空间向量知识点归纳总结经典.docx
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空间向量知识点归纳总结经典
空间向量与立体几何知识点归纳总结
一.知识要点。
1.空间向量的概念：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：
（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性
2.空间向量的运算。
定义：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB=OA+AB=a+b.BA=OA-OB=a-b.OP=^a（AGR）
运算律：
⑴加法交换律：
a+b=b+a
⑵加法结合律：
@+方）+0二N+0+C
⑶数乘分配律：
2（&+方）=加+加
运算法则：
三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则
3.共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共
线向量或平行向量，刁平行于方，记作刁〃“。
（2）共线向量定理：
空间任意两个向量万、b（方#6）,
共面向量
ababAB=AACOC=xOA+yOB（^^x+y=l）a土
（1）定义：
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：
空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：
如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数
—♦
兀」'使p=xa+yb9
（3）四点共面：
若A、B、C、P四点共面<=>AP=xAB+yAC
©OP=xOA+yOB+zOC（其中兀+y+z=1）
空间向量基本定理:
不共面，那么对空间任一向量P,存
在一个唯一的有序实数组使p=xa+yb+zc9
—♦
若三向量讪丘不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a.b.c叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设o,4,5C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数
X,y.Zf使OP=xOA+yOB+zOCo
6.空间向量的直角坐标系：
（1）空间直角坐标系中的坐标：
在空间直角坐标系0—中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组（兀”Z）,使OA=xi+yi+忑，有序实数组（x,y,z）叫作向量A在空间直角坐标系0-衣中的坐标,记作A（x,y,z）,x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
注：
①点A（x,y,z）关于x轴的的对称点为（x,-y,-z）,关于xoy平面的对称点为（x,y,-z）.即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。
②在y轴上的点设为（0,y,0）,在平面yOz中的点设为（0,y,z）
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1,这个基底叫单位正交基底,
———
用仏厶灯表示。
空间中任一向量a=xi+yj+zk=（x,y,z）
（3）空间向量的直角坐标运算律：
•—►—♦
1若a=（a^a2.a3）,b=（bl,b2,b3）9则a+b=+b^a2+b2,a3+Z?
3）,
a—b=（al—b^a2—b29a5—$）,Aa—,Aa2,Aa3）（AeR）,
a・b=a权+a2b2+a3b3,
»—►
Q〃bU>d]=Ab“2=肋2，。
3=弘3（几GR）,
aLb<=>a]bi+a2b2=0。
2若心,沪）,B（x29y29z2）9则AB=（x2-x1,y2-yl,z2-Z1）o
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
3定比分点公式：
若AOiJMi）,B（x2,y2,z2）,ap^apb,则点P坐标为
兀1+Ax2y{+Ay2+衣2、
’1+免'1+无'1+2"。
推导：
设P（x,y,z）则（x-v-ylfZ-Z1）=2（x2-x,y2-y,z2-z）fJL^当戸为屈中点p（Xl+X2%+丁2«+知
时，厂I2，2'2丿
④AABC中，仏1』1忆丿”（兀2』2忆2）（（兀3』3忆3）,三角形重心P坐标
不+兀2+®几+儿+儿Z1+Z2+Z3）
⑤AABC的五心:
垂心P:
高的交点：
PA・PB=PA・PC=PB・PC（移项，内积为0,则垂直）
—1—*—二
重心P:
中线的交点，三等分点（中位线比）AP=-（AB^AC）中心：
正三角形的所有心的合一。
（4）模长公式：
若a=（aiya2,他），—（W3）,
则|a|==Ja：
+丐2+&,|引==Jb：
+b；+好
ab_a/]+a2b2+a3b3
IaM引Ja；+d）+公Jb；+L+g2
AABC中①A^eAC>0<=>A为锐角②AB^AC<0<=>K为钝角，钝角A（6）两点间的距离公式：
若A（不,B（x2,y2,z2）9
则]励|=J葫=yl（x2-xl）2+（y2-yl）2+（z2-Zl）2,
或£出=—為），+（儿一帝+（%—亦
7.空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：
已知两非零向量在空间任取一点O,作OA=a,OB=b,则zaob叫做向量&与5的夹角，记作va.b>；且规定
0<<>S兀,显然有>=;若<云,£>=彳，则称&与b互相垂直，记作:
a1S0
（2）向量的模：
设OA=a9则有向线段刊的长度叫做向量”的长度或模，记作：
|引。
»
（3）向量的数量积：
已知向量“，则|引・|5|・cos叫做"的数量积，记作ab9即a-b=\a\-\b\-cos9
（4）空间向量数量积的性质：
^）a-e=\a\cos9②Q丄bOa*b=00③|a\=aa9
（5）空间向量数量积运算律：
①（脱）•方=2（万•方）=0・（疝）。
②a-b=b-a（交换律）。
^a（b+c）=ab+ac（分配律）。
iff
4不满足乘法结合率：
｛fi-b）ca（b-c）
二.空间向量与立体几何
1.线线平行O两线的方向向量平行
1-1线面平行O线的方向向量与面的法向量垂直
1-2面面平行o两面的法向量平行
2线线垂直（共面与异面）o两线的方向向量垂直
2-1线面垂直o线与面的法向量平行
2-2面面垂直o两面的法向量垂直
3线线夹角8（共面与异面）［0。
90。
］0两线的方向向量云E的夹角或夹角的补角，
cos0=cos
3-1线面夹角0［0。
90。
］：
求线面夹角的步骤：
先求线的方向向量丽与面的法向量7的
央角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的央
►—►
角siii^=cos
3-2面面夹角（二面角）&［0。
180。
］：
若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法
向量斤，云的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.
