浙江省高中学业水平考试数学试题.docx
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浙江省高中学业水平考试数学试题
2018年4月浙江省学业水平考试
数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.每小题列出的四个选项中只有一个是符
合题目要求的，不选，多选，错选均不给分.）
1.
已知集合P
x0
x
1，Q
x2
x
3.
记M
P
Q，则
A.
0,1,2
M
B.
0,1,3
M
C.
0,2,3
M
D.
1,2,3
M
2.
函数f（x）
x
1
的定义域是
x
A.
xx0
B.xx0
C.
xx0
D.R
3.
x
y
1
0,
将不等式组
x
y
1
表示的平面区域记为
，则属于
的点是
0
A.（
3,1）
B.（1,3）
C.（1,3）
D.（3,1）
4.
已知函数f（x）
log2（3
x）
log2（3
x），则
f
（1）
A.1
B.log26
C.3
D.log29
5.
双曲线x2
y2
1的渐近线方程为
3
A.y
1x
B.y
3x
C.y
3x
D.y3x
3
3
6.
如图，在正方体
ABCD
A1B1C1D1中，直线A1C与平面ABCD所成角的余弦值是
A.
1
B.
3
C.2
D.
3
3
3
7.若锐角
满足sin（
π
3
）
，则sin
2
5
A.
2
B.
3
3
D.
5
5
C.
4
6
D1C1
3
A1B1
DC
4
5AB
（第6题图）
8．在三棱锥O
ABC中，若D为BC的中点，则AD
A.
1
OA
1
OC
OB
B.
1OA
1OB
OC
2
2
2
2
C.
1OB
1OC
OA
D.
1OB
1OC
OA
2
2
2
2
9.设an，bn
（n
N）是公差均不为零的等差数列
.下列数列中，不构成等差数列的是
A.anbn
B.anbn
C.an
bn1
D.anbn1
1
10.不等式2x1x11的解集是
A.
C.
x3
1
B.
x
1
x
x3
3
3
xx
3,或x
1
D.
xx
1,或x3
3
3
11．用列表法将函数f（x）表示为，则
A.f（x
2）为奇函数
B.
C.f（x
2）为奇函数
D.
f（x2）为偶函数
f（x2）为偶函数
12．如图，在直角坐标系
xOy中，坐标轴将边长为4的正方形ABCD分
割成四个小正方形
.若大圆为正方形
ABCD的外接圆，四个小圆分
别为四个小正方形的内切圆，则图中某个圆的方程是
y
A.x2
y2
x2y10B.x2
y2
2x2y10
A
D
C.x2
y2
2xy10D.x2
y2
2x2y10
o
1”是“a2
1
x
13.
设a为实数，则“a
”的
B
C
a
2
a
A.充分不必要条件
B.
必要不充分条件
（第12
题图）
C.充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
14.
在直角坐标系
xOy中，已知点A（0,
1），B（2,0），过A的直线交x轴于点C（a,0），若直
线AC的倾斜角是直线
AB倾斜角的
2倍，则a
1
3
C.1
4
A.
B.
D.
4
4
3
15.
甲、乙两个几何体的三视图分别如图①、图②所示，分别记它们的表面积为
S甲，S乙，体
积为
V甲，V乙
，则
aa
a
a
aa
aa
a
a
a
a
正视图
侧视图
正视图
侧视图
俯视图
（第15题图①）
俯视图（第15题图②）
A.S甲
S乙，V甲
V乙
B.
S甲
S乙，V甲
V乙
C.S甲
S乙，V甲
V乙
D.
S甲
S乙，V甲
V乙
2
．如图，
F
为椭圆x2
y2
1（a
b
0）
的右焦点，过F作x轴的垂线交椭圆于点
P，点
16
a2
b2
A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点，
O为坐标原点.若△OAB
的面积是△OPF面积的
5倍，则该椭圆的离心率是
y
2
A.
2或3
B.1或4
B
5
5
5
5
F
A
10
15
5
2
5
C.
或
D.
或
O
x
5
5
5
5
17．设a为实数，若函数
f（x）
2x2
x
a有零点，
（第16题图）
则函数y
f[f（x）]零点的个数是
A.1或3
B.2或3
C.2或4
D.3或4
18．如图，设矩形
ABCD所在平面与梯形
ACEF所在平面相交于
AC.
若AB
1,BC
3
，AF
FE
EC
1，则下列二面角
的平面角的大小为定值的是
F
E
D
A.
F
AB
C
B.
B
EF
D
A
C
C.
A
BF
C
D.
B
AF
D
B
二、填空题（本大题共4小题，每空
3分，共
15分.）
（第18题图）
19.已知函数f（x）
2sin（2x
π
1，则f（x）的最小正周期是
▲，f（x）的最大值是
）
3
▲.
20.
