整理第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION1.docx

整理第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION1.docx

《整理第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION1.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION1.docx（17页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

整理第八章矢量算法与场论初步张量算法与黎曼几何初步SECTION1

第八章矢量算法与场论初步·张量

算法与黎曼几何初步

本章包括两个部分.

第一部分是矢量代数、矢量分析及其在场论中的应用.主要内容有：

矢量的概念、矢量的算法与矢量的坐标表示；以矢量作为工具介绍了场论中的一些基本内容.例如梯度、散度与旋度等基本概念及其计算公式和性质，以及它们在不同坐标系中的表达式；叙述了矢量的积分定理（高斯公式、斯托克斯公式和格林公式）；引进了仿射坐标系，阐述了三维空间中的协变矢量和逆变矢量，同时把这些概念推广到n维空间中去.

第二部分是张量代数、张量分析及其在黎曼几何中的应用.介绍了张量的概念和一些张量算法，然后以张量作为工具来阐述仿射联络空间的基本内容.例如，仿射联络、矢量和张量的平行移动，及协变微分法与自平行曲线等；并在n维空间中引进度量的概念，来定义黎曼空间，从而由具有特殊条件的仿射联络引出了黎曼联络，于是有关仿射联络空间中的一些性质可以搬到黎曼空间中来.可是，因为黎曼空间是由度量定义的，所以与度量有关的一些性质在仿射联络空间中是没有的.

§1矢量算法

一、矢量代数

［矢量概念］只有大小的量称为标量（也称为数量或纯量）.例如温度、时间、质量、面积、能量等都是标量.

具有大小和方向的量称为矢量（也称为向量）.例如力、速度、力矩、加速度、角速度、动量等都是矢量．

在几何中的有向线段就是一个直观的矢量.通常用空间中的有向线段AB来表示矢量.用长度表示大小，用端点的顺序AB表示方向.A称为始点，B称为终点，这个矢量记作，或用黑正体字母a表示.矢量的大小（或长度）的数值称为它的模或绝对值，用记号或|a|表示.

矢量按其效能可分成三种基本类型：

具有大小和方向而无特定位置的矢量称为自由矢量.例如力偶.

沿直线作用的矢量称为滑动矢量.例如作用于刚体的力.

作用于一点的矢量称为束缚矢量.例如电场强度.

在这里所讨论的矢量，除特别说明外，都指自由矢量，就是说，所有方向相同，长度相等的矢量，不管始点如何，都看作相同的矢量.

模等于1的矢量称为单位矢量.

模等于零的矢量称为零矢量，记作０，它是始点和终点重合的矢量.

模与矢量

的模相等而方向相反的矢量称为a的负矢量，记作-a.

始点与原点O重合而终点位于一点M的矢

量（图8.1）称为点M的矢径（或向径），记作

r，原点称为极点.如果M的直角坐标为x，y，z,

则有

r＝

＝（x，y，z）＝xi＋yj＋zk

式中i，j，k分别为x轴，y轴，z轴的正向单位

矢量，称为坐标单位矢量（或基本矢量）.

［矢量的基本公式］

名称

公式

图形

矢量a的坐标表示

坐标单位矢量i，j，k

的坐标表示

零矢量的坐标表示

a的长度（或模）

a的方向余弦（,,

为a的方向角）

矢量（两端点A，

Ｂ的坐标分别为（ax,ay,az）,

（bx,by,bz）

a＝axi＋ayj＋azk＝（ax,ay,az）

i＝（１，０，０）

j＝（０，１，０）

k＝（０，０，１）

0＝（０，０，０）（0无方向）

=a＝

＝（bx－ax）i＋（by－ay）j

＋（bz－az）k

［加法］若a＝（ax,ay,az），b＝（bx,by,bz），则

a＋b=（ax＋bx,ay＋by,az＋bz）

把矢量的始点移到原点O，以a，b为边作平行四边行，由原点作出的对角线就表示和矢量a＋b（称为平行四边形法则，见图8.2）;或者把二矢量首尾相接,由始点到终点的矢量即为和矢量a+b（称为三角形法则，见图８.3）.

加法运算适合如下规律：

（交换律）

（结合律）

a＋０＝０＋a＝a，a＋（－a）＝０

［减法］若a＝（ax,ay,az），b＝（bx,by,bz），则

a－b＝（ax－bx，ay－by，az－bz）

把矢量b的负矢量与矢量a相加，得矢量a－b

（图8.4）.

对任意两个矢量a和b成立三角形不等式：

|a＋b||a|＋|b|

［数乘］以实数乘矢量a称为数乘，记作a.当>０时，a的模伸缩倍，方向保持不变；当<０时，a的模伸缩||倍，而方向与a相反（图8.5），如果a=（ax,ay,az）则

a＝（ax,ay,az）

设，为两实数，a，b为两矢量，则数乘运算适合

下列规律：

（a）＝（）a（结合律）

（＋）a＝a＋a（分配律）

（a＋b）＝a＋b（分配律）

［矢量的分解］

1设a，b，c为三个共面的矢量，而b和c为非共线矢量，如果把它们移到公共始点Ｏ，由矢量c的终点C作两条平行于a，b的

直线，各交a，b（或延长线）于Ｍ，Ｎ（图８.6），则

c＝+=a＋b

这称为矢量c对a，b的分解.

