一元一次方程应用题的解法.docx
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一元一次方程应用题的解法
一元一次方程应用题的解法
一、直列法。
即由题中的“和”、“少”、“倍”等表示数量关系的字眼，直接列出相关的方程。
例1在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？
分析：
显然，人员调动完成后，甲处人数＝2×乙处人数。
解：
设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：
27+x=2（19+20-x），
解之得x＝17
∴20-x＝20－17＝3（人）
答：
应调往甲处17人，乙处3人。
二、公式法。
学生熟识的公式诸如“路程＝速度×时间”、“工作总量＝工作效率×工作时间”、“利润＝售价－进价”、“利润率＝利润/进价”等都是解答相关方程应用题的工具。
例2商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则此商品最低可打几折出售？
分析：
根据利润率公式，列出方程即可。
解：
设最低可打x折。
据题意有：
5%=（2250x-1800）/1800，
解之得x＝0.84
答：
最低可打8.4折。
三、总分法。
即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。
例3“过路的人！
这儿埋葬着丢番图。
请计算下列题目，便可知他一生经过了多少寒暑。
他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。
再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。
五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。
晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。
请你算一算，丢番图活到多大，才和死神见面？
”
分析：
本题即是著名的丢番图的“墓志铭”，题中巧妙地把丢番图的总年龄划分为了几个部分，解题时只需运用其总年龄＝各部分年龄的和即可得出解答。
解：
设丢番图活了x年。
据题意可得：
x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4
解之得x＝84
答：
丢番图共活了84岁。
由此题的解答，我们还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子活了42岁等。
四、同一法。
这类题目的解题原理是：
如果同一个量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。
例4一队学生从学校出发去部队军训，行进速度是5千米/时，走了4.5千米时，一名通讯员按原路返回学校报信，然后他随即追赶队伍，通讯员的速度是14千米/时，他在距离部队6千米处追上队伍，问学校到部队的距离是多少？
（报信时间忽略不计）
分析：
该题的解答关键在于，通讯员从返回学校到追上队伍所用时间与队伍走了4.5千米到距离部队6千米这段路程所用时间是相等的（同一段时间）。
解：
设学校到部队的距离是x千米。
据题意得：
（x-4.5-6）/5=（x+4.5-6）/14，
解之得：
x＝15.5
答：
学校到部队的距离是15.5千米。
当然，以上四种方法不是孤立使用的，如例4的解答必然要用到公式：
“路程＝速度×时间”。
并且一个题目的解法往往也不是唯一的，如例1的解答也可以用总分法：
解：
设人员分配后乙处人数为x人，甲处为2x人。
分配后的总人数为27+19+20＝66人，据题意有：
x+2x＝27+19+20，
解之得x＝22，
∴2x＝44，故44－27＝17（人），22－19＝39（人）
答：
应调往甲处17人，乙处3人。
可见，方程应用题方法论的训练，不仅使大多数学生在解答相关问题时能“按图索骥”，而且对于培养学生思维的发散性和多元性也有着重要意义，使一题多解成为可能。
分式方程应用题
1）有一项工程，若甲队单独做，恰好在规定日期完成，若乙队单独做要超过规定日期3天完成；现在先由甲、乙两队合做2天后，剩下的工程再由乙队单独做，也刚好在规定日期完成，问规定日期多少天？
（2）为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程．如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成．问原来规定修好这条公路需多长时间？
（3）某人生产一种零件,计划在30天完成,若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个,问原计划每天生产多少个零件?
（4）在社会主义新农村建设中，某乡镇决定对一段公路进行改造．已知这项工程由甲工程队单独做需要40天完成；如果由乙工程队先单独做10天，那么剩下的工程还需要两队合做20天才能完成．
（1）求乙工程队单独完成这项工程所需的天数；
（2）求两队合做完成这项工程所需的天数．
（5）市某乡积极响应党中央提出的“建设社会主义新农村”的号召，在本乡建起了农民文化活动室，现要将其装修．若甲、乙两个装修公司合做需8天完成，需工钱8000元；若甲公司单独做6天后，剩下的由乙公司来做，还需12天完成，共需工钱7500元．若只选一个公司单独完成．从节约开始角度考虑，该乡是选甲公司还是选乙公司？
请你说明理由．
（6）一项工程，甲单独做x小时完成，乙单独做y小时完成，则两人一起完成这项工程需要___小时。
（7）某农场开挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，求原计划每天挖多少米？
（8）为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。
如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。
问原来规定修好这条公路需多长时间？
（9）某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
（10）甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天,再由两队合作2天就完成全部工程,已知甲队与乙队的工作效率之比是3:
2,求甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天?
