很大程度上取决于所用来计算鲁棒性指数的距离矩阵的类别。
6.鸣谢
这篇论文所展示的内容一部分上得到了印第安头领师的帮助，美国海军研究办公室给与了这个组织资金上的帮助，这个工作部分上也得到了美国科学基金会的帮助和支持，在本文所表达的关于基金会方面，他们的支持并不能完全的体现来自他们的帮助和支持。
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