cos^=±cos
4•点面距离:
求点P（x0,y0）到平面a的距离：
在平面&上去一点0（x,y）,得向量PQ；；
【典型例题】
1.基本运算与基本知识（）
例已知平行六面体ABCD-ABCD,化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
（1）AB+BC;
（2）AB+AD+^;
（3）AB+AD+-CC;（4丄迈+35+弼。
23
例2・对空间任一点0和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：
OP=xOA+yOB+zOC（其中x+y+z=l）的四点P,A,B,C是否共面
例3已知空间三点A（0,2,3）,B（-2,1,6）,C（1,-1,5）。
⑴求以向量亚，疋为一组邻边的平行四边形的面积S;
⑵若向量"分别与向量砸疋垂直，且hi=V3,求向量/的坐标。
2.基底法（如何找，转化为基底运算）
3.坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4.几何法
编号03晚自习测试；17,18题
例4.如图，在空间四边形OABC中，OA=8,AB=6,AC=4,BC=5,ZOAC=45°,ZOAB=60,求OA与BC的夬角的余脈值。
说明：
由图形知向量的夹角易出错，如vOA,AC>=135易错写成=45,切记!
例5・长方体ABCD-AgD、中，AB=BC=4,E为人6；与BQ的交点，F为BC,与B&的交点，又AF丄3E,求长方体的高
【模拟试题】
1・已知空间四边形ABCD,连结AC,BDf设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
（1）AB+BC+CD；
（2）AB+^（BD+BC）;（3）AG-^（AB+AC）c
2.已知平行四边形＞«8仞，从平面4C外一点0引向量。
OE=kOA,OF=kOB.OG=kOC.OH=kOD。
（1）求证：
四点E,F,G,H共面；
（2）平面AC//平面EG。
3.如图正方体ABCD-A.B.C.D.中，B.E=D.F=-A.B.9求与Df；所成角的余弦。
4
5.已知平行六面体ABCD-A0CD中，AB=4,4D=3,AA!
=5,ZBAD=90,ABAA=XDAAf=60,求AC，的长。
［参考答案］
1.解：
如图,
（1）AB+BC+CD=AC+CD=AD;
（2）AB+^（Bb+BC）=AB+^BC+^BD9
=AB+bM+MG=AG;
（3）AG-^（AB+AC）=AG-AM=MG9
2.解：
（1）证明：
•・•四边形4BCD是平行四边形，:
.AC=AB+AD,
9：
EG=OG-OE9
=kOC-kOA=k（OC-OA）=kAC=k（AS+AD）
=k（OB-OA+Ob-OA）=OF-OE+OH-OE
=EF+EH
・・.E,F,G,H共面；
I
（2）解：
・・・丽=OF-OE=k（OB-OA）=kAB9又：
•而=R•码
:
.ef//ab,eg//ac9
所以，平面AC//平面EG。
/y
e
解：
不妨设正方体棱长为1,建立空间直角坐标系
31
则3（1丄0）,耳（1,匚,1）,00,0,0）,f；（0,-,l）,
44
11・••昭=（0,—丁,1）,砂=（0,；,1）,
44
乎，
—-——1115
B£，1Df；=OxO+（--x-）+lxl=—o
15
cos〈亟，码=简市=护
~44_
4.分析：
（1）•/AB=（-2,-1,3）,AC=（1,-3,2）,/.cosABAC==-
\AB\\AC\2
AZBAC=60°,/.S=|AB||AC|sin60=7^3
⑵设7=（x,y,z）,则尬丄4Fn-2x-y+3z=0,
a丄AC=>x-3y+2z=0,\a\=y/3=>x2+y2+z2=
解得x=y=z=1或x=y=z=—1,（1,1,1）或&=（—1,—1,—1）o
5.解：
|疋『=（屈+丽+巫y
=|AB|2+|AD|2+|AV|2+2ABAD+2ABAA,+2AbAA,
=424-32+52+2x4x3xcos90+2x4x5xcos60+2x3x5xcos60=16+9+25+0+20+15=85
所以，|疋/劳。
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