安徽省合肥市届高三第三次教学质量检测数学(文)试题Word版含答案.docx

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合肥市高三第三次教学质量检测数学试题（文科）

　　（考试时间：

120分钟满分：

150分）

　　第Ⅰ卷

　　一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

（1）设复数z=1+（其中i为虚数单位），则z=i

　　A.5

　　B.3

　　C.5

　　D.3

　　ì1ü

（2）已知集合A={xÎRx2-2x³0}，B=í-，1ý，则（CRA）B=î2þ

　　A.Æ

　　ì1ü

　　B.í-ýî2þ

　　C.{1}

　　ì1ü

　　D.í-，1ýî2þ

　　11üì+¥）上单调递增，则

　　（3）已知aÎí-1，，2，，3ý，若f（x）=xa为奇函数，且在（0，23þî

　　实数a的值是

　　A.-1，3

　　B.，3

　　C.-1，，3

　　D.，，323

　　（4）若正项等比数列{an}满足an+2=an+1+2an，则其公比为

　　B.2或-1

　　C.2

　　D.-1

　　（5）运行如图所示的程序框图，则输出的s等于

　　A.-10

　　B.-3

　　C.3

　　D.1

　　（6）若l，m是两条不同的直线，a为平面，直线l⊥平面a，则“m//a”是“m^l”的

　　A.充分不必要条件

　　C.充要条件

　　B.必要不充分条件

　　D.既不充分也不必要条件

　　（7）右图是一个正六边形及其内切圆，现采取随机模拟的方法估计圆周率的值：

随机撒一把豆子，若落在正六边形内的豆子个数为N个，落在圆内的豆子个数为M个，则估计圆周率p的值为

　　23MN

　　3MN

　　23MN

　　（9）若DABC的三个内角A若nis，B，C所对的边分别是a，b，c，则c2-a2=

　　A.10

　　B.8

　　C.7

　　D.4

　　A）ni=s（C-

　　1B2，且b=4，（10）已知双曲线C:

　　y2x2-=1（a>0，b>0）的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端a2b2

　　点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点.若M为AF的中点，且AF=6，则双曲线C的方程为

　　y2x2-=128

　　y2x2-=182

　　C.y2-

　　x2=14

　　y2-x2=14

　　（11）我国古代《九章算术》将上、下两面为平行矩形的六面体称为刍童.右图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和4，高为2，则该刍童的表面积为

　　A.125

　　B.40

　　C.16+123

　　D.16+125

　　（12）若函数f（x）=x+-alnx在区间[1，2]上是非单调函数，则实数a的取值范围是

　　æ14ö

　　A.ç，÷è23ø

　　é14ù

　　D.ê，úë23û

　　æ4ö

　　B.ç，+¥÷3èø

　　é4ö

　　C.ê，+¥÷3ëø

　　第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第

　　（13）题—第

　　（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

　　（22）题、第

　　（23）题为选考题，考生根据要求作答.

　　二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.

　　（13）已知2x=3，log2

　　4=y，则x+y的值等于_________.3

　　ìx+y-1³0ï

　　（14）若实数x，y满足条件íx-y-1£0，则z=2x+y的最大值为______.ïx-3y+3³0î

　　（15）已知OA=（2，0），OB=（0，2），AC=tAB，tÎR.当OC最小时，t=

　　（16）已知数列{an}的前n项和为Sn，且数列í则S2018=..

　　ìSnüý为等差数列.若S2=1，S2018-S2016=5，înþ

　　三、解答题：

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

　　（17）

　　（本小题满分12分）将函数y=f（x）的图象向左平移

　　个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到

　　原来的2倍，可以得到函数y=cos2x的图象.（Ⅰ）求f（x）的解析式；

　　（Ⅱ）比较f

（1）与f（p）的大小.

　　（18）

　　（本小题满分12分）2018年2月9-25日，第23届冬奥会在韩国平昌举行.4年后，第24届冬奥会将在中国北京和张家口举行.为了宣传冬奥会，某大学在平昌冬奥会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看平昌冬奥会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看男生女生6020没收看2020

　　（Ⅰ）根据上表说明，能否有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关？

（Ⅱ）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2022年北京冬奥会志愿者宣传活动.（ⅰ）问男、女学生各选取多少人？

（ⅱ）若从这8人中随机选取2人到校广播站开展冬奥会及冰雪项目宣传介绍，求恰好选到一名男生一名女生的概率

　　P.附：

　　K2=

　　（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）

　　P（K2³k0）

　　n（ad-bc）

　　2，其中n=a+b+c+d.

