复数教学中数学文化的渗透.docx

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复数教学中数学文化的渗透

复数教学中数学文化的渗透

课堂教学中数学文化的渗透

－“数系的扩充”教学案例

卢玉才

江苏省沙溪高级中学

课堂教学中数学文化的渗透

－“数系的扩充”教学案例

卢玉才（江苏省太仓沙溪高级中学215400）

1.基本情况

1.1授课对象

学生来自四星级普通高中普通班，基础不错，在高中阶段已经度过一年半，已经具备一定自主学习能力和思维水平，班级中有一定数量的孩子思维比较活跃．

1.2教材分析

数系的扩充是选修1－2和选修2－2的内容，扩充的过程体现了数学发现和创造的过程．根据课标要求，学生需要在问题情景中了解数系扩充的过程，体会实际需要与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

本节课的教学目标从知识、方法、能力这三个层面确定为：

（1）经历数的概念的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求．

（2）理解复数的基本概念及复数相等的条件．

（3）使学生感悟与体会数学的科学价值与文化价值，提高学生的数学素养．

2.案例聚焦

从众多的教学设计看，基本是通过方程在不同范围的解的状况导出实数系扩充的必要性,再通过适当的练习去巩固复数的相关概念．我们的设计聚焦于挖掘概念背后的数学文化凸显数学教育的文化价值是我们聚焦的主要问题．

3.教学过程

3.1知识回顾激发冲突

问题1：

方程

是否有解？

是否有解应该和

的取值取值范围有关，如果

的取值范围为实数集，那么该方程无解．题设中

并无要求，那么是不是存在这样一个范围能使得该方程有解呢？

问题2：

（1）方程

在自然数范围内是否有解？

在整数范围是否有解？

（2）方程

在整数范围内是否有解？

在有理数范围是否有解？

（3）方程

在有理数范围内是否有解？

在实数范围是否有解？

生：

对每个问题而言，在小的范围内是没有解的，但在大的范围内是有解的．

教学意图前苏联教育学家维果斯基认为，教育应该在学生的最近发展区进行，这样才能调动学生的学习积极性。

学生熟悉简单方程有解无解的情况，因此我们从方程角度看数系扩充的进程，有利于学生去体会到每次数系扩充的必要性．

3.2展现历实探究规律

问题3：

请同学阅读下面数系扩充的历史，你能否从中得到数系扩充过程必须满足的原则？

数系扩充的历史

数系的扩张过程以自然数为基础，德国数学家克罗内克（Kronecker，1823-1891）说“上帝创造了整数，其它一切都是人造的”．

（1）类似于2+3=5的事实产生了加法的概念，然而2加上几会等于1呢？

由此需要定义负数，一个数的“负数”即它与该数之和等于0；进而定义减法。

产生零、负自然数，合称整数，得到整数集．

（2）加法的重复进行产生了乘法，2×3=6就是三个2相加．然而2乘以几会等于1呢？

由此需要定义倒数：

一个数的“倒数”即它与该数之积等于1，进而定义除法，产生既约分数，合称有理数，得到有理数集．

（3）乘法的重复进行产生了乘方，

就是三个2相乘，然而哪个数的平方会等于2呢？

毕达哥拉斯学派提出了这个问题，边长为1的正方形的对角线的长度不是既约分数，后来用

示对角线的长度，无理数的概念初步形成，从而产生了开方运算和实数集．

师：

在一个数系中，我们都会有相应的运算法则，如在自然数集中有加法运算，整数集中乘法运算等，从这个角度看，每次数系的扩充与运算法则的关系是怎样的？

生：

在给定的数系中，如果考虑原来运算的逆运算，那么在原有的数系中逆运算不一定能成立，但扩充之后，逆运算一定能够成立．

师：

那么原来的运算法则在新的数系中还能进行吗？

生：

可以的．

师：

通过刚才的讨论，数系在扩充的过程要3个原则：

（1）引入新的数；

（2）原运算在新的数系中得以保持；（3）新运算（逆运算）在新的数系中得以成立．为了使得

得以成立，我们需要对原来的实数系扩充．

教学意图新课标要求学生能从数学文化的学习中了解人类社会发展与数学发展的相互作用，认识数学发生、发展的必然规律．该问题以数学的发展历史为背景，力求让学生体会每次数系扩充的必要性，即每次数系的扩充都是在为了解决原来数系中无法解决的问题而产生的．另外，也要体会到新数系包含了原来的数系，在新数系中原有的运算仍然适用，同时解决了某些运算在原来数系中不可实施的矛盾．