应用题归纳
1.列方程解比较容易的两步应用题
（1）列方程解应用题的步骤
①弄清题意，找出未知数并用x表示；
②找出应用题中数量间的相等关系，列方程；
③解方程；
④检查，写出答案。
（2）列方程解应用题的关键
弄清题意后，找出应用题中数量间的相等关系，恰当地设未知数，列出方程。
（3）运用一般的数量关系列方程解应用题
①列方程解加、减法应用题。
如：
甲乙两人年龄的和为29岁，已知甲比乙小3岁，甲、乙两人各多少岁？
数量间的等量关系：
甲的年龄+乙的年龄=甲乙二人的年龄和
解：
设甲的年龄是x岁，则乙的年龄为：
（x+3）岁。
x+（x+3）=29
x+x+3=29
2x=29-3
x=262
x=13……甲的年龄
13+3=16（岁）……乙的年龄
答：
甲的年龄是13岁，乙的年龄是16岁。
②列方程解乘、除法应用题。
如：
学校图书馆买来故事书240本，相当于科技书的3倍，买来科技书多少本？
科技书的本数3=故事书的本数
解：
设买来科技书x本
3x=240
x=80
答：
买来科技书80本。
（4）用计算公式、性质、数位及计数单位等做数量间的等量关系，列方程解应用题
①一长方形的周长是240米，长是宽的1.4倍，求长方形的面积。
（长+宽）2=周长
解：
设宽是x米，则长是（1.4x）米。
（1.4x+x）2=240
2.4x=2402
x=1202.4
x=50……长方形的宽
501.4=70（米）……长方形的长
7050=3500（平方米）
答：
长方形的面积是3500平方米。
②三角形ABC中，角A是角B的2倍，角A与角B的和比角C小18°。
求三个角的度数。
这是一个什么三角形？
角A+角B+角C=180度
解：
设角B是x度，
则角A是（2x）度，角C是[（2x+x）+18]度。
2x+x+[（2x+x）+18]=180
6x+18=180
6x=180-18
x=1626
x=27……角B的度数
272=54（度）……角A的度数
54+27+18=99（度）……角C的度数
答：
角A是54度，角B是27度，角C是99度。
因为：
角B<角A<角C，90°<角C<180°，所以这个三角形是钝角三角形。
③一个两位数，十位数字与个位数字的和是6。
若以原数减去7，十位数与个位数字相同，求原数。
十位上的数字个位上的数字
解：
设原数的个位数字为x。
则原数十位上的数字为：
6-x；若从原数中减去7，则个位上的数字变为：
10+x-7、十位上的数字变为：
6-x-1。
6-x-1=10+x-7
5-x=3+x
2x=2
x=1……原数的个位数字
6-1=5……原数的十位上的数
因此，原数是：
51。
2．列方程解二、三步计算的应用题
广水电影院原有座位32排，平均每排坐38人；扩建后增加到40排，可比原来多坐584人。
扩建后平均每排可以坐多少人？
解：
设扩建后平均每排坐x人。
x40-3832=584
40x-1216=584
40x=584+1216
x=180040
x=45
答：
扩建后平均每排可以坐45人。
3．列方程解含有两个未知数的应用题
某班学生合买一种纪念品，每人出1元，多4元6角；每人出9角，就差5角。
求这件纪念品多少钱？
这个班共有多少名学生？
解：
设这个班共有x名学生
x-4.6=910x+510
x-4.6=0.9x+0.5
0.1x=5.1
x=51……这个班学生人数
51-4.6=46.4（元）……纪念品的单价
答：
这件纪念品46.4元；这个班共有学生51名。
4.用方程解和用算术法解应用题的比较
用方程解应用题和用算术法解应用题有什么区别，它们之间的主要区别在于思路不同。
用方程解应用题，要设未知数x，并且把未知数x与已知数放在一起，分析应用题所叙述的数量关系，再根据数量关系和方程的意义，列出方程式。
用算术法解应用题，要把已知数集中起来，加以分析，找出已知数与未知数之间的联系，列出算式表示未知数。
例如：
小华身高160厘米，比小兰高15厘米。
小兰的身高是多少厘米？
用方程解：
解：
设小兰的身高x厘米
160-x=15
x=160-15
x=145
或：
x+15=160
x=160-15
x=145
用算术法解：
160-15=145
通过比较，同学们可以看出，这两种方法的主要区别是未知数参加不参加到列式之中。
列算术式，是根据题中的条件，由已知推出未知，用已知数之间的关系来表示未知数。
