最新《数学建模入门》练习题北京石油化工学院.docx
《最新《数学建模入门》练习题北京石油化工学院.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《最新《数学建模入门》练习题北京石油化工学院.docx（22页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
最新《数学建模入门》练习题北京石油化工学院
《数学建模入门》练习题
练习题1：
发现新大陆！
发现新大陆！
人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。
为什么哥伦布能做到呢？
（参考答案：
有兴趣、能想到、去做了、坚持到底。
）
答：
哥伦布对待有想别人所不敢想，做别人所不敢做的这种能力。
练习题2：
棋盘问题
有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。
问能否用这些骨牌盖住这62个方格？
答：
不能。
对剪掉对角格以后的棋盘进行黑白涂色（相邻的涂不同的颜色,就好像国际象棋棋盘一样）.这样,由于剪掉的两格恰好是同色的（你可以自己验证下）,因此剩下的黑格和白格不等,但是每个骨牌必然同时覆盖一黑一白两个格子（相邻的嘛...）,因此无法完全覆盖
练习题3：
硬币游戏
如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。
最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。
为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？
答：
首先将硬币放在长方形桌子的中心，然后根据对手所放的硬币，找一桌子中心为对称中心的位置，直至对方没有地方放硬币为止，由长方形的对称性，只有中心不存在对称位置，故先放者必定会赢。
练习题4：
高速问题
一个人从A地出发，以每小时30公里的速度到达B地，问他从B地回到A地的速度要达到多少？
才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？
答：
模型假设：
设AB相距S，B到A的速度为v，往返平均速度为v’
模型建立：
A到B的时间为t1=s/30,B到A的时间为t2=s/v往返总时间为t1+t2=s/30+s/v平均速度为v’=2s/t1+t2=2s/（s/30+s/v）
模型求解：
令v’=60,分析得，只有v趋于无穷大时，才能使v’的极限值等于60
练习题5：
登山问题
某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。
问：
是否能找到一个地点来回时刻是相同的？
答：
假如我们换一种想法，把第二天的返回改成另一个人在同一时间由山顶开始下山，并且也在下午五点到达山下，这样，只要两人在途中相遇，该地点就是上山下山来回时刻相同的地点。
练习题6：
兄弟三人戴帽子问题
解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。
县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。
题目如下：
兄弟三人站成一路纵队（老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面），并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。
此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。
只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。
现在开始！
（县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？
你能回答吗？
）
答：
（1）7种。
（2）首先肯定是老大猜，因为他能看到老二老三的帽子颜色，如果老二老三帽子都是黑的，那么老大马上就能判断自己帽子是红的，这就是1红2黑的3种中的一种情况。
共1种，这种情况最简单。
但是万一老大猜不出来呢？
那就是老二老三帽子要么1黑1红，要么2红，这个时候，该让老二猜了，如果老二看到老三的帽子是黑的，他马上就可以猜到自己帽子是红的。
（因为老大不能猜出来，则肯定老二老三的帽子1红1黑或2红）如果让老二猜，并且猜出来，这是较难的戴帽方法，包括2红1黑3种中的一种，1红2黑3种中的一种。