若平面向量a,b满足2a
b
（1,6），a
2b（4,9），则ab
▲.
21.
在△ABC中，已知AB
2，AC
3
，则cosC的取值范围是
▲.
22
2x
2
（x
a）x
a
20
对于任意xR恒成立，则实数
a
的最小值是
．若不等式
▲.
三、解答题（本大题共3
小题，共
31分.）
23.（
本题满分
10分）在等差数列
an（n
N）中，已知a12，a5
6.
（Ⅰ）求an
的公差d及通项an；
（Ⅱ）记bn
2an（n
N），求数列
bn
的前n项和.
24.（本题满分10分）如图，已知抛物线yx21与x轴相交于点A，B两点，P是该抛物
3
线上位于第一象限内的点.
（Ⅰ）记直线PA，PB的斜率分别为k1,k2，求证k2
k1为定值；
（Ⅱ）过点A作AD
PB，垂足为D.若D关于x轴的对称点恰好在直线
PA上，求△
PAD的面积.
y
P
AOB
x
D
（第24题图）
25.（本题满分11分）如图，在直角坐标系xOy中，已知点A（2,0），B（1,3），直线xt
（0t2）将△OAB分成两部分，记左侧部分的多边形为.设各边长的平方和为
f（t），各边长的倒数和为g（t）.
（Ⅰ）分别求函数f（t）和g（t）的解析式；
（Ⅱ）是否存在区间（a,b），使得函数f（t）和g（t）在该区间上均单调递减？
若存在，求
ba的最大值；若不存在，说明理由.
y
B
o
x
tAx
（第25
题图）
4
2018年4月浙江省学业水平考试
数学试题答案
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
C
A
D
C
C
D
D
C
A
题号
10
11
12
13
14
15
16
17
18
答案
B
A
B
A
B
B
D
C
B
二、填空题（本大题共
4小题，每空
3分，共15分.）
19．
，3
20.
2
21.[5,1）
22.
3
3
三、解答题（本大题共
3小题，共
31分.）
23．解：
（Ⅰ）因为a5
a1
4d，将a1
2，a5
6代入，解得数列
an
的公差d
1；
通项an
a1
（n
1）d
n
1
.
（Ⅱ）将（Ⅰ）中的通项
an代入bn
2an
2n
1.
由此可知bn
是等比数列，其中首项
b1
4，公比q
2.
所以数列bn
的前n项和Sn
b1（1
qn）
2n2
4
1
q
24.
解：
（Ⅰ）由题意得点
A,B的坐标分别为
A（1,0），B（1,0）.
设点P的坐标为P（t,t2
1），且t
1，则
k1
t2
1
t2
1
1，
t
1
t1，k
2
t
t
1
所以k2
k1
2
为定值.
（Ⅱ）由直线
PA,AD的位置关系知
kAD
k11
t.
因为AD
PB，所以
kADk2
（1
t）（t
1）
1，
解得
t
2
.因为P是第一象限内的点，所以
t
2.
得点P的坐标为P（
2,1）.
联立直线PB与AD的方程
y
（1
2）（x
1）,
解得点D的坐标为D（
2,
2）.
y
（1
2）（x
1）,
2
2
所以△PAD
1
AByPyD
2
.
的面积S
1
2
2
25.解：
（Ⅰ）当0t1时，多边形是三角形（如图①），边长依次为t,3t,2t；
5
当1t2时，多边形是四边形（如图②），边长依次为
t,3（2t）,2（t1）,2.
y
y
B
B
o
x
t
A
x
o
x
t
A
x
（第25题图①）
（第25题图②）
8t2
0
t
1,
所以，f（t）
20t
20,1
t
2,
8t2
3
31
0
t1,
（
3
）
t
g（t）
2
1
1
1
1,1
t
2.
t）
1）
t
3（2
2（t
2
（Ⅱ）由（Ⅰ）中
f（t）的解析式可知，函数
f（t）的单调递减区间是（1,
5
），所以
（1,5）.
4
（a,b）
4
另一方面，任取t1,t2
（1,5），且t1
t
2，则
4
g（t1）g（t2）
（t2
t1）[1
2（t1
1
1）
3（2
1
].
t1t2
1）（t2
t1）（2
t2）
由1t1
t2
5
知，1t1t2
25
02（t1
1）（t2
1）
1
4
16
8
3（2
t1）（2
t2）
9
3
0
2（t1
1）（t2
1）
3（2
t1）（2
t2）,
.从而
16
即
1
1
0
2（t11）（t2
1）
3（2t1）（2
t2）
所以g（t1）g（t2）
0，得g（t）在区间（1,5）上也单调递减.证得
4
（a,b）
（1,5）.
4
5），使得函数
所以，存在区间
（1,
f（t）和g（t）在该区间上均单调递减，且
4
ba的最大值为1.
4
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