2设a，b，c为非共面矢量，而d为任一矢量，把

它们移到公共始点Ｏ，由矢量d的终点D作三个平面分别

平行于（b，c）平面，（c，a）平面和（a，b）平面，且与a，b，c（或延长线）分别交于Ｌ，Ｍ，Ｎ（图8.7），则

d＝++＝a＋b＋

称为矢量d对a，b，c的分解.

3如果两个非零矢量a与b有线性关系

a＋b＝０

式中,不全为0，则称这两个矢量共线（即

a//b）；反之也真.称这两个矢量a，b为线性相关.

4设a,b为两个非零矢量，若a＋b＝０，则有＝０，＝０，这时称a，b为线性无关.

5若三个非零矢量a，b，c有线性关系a＋b＋

＝０，式中，，

不全为零，则这三个矢量共面，反之也真.这时，称a，b，c为线性相关.如果a，b，c为三个非零矢量，而a＋b＋

＝０，则有＝＝

＝０，这时,称a，b，c为线性无关.

6四个（或四个以上）矢量a，b，c，d必有线性关系；就是说它们一定线性相关.这时，必有不全为０的四个数，，

，，成立a＋b＋

＋d＝０.

［标量积（数量积、点积、内积）］设a＝（ax,ay,az），b＝（ｂx,ｂy,ｂz），|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则称数值abcos为矢量a，b的标量积（也称为数量积、点积或内积）.记作

a·b＝ab＝abcos（０）

可以看作矢量a的长度乘以矢量b在a上的投影的长度（图8.8）.

标量积运算适合以下的规律：

a·b＝b·a（交换律）

a·（b＋c）＝a·b＋a·c（分配律）

（a）·（b）＝a·b（数乘的结合律）

a·a＝a２＝|a|２＝a２

若a，b为非零矢量，a·b＝０，则ab；反之也真.

i·i＝j·j＝k·k＝1，i·j＝j·k＝k·i＝０

a·b＝axbx＋ayby＋azbz（即对应坐标相乘之和）

［矢量积（叉积、外积）］设a＝（ax,ay,az），b＝（bx,by,bz），|a|＝a，|b|＝b，a，b两矢量的夹角为，则定义a×b为两矢量的矢量积（也称为叉积或外积）,它是一个矢量,即长度等于以a，b为边的平行四边形的面积（图8.9阴影部分）

|a×b|＝absin（０）

它的方向垂直于两矢量a和b,并且a，b，a×b构成

右手系（图8.9）.

矢量积运算适合下列规律：

a×b＝－b×a（反交换律）

（a+b）×c＝a×c＋b×c（分配律，次序不能交换）

（a）×（b）＝（a×b）

[（＋）a]×b＝（＋）（a×b）＝（a×b）＋（a×b）

a×a＝０

若a，b为非零矢量，则a，b共线（即a//b）的充分必要条件是：

a×b＝０

i×i＝j×j＝k×k＝０，i×j＝k，j×k＝i，k×i＝j

a×b＝

＝（aybz-azby）i+（azbx－axbz）j+（axby－aybx）k

[两矢量的夹角]

cos（a，b）＝

sin（a，b）＝

[拉格朗日恒等式]

（a×b）·（c×d）＝（a·c）（b·d）－（a·d）（b·c）

特别（a×b）2=a2b2－（ab）2

即（aybx-azby）2+（azbx－axbz）2+（axby－aybx）2

＝（ax2+ay2+az2）（ｂx2+by2+bz2）－（axbx+ayby+azbz）2

[三个矢量的混合积]设a＝（ax,ay,az），b＝（bx,by,bz），c＝（cx,cy,cz）为三个矢量,则它们的混合积定义为

（abc）＝a·（b×c）＝＝ax（bycz－bzcy）＋ay（bzcx－bxcz）＋az（bxcy－bycx）

混合积具有性质:

1a·（b×c）＝（a×b）·c

注意,一般情况下等式

（a·b）·c=a·（b·c）

（a×b）×c=a×（b×c）

不成立.

2（abc）＝（bca）＝（cab）=－（acb）=－（bac）=－（cba）

即有轮换性：

a·（b×c）＝b·（c×a）＝c·（a×b）＝－a（c×b）＝－b（a×c）＝－c（b×a）

3混合积（abc）是一个数，它的绝对值等于以a，b，c为边的平行六面体的体积.

4三个矢量共面的充分必要条件是：

（abc）＝0.

[三重矢积]

a×（b×c）＝（a·c）b－（a·b）c

（a×b）×c＝（a·c）b－（b·c）a

采用a，b，c轮换法还可推出其余两个同类公式.

