数学课本多项式的运算与应用.docx
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数学课本多项式的运算与应用
多项式的运算与应用
本节介绍一般的多项式，并学习其运算。
1多项式的定义
形如axn的式子称为单项式（a是实数，x是未知数，n是正整数或0）。
例如：
2x3，－x，7，0都是单项式。
将有限个单项式用加号连结起来的式子称为多项式。
※多项式的定义
若n是正整数或0，则形如
f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0
的式子称为多项式，其中an，an－1，…，a1，a0为实数。
例如：
3x2－
x＋0.9，7，2x6，0都是多项式。
但是，－
，
，2|x|就不是多项式。
随堂练习
下列哪些是多项式？
（A）x2－
x（B）3－
（C）
＋x3
（D）
（E）12（F）4x3＋|x|
上面定义中需注意一些事项：
（1）anxn，an－1xn－1，…，a1x，a0称为多项式f（x）的项；其中anxn为n次项，an－1xn－1为（n－1）次项，…，等等。
a0称为常数项。
（2）当an≠0时，anxn是x次数最高的非零项，我们称f（x）是一个n次多项式，n称为f（x）的次数，并记为deg（f（x））＝n。
例如：
x9－x6＋5x3是九次多项式，即deg（x9－x6＋5x3）＝9；而3是零次多项式，deg（3）＝0。
（3）0也是一个多项式，特别称为零多项式。
我们不规定它的次数。
（4）各次项的系数就是每个单项前的数字。
其中当最高次项的系数an≠0时，an称为首项系数（领导系数）。
例如：
x9－x6－5x3的首项系数为1，三次项系数为－5，常数项为0。
（5）习惯上将多项式由高次项写到低次项，称为降序排列；或者由低次项写到高次项，称为升幂排列。
例如：
多项式－3x＋4x4＋6＋3x2－x3的降序排列为4x4－x3＋3x2－3x＋6，升幂排列为6－3x＋3x2－x3＋4x4。
例题1
（1）多项式f（x）＝x4－3x2＋4x＋5，试求deg（f（x）），x2项的系数及常数项。
（2）若多项式（a＋2）x4－（b－1）x3＋x2＋a2＋b－3是二次多项式，试求此多项式的常数项。
解
（1）f（x）最高次项为x4，故deg（f（x））＝4。
又x2项的系数为－3，常数项为5。
（2）题目条件表示x4与x3的系数皆为0，
因此a＋2＝0，且－（b－1）＝0，
故a＝－2，b＝1。
故此多项式为x2＋（－2）2＋1－3＝x2＋2，
即常数项为2。
随堂练习
若（a＋2）x4＋4x2＋5是二次多项式，试求a之值、以及此多项式x3，x2，x项的系数及常数项。
※两多项式相等
当两多项式相对应的每一单项的系数都相同，则称这两个多项式相等。
两个相等的非零多项式，其次数必相同。
随堂练习
若多项式f（x）＝ax2＋（4－b）x＋c与g（x）＝2x2＋（b＋2）x－3c相等，试求a，b，c。
2多项式的四则运算
两个多项式可以做加、减、乘、除等四则运算。
分别介绍如下：
多项式的加减法
两多项式相加或相减时，是把次数相同的单项系数相加或相减。
例如：
f（x）＝x3－x2＋x＋1，g（x）＝3x2＋2x＋1，则
f（x）＋g（x）＝x3＋（－x2＋3x2）＋（x＋2x）＋（1＋1）＝x3＋2x2＋3x＋2。
f（x）－g（x）＝x3＋（－x2－3x2）＋（x－2x）＋（1－1）＝x3－4x2－x。
多项式相加减可以用横式，直式或分离系数法来运算。
如本例：
