基本算法正式稿该.docx
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基本算法正式稿该
《基本算法正式稿》
一、数论算法
1．求两数的最大公约数
function gcd（a,b:
integer）:
integer;
begin
if b=0 then gcd:
=a
else gcd:
=gcd （b,a mod b）;
end ;
2．求两数的最小公倍数
function lcm（a,b:
integer）:
integer;
begin
if a lcm:
=a;
while lcm mod b>0 do inc（lcm,a）;
end;
3．素数的求法
A.小范围内判断一个数是否为质数：
function prime （n:
integer）:
Boolean;
var I:
integer;
begin
for I:
=2 to trunc（sqrt（n）） do
if n mod I=0 then begin
prime:
=false; exit;
end;
prime:
=true;
end;
B.判断longint范围内的数是否为素数（包含求50000以内的素数表）：
procedure getprime;
var
i,j:
longint;
p:
array[1..50000] of boolean;
begin
fillchar（p,sizeof（p）,true）;
p[1]:
=false;
i:
=2;
while i<50000 do begin
if p[i] then begin
j:
=i*2;
while j<50000 do begin
p[j]:
=false;
inc（j,i）;
end;
end;
inc（i）;
end;
l:
=0;
for i:
=1 to 50000 do
if p[i] then begin
inc（l）;pr[l]:
=i;
end;
end;{getprime}
function prime（x:
longint）:
integer;
var i:
integer;
begin
prime:
=false;
for i:
=1 to l do
if pr[i]>=x then break
else if x mod pr[i]=0 then exit;
prime:
=true;
end;{prime}
二、图论算法
1．最小生成树
A.Prim算法：
procedure prim（v0:
integer）;
var
lowcost,closest:
array[1..maxn] of integer;
i,j,k,min:
integer;
begin
for i:
=1 to n do begin
lowcost[i]:
=cost[v0,i];
closest[i]:
=v0;
end;
for i:
=1 to n-1 do begin
{寻找离生成树最近的未加入顶点k}
min:
=maxlongint;
for j:
=1 to n do
if （lowcost[j]0） then begin
min:
=lowcost[j];
k:
=j;
end;
lowcost[k]:
=0; {将顶点k加入生成树}
{生成树中增加一条新的边k到closest[k]}
{修正各点的lowcost和closest值}
for j:
=1 to n do
if cost[k,j] lowcost[j]:
=cost[k,j];
closest[j]:
=k;
end;
end;
end;{prim}
B.Kruskal算法：
（贪心）
按权值递增顺序删去图中的边，若不形成回路则将此边加入最小生成树。
function find（v:
integer）:
integer; {返回顶点v所在的集合}
var i:
integer;
begin
i:
=1;
while （i<=n） and （not v in vset[i]） do inc（i）;
if i<=n then find:
=i else find:
=0;
end;
procedure kruskal;
var
tot,i,j:
integer;
begin
for i:
=1 to n do vset[i]:
=[i];{初始化定义n个集合，第I个集合包含一个元素I}
p:
=n-1; q:
=1; tot:
=0; {p为尚待加入的边数，q为边集指针}
sort;
{对所有边按权值递增排序，存于e[I]中，e[I].v1与e[I].v2为边I所连接的两个顶点的序号，e[I].len为第I条边的长度}
while p>0 do begin
i:
=find（e[q].v1）;j:
=find（e[q].v2）;
if i<>j then begin
inc（tot,e[q].len）;
vset[i]:
=vset[i]+vset[j];vset[j]:
=[];
dec（p）;
end;
inc（q）;
end;
writeln（tot）;
end;
2.最短路径
A.标号法求解单源点最短路径：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b:
array[1..maxn] of integer; {b[i]指顶点i到源点的最短路径}
mark:
array[1..maxn] of boolean;
procedure bhf;
var
best,best_j:
integer;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
mark[1]:
=true; b[1]:
=0;{1为源点}
repeat
best:
=0;
for i:
=1 to n do
If mark[i] then {对每一个已计算出最短路径的点}
for j:
=1 to n do
if （not mark[j]） and （a[i,j]>0） then
if （best=0） or （b[i]+a[i,j] best:
=b[i]+a[i,j]; best_j:
=j;
end;
if best>0 then begin
b[best_j]:
=best；mark[best_j]:
=true;
end;
until best=0;
end;{bhf}
B.Floyed算法求解所有顶点对之间的最短路径：