共2种，这2种较难。
但是万一老二也猜不出来呢？
那就是老三的帽子是红的，老二不能猜出来，老三要经过老大老二都不能猜出来分析来判断自己的帽子是红的。
包括3红情况下的1种，2红1黑3种情况下中的2种，1红2黑3种情况中的一种，共4种。
这4种是最难的。
练习题7：
做出空间图形
做出由曲面
与
相交的空间曲线和所围成的立体的图形。
练习题8：
之事，知多少？
关于圆周率
的事，你们知道多少？
答：
实际上π=C/2R，式中圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长Pn来近似代替的，当圆内接正n边行的边数不断地成倍增大时，它的周长Pn就不断地增大，并且越来越接近圆的周长C，于是Pn/2R的值就越来越接近C/2R的值。
练习题9：
身高和年龄的关系
你不认为“身高和年龄之间有关系吗？
”
请你们三个人分别按照每人从出生到现在每年的身高和对应的年龄记录下来（在你本人的宝宝成长纪念册中），制成表（注明：
男生、女生，籍贯），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。
答：
年龄
身高（赵天乐）
身高（陈广芮）
身高（王静）
1
70
75
73
2
82
83
84
3
93
92
93
4
97
95
96
5
100
99
99
6
108
105
101
7
116
112
105
8
120
119
109
9
134
129
118
10
138
135
123
11
141
139
134
12
145
144
139
13
148
146
142
14
153
151
147
15
157
156
152
16
158
158
154
17
159
159
155
18
160
160
156
19
162
161
157
20
164
163
158
籍贯
黑龙江
北京
江苏
由图意得y=35.377ln（x）+67.59
练习题10：
过三峡大坝
请你说明船舶是如何从上游通过长江三峡大坝去下游的，又是如何从下游通过长江三峡大坝去上游的。
换句话说，船舶是如何通过长江三峡大坝的。
答：
上下游各有一个闸门，中间形成一个闭合河道AB上游到下游，打开上游的闸门，使得AB段与上游的水位一样，船舶驶入，后关上上游闸门，打开下游闸门，使得AB段与下游水位一样，驶出，进入下游。
下游到上游，关闭闸门顺序相反。
练习题11：
你如何解释？
首都博物馆里有一个展品是一个出土的石盒子容器（见下图），它的外侧表面的石刻画中，有一个佛的头像是一个方形的洞，这如何解释呢？
答：
仔细看那几个佛像的头部，好像和身体并不是一体雕刻成的，也就是说头部是单独雕刻然后安装上去的，那么这个洞就是安装佛头用的，现在这个佛头丢失了，就露出了这个洞。
如果把其它几个佛像（特别是头部后面带圆圈的那几个佛像）的头也去悼，后面很可能也会有洞。
练习题12：
海盗分金币
有五个海盗在海上抢得了100枚金币，上岸后他们要分赃。
他们五个人排了个顺序，第一个人先制定一个分配方案，如果第一个人的方案被通过并执行，此次分金币的事结束，如果第一个人的方案被否决，把第一个人杀掉。
100枚金币由其余的四个人分，再由第二个人制定一个分配方案，依次类推，直到金币被分完。
请你替第一个人制定一个合适的分配方案。
（注：
分配方案被通过是指同意的人数大于反对的人数，否则方案被否决。
）
答：
假设对这五个海盗编号为1,2,3,4,5
如果只剩下4,5两个海盗，那么不论4号如何分配,5号都可以说不同意,那么4号的下场是死,5号的结果是获得金币。
因此如果还剩下3,4,5三个海盗。
那么不论3号如何分配，4号只能同意，因为保命要紧（他们都是理智的）,这样3号可以提出的分配原则是（100,0,0）。
不论5号是否同意，3，4号都会赞成。
最终少数服从多数，结果便是3号得100金币,4,5号没有金币。
如果还剩下2,3,4,5四个海盗,2号可以提出的分配原则是（98,0,1,1）,这样3号肯定不同意，但是4,5号却会同意,因为与前面的方案相比,4号和5号都能获得一个金币,这总比没有金币强，因此4,5号也一定会同意，这样一来，结果便是2号得98个金币,3号没有金币,4号和5号一人一个金币。
如果是1,2,3,4,5五个海盗,1号可以提出得分配原则是（97,0,1,0,2）或者是（97,0,1,2,0）这样2号肯定不同意,3号不得不同意,因为3号不同意,那么等到下一轮他就没有金币了。
至于4号和5号,只要给其中一个人两个金币,那么他（4或者5）便得到了比前一个方案更多的甜头。