故f（x）＋g（x）＝x3＋2x2＋3x＋2。
随堂练习
若多项式f（x）＝x3＋x2＋x＋2且g（x）＝x3＋x2＋3x－1，试求：
（1）f（x）＋g（x）。
（2）f（x）－g（x）。
多项式的乘法
两个单项式axn和bxm按下面的规则相乘：
axn×bxm＝abxn＋m，
例如：
2x3×（－7x2）＝－14x5。
一般多项式的乘法，则利用乘法对加法的分配律来计算。
例如：
（x3－x2＋3）（3x2－2）＝x3（3x2－2）－x2（3x2－2）＋3（3x2－2）
＝3x5－2x3－3x4＋2x2＋9x2－6
＝3x5－3x4－2x3＋11x2－6。
多项式相乘一样也可以用直式或分离系数法来计算。
本例中可用
f（x）＝x3－x2＋3，g（x）＝3x2－2，
故f（x）g（x）＝3x5－3x4－2x3＋11x2－6。
随堂练习
f（x）＝x＋4且g（x）＝x2－4x＋5，试求f（x）g（x）。
可以发现：
若f（x）的最高次项为axn，且g（x）的最高次项为bxm，则f（x）g（x）的最高次项为abxn＋m，亦即
若deg（f（x））＝n，deg（g（x））＝m，则deg（f（x）g（x））＝n＋m。
多项式的除法
多项式相除的过程类似长除法。
以2x3＋3x2－5x＋4除以x2＋2x－3为例（前者称为被除式，后者称为除式）做长除法如下：
亦可以使用分离系数的方式进行计算，
故2x3＋3x2－5x＋4＝（x2＋2x－3）（2x－1）＋（3x＋1）。
随堂练习
f（x）＝2x3＋x2－3且g（x）＝x－2，试求f（x）除以g（x）的商式及余式。
计算f（x）除以g（x）时，一旦做到余式r（x）的次数比除式的次数小（或整除）时，就停止计算。
这样得到唯一的商式q（x）及余式r（x）。
如同17÷3＝5…2，即17＝3‧5＋2，今设f（x）除以g（x）的商式为q（x），
余式为r（x），则有
f（x）＝g（x）q（x）＋r（x），
且余式满足deg（r（x））＜deg（g（x））或是r（x）＝0。
※多项式的除法原理
将多项式f（x）除以多项式g（x）（其中g（x）≠0），会得到唯一的商式q（x）及余式r（x），且
f（x）＝g（x）q（x）＋r（x），
其中deg（r（x））＜deg（g（x））或是r（x）＝0。
例题2
已知f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1，g（x）＝x2－x＋1，若g（x）整除f（x），
试求a，b及商式。
解采用分离系数法计算如下：
得余式为（b＋a）x－a。
因为g（x）整除f（x），
故（b＋a）x－a＝0x＋0，即得
，
所以a＝b＝0，且商式为x＋1。
随堂练习
已知f（x）＝x3＋x2＋ax＋1，g（x）＝x2－x＋b，若g（x）除f（x）的余式为3，试求a及商式。
例题3
设f（x）除以g（x）的商式为q（x），余式为r（x），试求：
（1）f（x）除以2g（x）的商式和余式。
（2）f（x）除以
g（x）的商式和余式。
解
（1）由除法原理，f（x）＝g（x）q（x）＋r（x），
将此式改写成f（x）＝2g（x）
＋r（x），
这表示f（x）除以2g（x）的商式是
q（x），
余式仍然是r（x）。
（2）由除法原理，f（x）＝g（x）q（x）＋r（x），
将此式改写成f（x）＝
g（x）（3q（x））＋r（x），
这表示f（x）除以
g（x）的商式是3q（x），
余式仍然是r（x）。
随堂练习
已知x4＋1除以x2－x＋1的余式是－x＋1，试求x4＋1除以3x2－3x＋3的余式。