[多重积的几个公式]

a×（b×c）＋b×（c×a）＋c×（a×b）＝０

（a×b）·（c×d）＝

＝（a·c）（b·d）－（a·d）（b·c）

（a×b）×（c×d）＝（abd）c－（abc）d＝（cda）b－（cdb）a

a×[b×（c×d）]＝（b·d）（a×c）－（b·c）（a×d）

（a×bb×cc×a）＝（abc）２

（a１a２a３）（b１b２b３）＝

（a×bc×de×f）＝（abd）（cef）－（abc）（def）

二、矢量分析

1．矢量微分

[矢函数]对于自变量t（标量）的每一个数值都有变动矢量a的确定量（长度与方向都确定的一个矢量）和它对应，则变（矢）量a称为变量t的矢函数，记作

a＝f（t）

矢函数也可表为

a=axi＋aｙj＋azk

式中

ax＝fx（t），ay＝fｙ（t），az＝fz（t）

为三个标函数.

若把变动矢量表成点M的矢径形式

r＝r（t）

则当t变动时，点M在空间中描出一条曲线，称为矢函数的矢端曲线.它的坐标由三个等式给定：

r=xi＋yj＋zk

x＝x（t），y＝y（t），z＝z（t）

[矢函数的极限与连续性]若对任意给定的>0,都存在数>0，使得当t－t０<时

r（t）－r０<

成立，则称r０为矢函数r（t）当tt０时的极限，记作

=r0

若

存在，则

＝i+j+k

若

=r（t0）,则称矢函数r（t）在t＝t０处连续.

[矢函数的导数与微分]如果极限

存在，就称它为矢函数a＝f（t）的导数，记作

.矢函数a＝f（t）的导数仍为矢函数，从而还可求它的导数，即二阶导数，记作

，等等.

da＝

dt

称为矢函数a＝f（t）的微分.

[矢函数求导公式]

＝0（c为常矢量）

（ka）＝k

（k为常数）

（a＋b＋c）＝

（a）＝

a＋

（是t的标函数）

（a·b）＝

·b＋a·

（顺序可以交换）

（a×b）＝

×b＋a×

（顺序不可以交换）

（abc）=（

bc）+（a

c）+（ab

）（顺序不可以交换）

a[（t）]=

（是t的标函数，这是复合函数的求导公式）

[矢径形式的矢函数求导公式]设

r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k

表示矢函数的矢端曲线，则

1

＝

=i＋j＋k

表示矢端曲线的切线矢量（图8.10），指向t增加的方向，式中＝

=

=

2

=t

式中s为矢端曲线的弧长，t为切线的单位矢量.

3

＝

i＋j＋k

式中＝

=

=

[矢函数的泰勒公式]

r（t＋t）＝r（t）＋

（t）t＋

（t）（t）２＋···＋r（n）（t）（t）n＋rn（t）n+1

式中

rn＝x（n+1）（t1）i＋y（n+1）（t2）j＋z（n+1）（t3）k（t

r（n）（t）=x（n）（t）i＋y（n）（t）j＋z（n）（t）k

2）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。

主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。

x（n）=

y（n）=

z（n）=

[矢量函数的几个常用性质]

1定长矢量r（t）

（t），反之也真.从而切线的单位矢量ｔ的导数与原矢量垂直.

2定向矢量r（t）//

（t），反之也真.

（3）介绍评价对象的选址、总图布置、水文情况、地质条件、工业园区规划、生产规模、工艺流程、功能分布、主要设施、设备、装置、主要原材料、产品（中间产品）、经济技术指标、公用工程及辅助设施、人流、物流等概况。

3一个变动矢量r（t）平行于一个定平面的充分必要条件是：

混合积

（

）＝0

表二：

项目地理位置示意图和平面布置示意图；2．矢量积分

直接市场评估法又称常规市场法、物理影响的市场评价法。

它是根据生产率的变动情况来评估环境质量变动所带来影响的方法。

[不定积分]设a（t），b（t）为矢函数，则矢量微分方程

（3）总经济价值的组成。

我们可以用下式表示环境总经济价值的组成：

＝a（t）

（3）环境影响技术评估。

的解

（t）dt＝b（t）＋c（式中c为任意常矢量）

2）购买环境替代品。

称为矢函数a（t）的不定积分.

（3）机会成本法[定积分]设a（t）和b（t）为矢函数，则

a（t）dt＝b（t2）－b（t1）

4.选择评价方法称为矢函数a（t）的定积分，t１，t２分别称为下、上限.

2）预防或者减轻不良环境影响的对策和措施。

主要包括预防或者减轻不良环境影响的政策、管理或者技术等措施。

[平面面积矢量]设

r＝r（t）＝x（t）i＋y（t）j＋z（t）k

dr＝idx＋jdy＋kdz

则

S＝

r×dr

式中L为r（t）矢端所画的闭曲线，S为L所包围的面积矢量，原点在闭曲线Ｌ内.