那么他们中的一个必然同意,而另一个必然反对，最后是三个人同意,两个人反对，使得此方案通过，因此最终的分配方法是（97,0,1,2,0）或者是（97,0,1,0,2）。
练习题13：
学会管理工作
你的公司需要确定五名员工值一个月（30天）的班，每天只需要安排这五名员工中的二名值班。
请你们安排一个公平、合理、科学的值班表。
答：
30天可以分成6组，每5天一组，这样循环值班。
每轮值班情况如下：
将5个人假设为A,B,C,D,E。
天数
值班安排
1
（A,B）
2
（C,D）
上海市劳动和社会保障局所辖的“促进就业基金”，还专门为大学生创业提供担保，贷款最高上限达到５万元。
3
（E,A）
2、价格“适中化”4
成功秘诀：
好市口＋个性经营（B,C）
在大学生对DIY手工艺品价位调查中，发现有46%的女生认为在十元以下的价位是可以接受；48%的认为在10-15元；6%的则认为50-100元能接受。
如图1-2所示5
（D,E）
注：
员工顺序可以调换，但是还是每5天保证2天班。
这样每个员工在五天内都可以值两天班，这样公平，合理又科学。
练习题14：
身高和鞋码的关系
你不认为“身高和鞋码之间有关系吗？
”
请把你们三个班同学的身高和对应的鞋码记录下来，制成表（男生、女生分开），然后分别找到它们之间的关系，用数学（函数和图形）的方法表示出来。
6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？
答：
如下所示：
8、你是如何得志DIY手工艺制品的？
表格：
男生
身高
鞋码
女生
１９９６年“碧芝自制饰品店”在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四通八达，由于位于市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量的问题。
迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼梯阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进去看一下。
身高
鞋码
我们大学生没有固定的经济来源，但我们也不乏缺少潮流时尚的理念，没有哪个女生是不喜欢琳琅满目的小饰品，珠光宝气、穿金戴银便是时尚的时代早已被推出轨道，简洁、个性化的饰品成为现代时尚女性的钟爱。
因此饰品这一行总是吸引很多投资者的目光。
然而我们女生更注重的是感性消费，我们的消费欲望往往建立在潮流、时尚和产品的新颖性上，所以要想在饰品行业有立足之地，又尚未具备雄厚的资金条件的话，就有必要与传统首饰区别开来，自制饰品就是近一两年来沿海城市最新流行的一种。
1
图1-1大学生月生活费分布170
40
1
160
35
2
164
39
2
163
37
3
175
42
3
157
36
4
178
42
4
158
36
5
170
42
5
165
39
6
181
46
6
168
40
7
179
45
7
160
38
8
176
42
8
178
41
9
183
47
9
163
35
10
176
42
10
162
38
11
185
47
11
160
37
12
185
48
12
161
36
13
176
48
13
165
38
14
178
48
14
156
36
15
191
49
15
155
35
16
192
48
16
153
35
17
178
45
17
162
37
18
175
40
18
160
37
19
168
39
19
161
38
20
175
40
20
156
36
21
178
48
21
155
35
22
185
48
22
153
35
23
176
48
23
170
38
24
190
49
24
167
37
25
178
39
25
169
38
26
182
43
26
172
39
函数：
男生身高与鞋码关系女生身高与鞋码的关系对数（男生身高与鞋码的关系）对数（女生身高与鞋码的关系）根据我们的观察，我们认为鞋码和身高之间是一种简单的对数函数的关系，即鞋码与身高满足：
f（x）=m*lnx+n其中f（x）表示鞋码（号），x表示身高（cm），m与n是两个参数。
从我们三个的数据计算可得，m=44.95，n=-188.87。
因此可得，鞋码与身高的函数关系为：
y=44.95*lnx-188.87以上的函数是对于男生而言的，对于女生，由数据可知女生的鞋码普遍比男生小2—3码，因此女生的函数关系为y=44.95*lnx-190.87
练习题15：
近几年北京市空气质量好多了!