综合除法
若除式为一次式，则长除法可用一种较简便的方法记录，称为综合除法。
我们先来看下面的例子：
考虑f（x）＝x3＋x2＋x－2，除以x－2，
重复的数字不必全部写出，可写为
可以再写成
此时，第一列与第二列相减得到第三列。
若把×（－2）的动作改成×
（2），则将第一列与第二列相加可得第三列。
最后这个表所展示的算法就称为综合除法。
当然，也可以用长除法计算，但是熟练综合除法会比较快一些。
注意到做综合除法时，因为除式都为一次式，所以余式必定是一个常数。
例题4
已知f（x）＝2x3＋3x2＋4x－1，g（x）＝x＋1，利用综合除法计算f（x）除以g（x）的商式及余式。
解
故得商式为2x2＋x＋3，余式为－4。
随堂练习
已知f（x）＝x3＋2x2＋x＋3，g（x）＝x－3，利用综合除法计算f（x）除以g（x）的商式及余式。
如果f（x）要除以ax－b怎么办呢？
我们先用综合除法做f（x）除以x－
，得到商式q（x），余式r，由除法原理，
f（x）＝
＋r＝（ax－b）
＋r。
所以f（x）除以ax－b的商式是
q（x），余式仍然是r。
例如：
f（x）＝4x2＋2x－1除以2x－3，先求f（x）除以x－
。
即f（x）被x－
除的商式是4x＋8，余式是11。
因此f（x）被2x－3除的商式是2x＋4，余式是11。
随堂练习
已知f（x）＝6x4＋5x3－8x2＋x－3，g（x）＝2x＋3，利用综合除法计算f（x）除以g（x）的商式及余式。
数学上常常需要将多项式改写成另一个形式。
例如，将多项式2x2－5x＋6写成如下的形式：
2x2－5x＋6＝a（x－1）2＋b（x－1）＋c。
观察最高次可知a＝2，两边消去2（x－1）2后再比较可得b＝－1等。
但次数较多时这样逐项比较不方便，可以连续使用综合除法。
例题5
若多项式f（x）＝2x3＋x2－3x＋4＝a（x－1）3＋b（x－1）2＋c（x－1）＋d，其中a，b，c，d是常数，试求：
（1）a，b，c，d之值。
（2）计算f（0.99）的近似值（至小数点后第二位，第三位四舍五入）。
解
（1）利用综合除法，
f（x）＝（x－1）（2x2＋3x）＋4，①
将商式再用综合除法除以x－1得
2x2＋3x＝（x－1）（2x＋5）＋5，②
将商式再用综合除法除以x－1得
2x＋5＝（x－1）
（2）＋7，③
由①、②、③可得
f（x）＝（x－1）（2x2＋3x）＋4
＝（x－1）（（x－1）（2x＋5）＋5）＋4
＝（x－1）（（x－1）（（x－1）
（2）＋7）＋5）＋4
＝2（x－1）3＋7（x－1）2＋5（x－1）＋4，
因此a＝2，b＝7，c＝5，d＝4。
上面连续使用综合除法的过程可以简化成
（2）由
（1）可知f（x）＝2（x－1）3＋7（x－1）2＋5（x－1）＋4，
所以f（0.99）＝2（－0.01）3＋7（－0.01）2＋5（－0.01）＋4
5（－0.01）＋4＝3.95。
随堂练习
若多项式f（x）＝2x3＋x2－3x＋1，可以表示成
a（x－2）3＋b（x－2）2＋c（x－2）＋d，
其中a，b，c，d是常数，试求：
（1）a，b，c，d之值。
（2）计算f（2.01）的近似值（至小数点后第二位，第三位四舍五入）。
3余式定理与因式定理
余式定理
考虑多项式f（x）除以一次式x－2，由除法原理知
f（x）＝（x－2）q（x）＋r。
若代x＝2到上式，可得f
（2）＝r，因此，
f（x）被x－2所除的余式r就是f
（2）。
同理，多项式f（x）除以一次式ax－b，由除法原理知
f（x）＝（ax－b）q（x）＋r。