未知数是运算的结果，已知与未知数用等号隔开。
列方程式，是根据题目叙述的顺序，未知数参加列式，未知数与已知数用运算符号相连接，从整体上反映数量关系的各个方面，所以，解题方式灵活多样，适用面广，用来解答那些反叙的问题更显得方便。
【典型例剖析】
例1甲乙两桶油，甲桶里有油45千克，乙桶里有油24千克，问从甲桶里倒多少千克的油到乙桶里，才能使甲桶里的油的重量是乙桶里的1.5倍？
分析：
根据变动以后“甲桶里油的重量是乙桶的1.5倍”，可以列出等量关系式：
现在乙桶里油的重量1.5=现在甲桶里油的重量
设从甲桶里倒x千克的油到乙桶里，那么，现在甲桶里的油是（45-x）千克，现在乙桶里的油是（24+x）千克。
解：
设从甲桶里倒x千克油到乙桶里。
（24+x）1.5=45-x
36+1.5x=45-x
36+1.5x+x=45
36+2.5x=45
x=（45-36）2.5
x=3.6
答：
从甲桶里倒3.6千克的油到乙桶里，才能使甲桶里油的重量是乙桶的5倍。
例2一位三位数，个位上的数字是5，如果把个位上的数字移到百位上，原百位上的数字移到十位上，原十位上的数字移到个位上，那么所成的新数比原数小108，原数是多少？
分析：
原三位数中只知道个位数字，百位和十位上的数字都不知道。
如果设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，则原三位数可表示为“10x+5”，那么新数就可以表示为“5100+x”。
解：
设原三位数中的百位数字与十位数字拼成的二位数为x，可得方程：
10x+5=5100+x+108
10x-x=500+108-5
9x=603
x=67
1067+5=675……原三位数
答：
原三位数是675。
例3某校附小举行了两次数学竞赛，第一次及格人数是不及格人数的3倍还多4人，第二次及格人数增加5人，正好是不及格人数的6倍，问参加竞赛的有多少人？
分析：
本题所求的参赛人数包括了及格的和不及格的人数，而第二次的参赛人数与第一次参赛人数有直接关系的条件，总人数又不变。
所以我们设第一次参赛的不及格人数为x人，那么第一次参赛及格的人数可以用“（3x+4）”人来表示，总数是（4x+4）人，第二次参赛及格的人数是（3x+4+5）人，不及格的人数是（x-5）人，根据“第二次及格人数是不及格人数的6倍”，这一等量关系，可列方程。
解：
设第一次参赛不及格的人数为x，依据题意可得方程：
3x+4+5=（x-5）6
3x+9=6x-30
3x=39
x=13
则4x+4=134+4=56……参加竞赛的人数
答：
参加竞赛的有56人。
【易错题解举例】
例1吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？
错误：
设经济作物有x公顷
x=（84-2）÷4
x=82÷4
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
分析：
这题列出的式子是一个算术式，不是方程。
错误在于没有弄清方程和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数，如本题的“x=（84-2）÷4”；而在方程里，未知数则是参加运算的，本题中的“x”则没有参加运算。
改正：
设经济作物有x公顷
4x+2=84（或4x=84-2）
4x=82
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
例2食堂运来一批煤，原计划每天烧210千克，可以烧24天。
改进炉灶后这批煤可烧28天。
问：
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
错误：
设每天比原计划节约x千克
28x=21024
x=180
210-180=30（千克）
答：
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
分析：
题中所设未知数x与方程式中的x所表示的意义不同。
题目中的方程式的“x”所表示的是“改进炉灶后平均每天烧煤数”，并不表示“节约”的数。
本题可以采用“间接设未知数法”或“直接设未知数法”。
改正：
（1）间接设未知数
解：
设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约（210-x）千克。