你不认为“近几年北京市空气质量好多了吗？
”
请你们寻找近几年北京市空气质量的数据，并用得到的数据找出年份和对应的蓝天数之间的关系，用数学模型的方法表示出来。
再用你们建立的数学模型预测今年、明年北京市空气质量（主要指蓝天数）。
再用你们建立的数学模型预测一下，到那年北京市空气质量全达标（主要指蓝天数等于全年的天数）。
答：
数据如下：
错误！
链接无效。
直接由图得出在一定范围内，对应的年份与蓝天数的关系：
蓝天数y与年份x的关系为：
y=2E-29e0.0356x
练习题16：
为什么要更改名字？
我校为了庆祝建校30周年，在校园内立了几个雕塑，其中一个（见下图）刚立时名字叫“麦比乌斯环”，可是过了一段时间后就把名字改了，为什么要更改名字呢？
答：
麦比乌斯环有三个特征：
一、麦比乌斯环只存在一个面。
二、如果沿着麦比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的麦比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个麦比乌斯环或两个其它形式的环。
三、生成的所有的环都将套在一起，永远无法分开、永远也不可能与其它的环不发生联系而独立存在，与图中雕塑不符，故要换名。
练习题17：
学习查资料
请你们查找历年全国大学生数学建模竞赛的题目并制成一张表。
请你们查找历年参加全国大学生数学建模竞赛的学校数和队数并制成一张表。
请你们查找我校历年参加全国大学生数学建模竞赛的队数和获奖情况并制成一张表。
答：
（1）
（2）
（3）2001年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨2001年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：
北京市一等奖一个队：
队员（阎晓华、范晚枝、时培建），指导教师（吴春霞）；
北京市二等奖一个队：
队员（张余、蒋春梅、王爽），指导教师（吴春霞）。
2002年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨2002年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：
北京市一等奖两个队：
队员（孙致平、李彦隆、张翠英），指导教师（吴国民）；队员（张余、蒋春梅、王爽），指导教师（吴春霞）。
北京市二等奖两个队：
队员（韩军、刘克、陈彦晴），指导教师（吴国民）；队员（阎晓华、范晚枝、丁文辉），指导教师（吴国民）。
2003年北京大学生数学建模与计算机应用竞赛（暨2003年全国大学生数学建模竞赛）获奖情况如下：
国家一等奖一个队：
队员（孙致平、谭芳、张翠英），指导教师（吴春霞）；
国家二等奖一个队：
队员（时培建、徐多林、水声建），指导教师（吴国民）。
练习题18：
典型的数学建模例子
请你们阐述一下数学模型的概念，并提供一个在你们的专业课学习中遇到的“典型的数学建模例子”。
答：
概念：
根据对研究对象所观察到的现象及实践经验，归结成的一套反映其内部因素数量关系的数学公式、逻辑准则和具体算法。
用以描述和研究客观现象的运动规律。
典型例子：
如图，用一水平力F使质量为m的物体静止于倾角为θ的斜面，已知斜面对物体的最大静摩擦力为他们接触面间压力的μ倍，求水平力F的大小。
分析：
物体恰向上滑，受力如图b，恰向下滑，受力如图c,不论向上还是向下，物体与斜面间的压力都为N=mgcosθ+Fsinθ要想物体不上滑：
FcosθFcosθ+μN>mgsinθ求解：
F>mg
练习题19：
椅子能在不平的地面上放稳吗？
考虑椅子的四脚呈长方形的情形。
答：
记四边形四顶点为ABCD,对角线交点为O,当凳子放在地面时最少有三只脚与地面接触,以O为转轴,AC初始位置为极轴,当AC转过θ角时,记A,C两点与地面距离之和为f（θ）,BD两点与地面距离之和g（θ）,由于任意位置都有三只脚与地面接触,所以总有f（θ）*g（θ）=0,记F（θ）=f（θ）-g（θ）,显然F（θ）是连续的,对于初始位置,不妨设f（0）=0,g（0）≥0,那么F（0）=-g（0）.当凳子从D点转到A点时,由对称性知g（θ）=f（0）=0,所以f（θ）≥0,那么F（θ）=f（θ）≥0所以F（θ）*F（0）=-g（0）*f（θ）≤0,由连续函数介值定理知在[0,θ]上最少有一点使得F（x）=0,即f（x）=g（x）=0,所以长方形凳子总能放稳。
练习题20：
商人们怎样安全过河？
四名商人各带一个随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。
随从们密约，在河的任一岸，一旦随从的人数比商人多，就杀人越货。
但是如何乘船渡河的大权掌握在商人们手中。
商人们怎样才能安全渡河呢?