令x＝
代入上式，可得
＝r，即
f（x）被ax－b所除的余式r就是
。
※余式定理
多项式f（x）被一次式ax－b所除的余式为
。
例题6
试求多项式f（x）＝2x9＋x2－3x＋1除以x＋1的余式。
解由余式定理知，f（x）除以x＋1的余式为
f（－1）＝2（－1）9＋（－1）2－3（－1）＋1
＝－2＋1＋3＋1
＝3。
随堂练习
试求多项式f（x）＝128x6＋4x2－2x＋1除以2x－1的余式。
由上例可知，当我们利用余式定理算出函数值f（a）就知道余式r。
反过来说，如果想求多项式函数在某处x＝a的函数值时，我们也可以使用余式定理，利用综合除法计算出来的余式即为答案。
我们来看以下的例子。
例题7
设多项式f（x）＝x4＋8x3＋9x2＋27x＋89，试求f（－7）。
解由余式定理知f（－7）即为f（x）除以x＋7的余式。
所以用综合除法计算f（x）除以x＋7得
余式为－2，所以f（－7）＝－2。
随堂练习
设多项式f（x）＝2x3－19x2＋10x－13，试求f（9）。
最后，我们来看一个重复利用余式定理求余式的例子。
例题8
设多项式f（x）除以x－1的余式为2，除以x－2的余式为4，试求多项式f（x）除以
（x－1）（x－2）的余式。
解利用除法原理，可设
f（x）＝（x－1）（x－2）q（x）＋ax＋b。
又f（x）除以x－1的余式为2，故由余式定理知f
（1）＝2。
又f（x）除以x－2的余式为4，故由余式定理知f
（2）＝4。
代入x＝1及x＝2，
得
，
即
，可解得
，
所以f（x）＝（x－1）（x－2）q（x）＋2x，
即f（x）被（x－1）（x－2）所除的余式为2x。
随堂练习
设多项式f（x）除以x＋2的余式为1，除以x－2的余式为2，试求多项式f（x）除以x2－4的余式。
因式定理
若多项式g（x）整除多项式f（x），则称g（x）为f（x）的因式。
例如：
x－1为x3－1的因式。
前一主题的余式定理谈到
f（x）＝（ax－b）q（x）＋
，
观察上式，若ax－b是f（x）的因式，则
＝0；反之，
若
＝0，则ax－b整除f（x），是f（x）的因式。
※因式定理
若f（x）有一次因式ax－b，则
＝0；
反之，若
＝0，则f（x）有一次因式ax－b。
例题9
试判断：
（1）2x＋1是否为2x3＋x2－4x－2的因式？
（2）x－2是否为x4＋x2－8x－6的因式？
解
（1）令f（x）＝2x3＋x2－4x－2，
因为
＝2
＋
－4
－2＝0，
故由因式定理知2x＋1是2x3＋x2－4x－2的因式。
（2）令g（x）＝x4＋x2－8x－6，
因为g
（2）＝16＋4－16－6≠0，
故由因式定理知x－2不是x4＋x2－8x－6的因式。
随堂练习
试判断：
（1）3x－2是否为x6－1的因式？
（2）x－1是否为x7－1的因式？
由因式定理可知，x－1及x＋1都是x6－1的因式，因此可推得（x－1）（x＋1）也是x6－1的因式。
为什么呢？
因为x＋1是因式，由除法原理，有
x6－1＝（x＋1）q（x）。
但x－1是因式，故由因式定理，若以x＝1代入上式会等于0，可得q
（1）＝0，再由因式定理，这表示q（x）有因式x－1，
综合起来就得到
x6－1＝（x＋1）q（x）
＝（x＋1）（x－1）q′（x）。
运用同样的推理，我们可以知道：
※相异一次因式的乘积仍为因式
若f（x）有一次因式x－a1，x－a2，…，x－an，并且a1，a2，…，an两两互异，则f（x）有因式（x－a1）（x－a2）…（x－an）。
例题10
若三次多项式f（x）满足f