28x=21024
28x=5040
x=180
210-x=210-180=30
（2）直接设未知数
解：
设改进炉灶后平均每天比原计划节约x千克。
（210-x）28=21024
210-x=180
x=210-180
x=30
答：
改进炉灶后平均每天比原计划节约30千克。
例3王兰有64画片，雷江又送给她12，这时王兰和雷江的画片数相等。
雷江原有画片多少？
（用方程解）
错误：
设雷江原有画片x
x-12=64
x=76
分析：
雷江送12画片给王兰后，两人的画片数才相等。
也就是说，雷江减少12，王兰增加12之后，他们的画片数才同样多。
此解法把等量关系弄错了，误认为雷江的画片减少12后与王兰原有的画片数相等。
改正：
设雷江原有画片x。
x-12=64+12
x=76+12
x=88
答：
雷江原有画片88。
【解题技巧指点】
1.列方程解应用题时，往往列出来的是一个算术式，误以为是方程。
如：
广水市吉阳村有粮食作物84公顷，比经济作物的4倍多2公顷，经济作物有多少公顷？
解：
设经济作物有x公顷
x=（84-2）4
x=824
x=20.5
答：
经济作物有20.5公顷。
本题中的“x=（84-2）4”是一个算术式。
出现上述错误，原因在于没有弄清方程式和算术式的区别。
算术式是由已知数和运算符号组成的，用来表示未知数；而在方程里，未知数则是参加运算的。
本题的方程应该列为：
4x+2=84或4x=84-2或84-4x=2
2．按照题意，恰当地设未知数。
如：
第一教工食堂运来一批煤，原计划每天烧煤210千克，可烧24天，改进炉灶后这批煤可烧28天。
问：
改进炉灶后平均每天比原计划节约多少千克？
设未知数时一般有两种方法：
一种是直接设未知数为x，题目中问什么，就设什么为x；另一种是间接设未知数为x，再通过这个量与所求问题的关系，求出应用题中要求的未知量。
如果按直接设未知数为x的方法解答，那么本题中所列方程应该是：
解：
设每天比原计划节约x千克煤
（210-x）28=21024
210-x=180
x=210-180
x=30
如果采用间接设未知数x的方法：
解：
设改进炉灶后每天烧煤x千克，则每天比原计划节约（210-x）千克。
28x=21024
x=180
210-180=30（千克）
答：
每天比原计划节约30千克。
解一元一次方程应用题的方法《一》
一般在解决问题时第一步就是要设出未知数,未知数的设法主要有以下几种:
1,有比较关系时,如甲比乙多8,我们一般设较小的为X,这样计算时主要用的是加法不易出错;
2,有倍数关系时,如数学小组人数是英语小组的5倍,我们设一倍量为X,用乘法表示其余量利于计算;
3,在分数应用题中,我们设单位'1'为X,
4,在有比的问题中,我们设一份数为X,
5,在有和的问题中,我们设其中任意一个为X都可以,比如说两个班共有50人.
解应用题的基本步骤有:
1,依据题目要求设出合适的未知数;
2,根据题目实际情况找出等量关系,用文字关系式表示出来;
3,依据等量关系,把关系式中的每一项用数或者未知数表示出来列出方程;
4,解方程,依据题目问题计算;
5,把方程的解代入原题目检验.
其中的难点是第二步,找出等量关系,有些题目中的关系是比较明显的,而有的则是隐含的,需要大家去用心体会,下面我给大家示例两题:
1:
爷爷与子下棋，爷爷赢一盘记1分，子赢一盘记3分，两人下了12盘（未出现和棋）后，得分相同，他们各赢了多少盘？
分析:
属于和的问题,所以任意设一个为X,设爷爷赢了X题,则子赢了（12-X）盘,题目中的等量关系是爷爷得分=子得分,爷爷得分用X表示,子得分用3（12-X）表示,所以本题方程为X=3（12-X）,解之得X=9,则12-X=12-9=3,所以爷爷赢9盘,子赢3盘.
2:
在一只底面直径为30cm，高为8cm，的圆锥形容器中倒满水，然后将水倒入一只底面直径为10cm的圆柱形空容器里，圆柱形容器中的水有多高？
分析:
本题没有明显类型所以直接设问题,设圆柱形容器中的水有X厘米,题目中的等量关系是隐含的,是圆锥形容器中的水的体积=圆柱形容器中水的体积,分别表示后有方程
1/3*3.14*（30/2）（30/2）*8=3.14（10/2）（10/2）X,解之得X=24.
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