3.3新数构建

为了使得

得以成立，我们需要对原来的实数系扩充，引进一个新数，它能使得

成立，我们把这个记为为

，并称之为虚数单位．

师：

引入虚数单位

之后，实数系被扩充到一个新的数系，它是不是只有1个新数

？

生1：

是．

生2：

不止1个，因为

也是这个方程的根．

师：

现在有两个不同的结果，请同学结合数系扩充过程必须满足的原则再来评判两个同学的结果．

生3：

新数应该无穷多个，因为数系在扩充的后，原来的运算在新的数系中仍然要成立，所以

和

相乘所得结果仍在新的数系中，类似这样的数如

有无穷多个．

生4:

老师，还有其他的新数，如

等，这样的新数也有无穷多个．

师:

请同学们根据刚才的讨论，新数系中的数要满足

的形式，其中

．形如这样的数我们称为复数，所有复数的集合称为复数集．对于复数

，当且仅当

时，

是实数

；当

时，

叫做虚数；特别地，当

且

时，

叫做纯虚数．

教学意图因为引入虚数单位

而且数系的扩充要保持原来运算的运算规律，所以由实数

和原来实数集中的乘法可以得到一类新的数即复数．知识依据数学知识产生的规律来认识复数集，它一个循序渐进的过程，也是一个合理的途径．新课标也指出：

“要强调对数学本质的认识，高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学产生、发展的逐步形成过程，把数学的学术形态转化为学生可以接受的教育形态”，这就是数学文化价值．

3.3学以致用

问题4：

实数

取什么值时，复数

是

（1）实数

（2）虚数（3）纯虚数？

（4）复数z是

．

根据实数、虚数、纯虚数的形式和复数相等的条件可以求得当

时，

为实数；当

时，

为虚数；当

时，

为纯虚数；当

时，z是

．

3.4回顾总结

（1）复数产生的背景

（2）复数的定义及其分类

4.回顾与反思

4.1教学立意

课程标准中提出：

“数学文化应尽可能地有机结合高中数学课程的内容”，而且在数学教学中适时、适当地引入数学文化知识，使得教材的内容得到“生活化”、“情景化”，从而改变学生的学习方式，使知识基础和发展能力有机结合，这对提高数学教学质是一条行之有效的途径．

数学教育的目标有三个层面：

（1）思维训练；

（2）数学应用；（3）文化素养的提高。

如果一个高中生将来要成长为数学家，那么较深层次的思维训练；如果一个高中生将来要从事工科，那么他要从数学教育中获取较多的数学应用知识。

但大部分人将来所从事的未必是这两个方面的工作，所以数学教育要面向大众学生，不能一味地追求数学的难度和数学的逻辑思维训练，相反，应该以数学文化关怀人，全面提高学生的数学素养．

总体上讲,数学文化包括两个部分，一部分是数学这门学科的具体内容，如数学概念、定理、公式、法则等，另一方面是人类在长期的数学活动中形成的数学精神、数学思想方法等，前者是数学文化的基础，后者是数学文化的核心．因此数学教育应该在文化这个更广阔的背景下开展，首先，数学的历史告诉我们从哪里来，将要去哪里；其次，数学的发展历史中会贯穿一种探索精神和治学之道，通过这样的课堂，我们就会合理构建学生知识体系和培养学生的数学素养．

4.2教学反思

数学文化怎样渗透更为合适？

长期以来，数学以其特有的逻辑性与严密性，被誉为“思维的体操”．然而随着时间的推移，很多数学教育家提出数学教育应该是人文教育和科学教育的相互渗透．在本节课的教学中，数学文化的体现应该在数的变化历史上，而且在其变化的历史进程中还始终满足两个规律，让学生从历史中体会这两个规律是本节教学的难点。

是一开始就介绍数的发展历史，还是先让学生产生一些关于数的认识上的冲突，再介绍数的发展历史？

我们选择了后者．

关于复数的定义，也应该有数学文化的影子．教材中的处理方式就是直接给出复数的定义等，但在本节课中，我们通过不同的实系数的解的形式让学生自主形成

的一类新数及复数．因为这种数形式的背后实际上一类“基”的概念即复数可以看成由

通过实系数构成，“基”在数学的诸多方面都有应用．