（1）＝0，f
（2）＝0，f（3）＝2，f（0）＝1，试求f（x）。
解因为f
（1）＝0，f
（2）＝0，
故由因式定理知f（x）有因式（x－1）（x－2），
又f（x）是三次多项式，故可令
f（x）＝（x－1）（x－2）（ax＋b），
又题目条件说f（3）＝2，f（0）＝1，
即f（3）＝2‧1‧（3a＋b）＝2，
f（0）＝（－1）（－2）（b）＝1，
解得b＝
，a＝
，
故f（x）＝
（x－1）（x－2）（x＋3）。
随堂练习
若二次多项式f（x）满足f
（1）＝0，f
（2）＝1，f（3）＝6，试求f（x）。
4插值多项式
三点决定拋物线
给定两点，可以决定一直线y＝ax＋b。
换句话说，给定f（x1）和f（x2），就可以求出一次多项式f（x）＝ax＋b。
一般而言，给定f（x1），f（x2），f（x3），可以求出f（x）＝ax2＋bx＋c，f（x）称为这三个值的插值多项式。
例题11
若二次多项式f（x）满足f
（1）＝0，f
（2）＝4，f（4）＝18，试求f（x）。
解〔解法一〕
因为f
（1）＝0，故由因式定理可设f（x）＝（x－1）（ax＋b），
代入f
（2）＝4，及f（4）＝18，
得
，即
，解得
，
因此f（x）＝（x－1）（x＋2）＝x2＋x－2。
〔解法二〕
可令f（x）＝a（x－1）（x－2）＋b（x－1）＋c，
代入f
（1）＝0，f
（2）＝4，f（4）＝18，
得
将①代入②中，得b＝4，
再代入③中，得6a＋3‧4＝18，故a＝1，
所以f（x）＝（x－1）（x－2）＋4（x－1）＝x2＋x－2。
随堂练习
若二次多项式f（x）满足f（0）＝1，f
（1）＝3，f
（2）＝7，试求f（x）。
以图形的观点来看，上例即求出一拋物线通过（1，0），（2，4），（4，18）三点。
解法二是一个巧妙的想法，称为牛顿插值法（牛顿IsaacNewton，1642～1727）。
拉格朗日插值法
另有一种称为拉格朗日插值法（拉格朗日Joseph-LouisLagrange，1736～1813）的假设方式，以下例题12说明。
例题12
若多项式f（x）＝a（x－1）（x－2）＋b（x－2）（x－4）＋c（x－4）（x－1），
满足f
（1）＝0，f
（2）＝4，f（4）＝18，试求：
（1）f（x）。
（2）f（6）。
解将x＝1，x＝2，及x＝4分别代入f（x）中，
f
（1）＝a（1－1）（1－2）＋b（1－2）（1－4）＋c（1－4）（1－1）＝0，
f
（2）＝a（2－1）（2－2）＋b（2－2）（2－4）＋c（2－4）（2－1）＝4，
f（4）＝a（4－1）（4－2）＋b（4－2）（4－4）＋c（4－4）（4－1）＝18，
得b（1－2）（1－4）＝0，
c（2－4）（2－1）＝4，
a（4－1）（4－2）＝18，
因此，
a＝
，b＝
，c＝
，
所以，
（1）f（x）＝18‧
＋0‧
＋4‧
＝x2＋x－2。
（2）代入x＝6，即得f（6）＝40。
随堂练习
若多项式f（x）＝ax（x－1）＋b（x－1）（x－2）＋c（x－2）x，满足f（0）＝1，f
（1）＝2，f
（2）＝4，试求f（5）。
例题12中假设多项式f（x）的形式，让我们可以利用余式定理求出未知系数，这就是拉格朗日插值法的方法。
将上述条件与计算过程如果都改成符号，我们就得到拉格朗日插值公式。
※拉格朗日插值公式
若二次多项式f（x1）＝p，f（x2）＝q，f（x3）＝r，其中x1，x2，x3为相异实数，则
f（x）＝p‧
＋q‧
＋r‧
。