procedure floyed;
begin
for I:
=1 to n do
for j:
=1 to n do
if a[I,j]>0 then p[I,j]:
=I else p[I,j]:
=0; {p[I,j]表示I到j的最短路径上j的前驱结点}
for k:
=1 to n do {枚举中间结点}
for i:
=1 to n do
for j:
=1 to n do
if a[i,k]+a[j,k] a[i,j]:
=a[i,k]+a[k,j];
p[I,j]:
=p[k,j];
end;
end;
C. Dijkstra 算法：
var
a:
array[1..maxn,1..maxn] of integer;
b,pre:
array[1..maxn] of integer; {pre[i]指最短路径上I的前驱结点}
mark:
array[1..maxn] of boolean;
procedure dijkstra（v0:
integer）;
begin
fillchar（mark,sizeof（mark）,false）;
for i:
=1 to n do begin
d[i]:
=a[v0,i];
if d[i]<>0 then pre[i]:
=v0 else pre[i]:
=0;
end;
mark[v0]:
=true;
repeat {每循环一次加入一个离1集合最近的结点并调整其他结点的参数}
min:
=maxint; u:
=0; {u记录离1集合最近的结点}
for i:
=1 to n do
if （not mark[i]） and （d[i] u:
=i; min:
=d[i];
end;
if u<>0 then begin
mark[u]:
=true;
for i:
=1 to n do
if （not mark[i]） and （a[u,i]+d[u] d[i]:
=a[u,i]+d[u];
pre[i]:
=u;
end;
end;
until u=0;
end;
3.计算图的传递闭包
Procedure Longlink;
Var
T:
array[1..maxn,1..maxn] of boolean;
Begin
Fillchar（t,sizeof（t）,false）;
For k:
=1 to n do
For I:
=1 to n do
For j:
=1 to n do T[I,j]:
=t[I,j] or （t[I,k] and t[k,j]）;
End;
4．无向图的连通分量
A.深度优先
procedure dfs （ now,color:
integer）;
begin
for i:
=1 to n do
if a[now,i] and c[i]=0 then begin {对结点I染色}
c[i]:
=color;
dfs（I,color）;
end;
end;
B 宽度优先（种子染色法）
5．关键路径
几个定义：
顶点1为源点，n为汇点。
a. 顶点事件最早发生时间Ve[j], Ve [j] = max{ Ve [j] + w[I,j] },其中Ve
（1） = 0;
b. 顶点事件最晚发生时间 Vl[j], Vl [j] = min{ Vl[j] – w[I,j] },其中 Vl（n） = Ve（n）;
c. 边活动最早开始时间 Ee[I], 若边I由表示，则Ee[I] = Ve[j];
d. 边活动最晚开始时间 El[I], 若边I由表示，则El[I] = Vl[k] – w[j,k];
若 Ee[j] = El[j] ，则活动j为关键活动，由关键活动组成的路径为关键路径。
求解方法：
a. 从源点起topsort,判断是否有回路并计算Ve;
b. 从汇点起topsort,求Vl;
c. 算Ee 和 El;
6．拓扑排序
找入度为0的点，删去与其相连的所有边，不断重复这一过程。
例 寻找一数列，其中任意连续p项之和为正，任意q 项之和为负，若不存在则输出NO.
7.回路问题
Euler回路（DFS）
定义：
经过图的每条边仅一次的回路。
（充要条件：
图连同且无奇点）
Hamilton回路
定义：
经过图的每个顶点仅一次的回路。
一笔画
充要条件：
图连通且奇点个数为0个或2个。
9．判断图中是否有负权回路 Bellman-ford 算法
x[I],y[I],t[I]分别表示第I条边的起点，终点和权。
共n个结点和m条边。
procedure bellman-ford
begin
for I:
=0 to n-1 do d[I]:
=+infinitive;
d[0]:
=0;
for I:
=1 to n-1 do
for j:
=1 to m do {枚举每一条边}
if d[x[j]]+t[j]=d[x[j]]+t[j];
for I:
=1 to m do
if d[x[j]]+t[j] end;
10．第n最短路径问题
*第二最短路径：
每举最短路径上的每条边，每次删除一条，然后求新图的最短路径，取这些路径中最短的一条即为第二最短路径。
*同理，第n最短路径可在求解第n-1最短路径的基础上求解。
三、背包问题
*部分背包问题可有贪心法求解：
计算Pi/Wi
数据结构：
w[i]:
第i个背包的重量；
p[i]:
第i个背包的价值；
1．0-1背包：
每个背包只能使用一次或有限次（可转化为一次）：
A.求最多可放入的重量。
NOIP2001 装箱问题
有一个箱子容量为v（正整数，o≤v≤20000），同时有n个物品（o≤n≤30），每个物品有一个体积 （正整数）。
要求从 n 个物品中，任取若千个装入箱内，使箱子的剩余空间为最小。
l 搜索方法
procedure search（k,v:
integer）; {搜索第k个物品，剩余空间为v}
var i,j:
integer;
begin
if v=v;
if v-（s[n]-s[k-1]）>=best then exit; {s[n]为前n个物品的重量和}
if k<=n then begin
if v>w[k] then search（k+1,v-w[k]）;
search（k+1,v）;
end;
end;
l DP
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
实现:
将最优化问题转化为判定性问题
f [I, j] = f [ i-1, j-w[i] ] （w[I]<=j<=v） 边界：
f[0,0]:
=true.