答：
我们设商人为A,从人为B，则，由题意可知：
我们假设第一次为A+B模式过河，到达对岸以后，A下船，B返回；第二次为B+B模式过河，到达对岸以后，一个B下船，另一个B返回；第三次为A+B模式过河，到达对岸以后，A下船，B返回；第四次为B+B模式过河，到达对岸以后，其中一个B下船，另一个B则返回；第五次为A+B模式过河，到达对岸以后，A下船，B返回；至此，前五次均能安全渡河，到第六次时，无论选择那种模式渡河都会致使还未渡河的随从比商人多，则导致不能安全渡河，所以商人们不能安全渡河。
即当m>3时，m名商人带着m个随从无法安全渡河。
练习题21：
学习检验问题
在第三章（初等模型）第三节（划艇比赛的成绩）中利用最小二乘法和表中各种艇的平均成绩检验公式
，要求小数点后保留四位。
答：
由物理知识可知,桨手输出的功完全用于划艇克服阻力产生定常的速度:
nP=k4Fv
由假设得到:
k1nW=k4k2Sv3
于是得到速度模型:
v=k9（nW/S）1/3
由阿基米德原理可知划艇排水的体积V与载人艇的总重量呈正比,
V=k5（U+nW）=nk5（k3+W）=k6n
浸没面积与排水体积关系为
S=k7V2/3=k8n2/3
代入速度模型,得到速度对人数的依赖关系:
v=k9（nW/n2/3）1/3=k10n1/9
最后得到比赛成绩对人数的依赖关系:
T=D/v=kn-1/9
计算划艇的四次成绩:
种类成绩（划2000米时间（分））平均
单人7.167.257.287.177.215
双人6.876.946.956.776.8775
四人6.336.426.486.136.34
八人5.875.925.825.735.835
根据这些数据,利用最小二乘法拟合可得
t=7.29n-0.104.
练习题22：
设效用函数为
根据（第四章微分法建模，第六节消费者的选择）
（2）式求最优比例
使效用函数
达到最大。
答：
练习题23：
航天飞机的水箱的设计
考虑航天飞机上固定在飞机墙上供宇航员使用的水箱。
水箱的形状为在直圆锥顶上装一个球体（像冰激凌的形状，如图）。
如果球体的半径限定为正好
英尺，设计的水箱表面积为
平方英尺，
为直圆锥的高，
为球冠的高，请确定
、
的尺寸，使水箱容积最大。
答：
由题意，建立模型：
我们定义如下变量
Vc=锥顶的体积，等于Vc=（2rx1x2-x1（x2）^2）pi/3
Vs=被锥所截后球体部分的体积，等于
Vs=（4r^3十（x2）^3-3（x2）^2r）pi/3
Vw=Vc十Vs:
水箱的体积
Vw=Vc十Vs=（4r^3+（x2）^3-3r（x2）^2+2rx1x2-x1（x2）^2）pi/3
Sc=锥的表面积，等于
Sc=pi（（2rx2-（x2）^2+（x1）^2）（2rx2-（x2）^2））^（1/2）
Sc=被锥所截后球体部分的表面积，等于
Sc=4xr^2一2pirx2
St=Sc+Ss:
水箱的表面积
St=4xr^2-2pix2+pi（（2rx2-（x2）^2+（x1）^2）（2rx2-（x2）^2））^（1/2）
我们希望最大化水箱的体积Vw,而总的表面积St限制了水箱的体积，所以问题是
Maxf（x1,x2）=pi（4r^3+（x2）^2-3r（x2）^2+2rx1x2-x1（x2）^2））/3
s．t．4xr^2-2pix2+pi（（2rx2-（x2）^2+（x1）^2）（2rx2-（x2）^2））^（1/2）=450
模型求解
我们用Lagrange乘子法来求解这个具有等式约束的优化问题。
定义函数
L（x1,x2,b）=pi（4r^3+（x2）^3-r（x2）^2+2rx1x2-x1（x2）^2）-入
*（4pir^2-2pirx2+pi（（2rx2-（x2）^2+（x1）^2）（2rx2-（x2）^2））^（1/2）-450）
将r=6代人上式，化简表达式得到
L（x1,x2,入）=pi（864-18（x2）^2+（x2）^2十126x1x2一x1（x2）^2）／3
一入（144x—l2pix^2+pi（（12x2-（x2）^2+（x1）^2）（12x2-（x2）^2））^（1/2）-450）
将L对变量x1、入分别求偏导数，x2、并今它们为0．L（x1）=pi（12x2-2（x2）^2）/3-即
入*pix1（12x2-（x2）^2）/（12x2）^2-（x2）^2）（（x1）^2+12x2-（x2）^2））^（1/2）=0
L（x2）=pi（12x1-36x2-2x1x2+3（x2）^2）/3-入
pi（-12+（12-2x2）（12x2-（x2）^2）+（12-2x2）（（x1）^2+12x2-（x2）^2）/（12x2）^2-（x
2）^2）（（x1）^2+12x2-（x2）^2））^（1/2））=0
使用Lingo可以求解，可得
x1=1.18585（英尺），x2=1.20233（英尺）
f（x1,x2）=895.4
升级会员 