换句话说，f（x）也是通过（x1，p），（x2，q），（x3，r）三点的拋物线方程式。
和之前的两个方法相比，拉格朗日插值公式的好处是可以直接“看题目写答案”，由已知通过的点直接代入公式，就可以得到一个通过这些点的多项式。
我们再来看一个例子。
例题13
某乐透游戏刚刚推出，每一期开出一个号码。
前三期分别开出2，3，5这三个号码。
某骗子吹嘘他有一个二次多项式公式，只要输入期号就会得到开奖号码，而且试了前三期都非常神准，想要这个神奇公式的人必须以巨额购买。
（1）请你找出此公式。
（2）根据此公式，下一期会开出几号？
图38
解
（1）令f（x）为所求的多项式。
则f
（1）＝2，f
（2）＝3，f（3）＝5。
由拉格朗日插值公式得
f（x）＝2‧
＋3‧
＋5‧
＝
x2－
x＋2。
（2）f（4）＝8，“所以”下一期会开出8号。
只要有数据，总是可以找出插值多项式符合这些数据。
但是事实上开奖号码是无法预测的，故用此多项式去预测下一期号码是骗人的。
另一方面，如果我们想根据现有的数据，合理的预测未来的发展，那么插值多项式可以提供一个简便的多项式函数模型，计算结果给我们参考，以作为决策的依据。
随堂练习
某明星小区人口数变动的状况是：
在三月、五月及七月分，单月分别净移入4、6、2人。
若假设人口变动数（单位：
人；净移入为正、净移出为负）为时间（单位：
月）的二次函数，试求在九月分单月该小区人口净移入（或净移出）多少人？
习题2-2
一、基本题
1.设f（x）＝x3＋（a－1）x2＋2x－3，g（x）＝x3－2x2－bx＋c＋1，且f（x）与g（x）两多项式相等，试求a，b，c的值。
2.设f（x）＝2x3－x2＋3x－4，g（x）＝（x－1）2，试求：
（1）f（x）＋g（x）。
（2）f（x）－g（x）。
（3）f（x）‧g（x）。
（4）f（x）除以g（x）的商式及余式。
3.利用综合除法求解下列问题：
（1）（x3＋5x2－6）÷（x＋1）的商式和余式。
（2）（4x3＋5x2＋3x－2）÷（2x－1）的商式和余式。
4.
（1）设f（x）＝x3－8x2＋x－85，试求f（9）的值。
（2）试求x101＋x10＋2除以x－1的余式。
5.下列何者是f（x）＝2x4＋3x3－2x2－x－2的因式？
（A）x＋1（B）x＋2（C）x＋5（D）x－3
6.已知2x2－x＋2除以x＋1得商式2x－3，余式5。
请完成下列算式：
（1）2x2－x＋2＝（x＋1）（2x－3）＋ 。
（2）
＝（2x－3）＋ 。
二、进阶题
7.设f（x）为二次多项式，且f
（1）＝－2，f（3）＝5，f（4）＝16。
（1）若f（x）＝a（x－1）（x－3）＋b（x－1）＋c，试求a，b，c之值。
（2）若f（x）＝
（x－1）（x－3）＋m（x－3）（x－4）＋n（x－4）（x－1），试求
，m，n之值。
8.试问下列各叙述是否正确？
若不正确，请写出正确的结论。
（1）若f（x）为三次多项式，g（x）为三次多项式，则f（x）＋g（x）为三次多项式。
（2）若f（x）为三次多项式，g（x）为二次多项式，则f（x）‧g（x）为六次多项式。
（3）若f（x）除以一次式g（x）的余式为r，则f（x）除以一次式3g（x）的余式为3r。
（4）若f（x）除以一次式g（x）的商式为q（x），则f（x）除以一次式3g（x）的商式为3q（x）。
9.
（1）设多项式f（x）除以x－2的余式为2，除以x－3的余式为5，
试求f
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