For I:
=1 to n do
For j:
=w[I] to v do F[I,j]:
=f[I-1,j-w[I]];
优化：
当前状态只与前一阶段状态有关，可降至一维。
F[0]:
=true;
For I:
=1 to n do begin
F1:
=f;
For j:
=w[I] to v do
If f[j-w[I]] then f1[j]:
=true;
F:
=f1;
End;
B.求可以放入的最大价值。
F[I,j] 为容量为I时取前j个背包所能获得的最大价值。
F [i,j] = max { f [ i – w [ j ], j-1] + p [ j ], f[ i,j-1] }
C.求恰好装满的情况数。
DP:
Procedure update;
var j,k:
integer;
begin
c:
=a;
for j:
=0 to n do
if a[j]>0 then
if j+now<=n then inc（c[j+now],a[j]）;
a:
=c;
end;
2．可重复背包
A求最多可放入的重量。
F[I,j]为前i个物品中选择若干个放入使其体积正好为j的标志，为布尔型。
状态转移方程为
f[I,j] = f [ I-1, j – w[I]*k ] （k=1.. j div w[I]）
B.求可以放入的最大价值。
USACO 1.2 Score Inflation
进行一次竞赛，总时间T固定，有若干种可选择的题目，每种题目可选入的数量不限，每种题目有一个ti（解答此题所需的时间）和一个si（解答此题所得的分数），现要选择若干题目，使解这些题的总时间在T以内的前提下，所得的总分最大，求最大的得分。
*易想到：
f[i,j] = max { f [i- k*w[j], j-1] + k*p[j] } （0<=k<= i div w[j]）
其中f[i,j]表示容量为i时取前j种背包所能达到的最大值。
*实现：
Begin
FillChar（f,SizeOf（f）,0）;
For i:
=1 To M Do
For j:
=1 To N Do
If i-problem[j].time>=0 Then
Begin
t:
=problem[j].point+f[i-problem[j].time];
If t>f[i] Then f[i]:
=t;
End;
Writeln（f[M]）;
End.
C.求恰好装满的情况数。
Ahoi2001 Problem2
求自然数n本质不同的质数和的表达式的数目。
思路一，生成每个质数的系数的排列，在一一测试，这是通法。
procedure try（dep:
integer）;
var i,j:
integer;
begin
cal; {此过程计算当前系数的计算结果，now为结果}
if now>n then exit; {剪枝}
if dep=l+1 then begin {生成所有系数}
cal;
if now=n then inc（tot）;
exit;
end;
for i:
=0 to n div pr[dep] do begin
xs[dep]:
=i;
try（dep+1）;
xs[dep]:
=0;
end;
end;
思路二，递归搜索效率较高
procedure try（dep,rest:
integer）;
var i,j,x:
integer;
begin
if （rest<=0） or （dep=l+1） then begin
if rest=0 then inc（tot）;
exit;
end;
for i:
=0 to rest div pr[dep] do
try（dep+1,rest-pr[dep]*i）;
end;
{main:
try（1,n）; }
思路三：
可使用动态规划求解
USACO1.2 money system
V个物品，背包容量为n，求放法总数。
转移方程：
Procedure update;
var j,k:
integer;
begin
c:
=a;
for j:
=0 to n do
if a[j]>0 then
for k:
=1 to n div now do
if j+now*k<=n then inc（c[j+now*k],a[j]）;
a:
=c;
end;
{main}
begin
read（now）; {读入第一个物品的重量}
i:
=0; {a[i]为背包容量为i时的放法总数}
while i<=n do begin
a[i]:
=1; inc（i,now）; end; {定义第一个物品重的整数倍的重量a值为1，作为初值}
for i:
=2 to v do
begin
read（now）;
update; {动态更新}
end;
writeln（a[n]）;
四、排序算法
1.快速排序：
procedure qsort（l,r:
integer）;
var i,j,mid:
integer;
begin
i:
=l;j:
=r; mid:
=a[（l+r） div 2]; {将当前序列在中间位置的数定义为中间数}
repeat
while a[i] while a[j]>mid do dec（j）;{在右半部分寻找比中间数小的数}
if i<=j then begin {若找到一组与排序目标不一致的数对则交换它们}
swap（a[i],a[j]）;
inc（i）;dec（j）; {继续找}
end;
until i>j;
if l if i end;{sort}
E.堆排序：
procedure sift（i,m:
integer）;{调整以i为根的子树成为堆,m为结点总数}
var k:
integer;
begin
a[0]:
=a[i]; k:
=2*i;{在完全二叉树中结点i的左孩子为2*i,右孩子为2*i+1}
while k<=m do begin
if （k
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