　　0.05

　　3.841

　　0.025

　　5.024

　　0.01

　　6.635

　　0.005

　　7.879

　　0.10

　　2.706

　　（19）

　　（本小题满分12分）如图，侧棱与底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，ABCD，AB^AD，AA1=4，DC=2AB，AB=AD=3，点M在

　　1棱A1B1上，且A1M=A1B1.点E是直线CD的一点，AM平面BC1E.3

　　（Ⅰ）试确定点E的位置，并说明理由；

　　（Ⅱ）求三棱锥M-BC1E的体积.

　　（20）

　　（本小题满分12分）记焦点在同一条轴上且离心率相同的椭圆为“相似椭圆”.已知

　　x2y2椭圆E：

+=1，以椭圆E的焦点为顶点作相似椭圆M.1612

　　（Ⅰ）求椭圆M的方程；

　　（Ⅱ）设直线l与椭圆E交于A，B两点，且与椭圆M仅有一个公共点，试判断DABO的面积是否为定值（O为坐标原点）？

若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

　　（21）

　　（本小题满分12分）已知函数f（x）=aex+x2+a（e为自然对数的底数）.（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线为l，当实数a变化时，求证：

直线l经过定点；

　　（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点，求实数a的取值范围.

　　请考生在第

　　（22）、（23）题中任选一题作答.注意：

只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.

　　（22）

　　（本小题满分10分）选修4－4：

坐标系与参数方程

　　ìïx=-1+ï在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为íïy=1+ïî2t2（t为参数），圆C的方程为2t2

　　（x-2）+（y-1）

　　=5.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

　　（Ⅰ）求直线l及圆C的极坐标方程；

　　（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，求cosÐAOB的值.

　　（23）

　　（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲已知函数f（x）=x-1+x-3.（Ⅰ）解不等式f（x）£x+1；

　　a2b2b>0，a+b=c，（Ⅱ）设函数f（x）的最小值为c，实数a，b满足a>0，求证：

+³1.a+1b+1合肥市2018年高三第三次教学质量检测数学试题（文科）参考答案及评分标准

　　一、选择题：

本大题共12小题，每小题5分.题号答案1A2C3B4C5B6A7D8D9B10C11D12A

　　二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分.（13）2（14）8

　　（15）

　　（16）3027

　　三、解答题：

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

　　（17）

　　（本小题满分12分）

　　1（Ⅰ）将函数y=cos2x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数y=cos4x的图2

　　象，再将所得图象向右平移

　　pöpöææ个单位长度，得到函数y=cos4çx-÷=cosç4x-÷的图象，123øè12øè

　　………………………6

　　pöæ即f（x）=cosç4x-÷.3øè

　　分

　　pöpææpö（Ⅱ）f（p）=cosç4p-÷=cos，而f

（1）=cosç4-÷.3ø33øèè

　　∵

　　<4-

（1）<0

　　……………………12分

　　（18）

　　（本小题满分12分）（Ⅰ）因为K2=

　　120´（60´20-20´20）80´40´80´40

　　7.5>

　　6.635，所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.

　　………………………5分

　　31（Ⅱ）

　　（ⅰ）根据分层抽样方法得，男生´8=6人，女生´8=2人，44

　　所以选取的8人中，男生有6人，女生有2人.………………………8分

　　（ⅱ）从8人中，选取2人的所有情况共有N=7+6+5+4+3+2+1=28种，其中恰有一名男生一名女生的情况共有M=6+6=12种，所以，所求概率P=

　　123=.287

　　………………………12分

　　（19）

　　（本小题满分12分）（Ⅰ）如图，在棱C1D1上取点N，使得D1N=A1M=1.又∵D1N//A1M，∴MN//A1D1//AD.∴四边形AMND为平行四边形，∴AM//DN.过C1作C1E//DN交CD于E，连结BE，∴DN//平面BC1E，AM//平面BC1E，∴平面BC1E即为所求，此时CE=1.分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AM//平面BC1E，1æ1ö∴VM-BC1E=VA-BC1E=VC1-ABE=´ç´3´3÷´4=6.………………12分3è2ø

　　………………6

　　（20）

　　（本小题满分12分）（Ⅰ）由条件知，椭圆M的离心率e=∴椭圆M的方程为

　　x2y2+=143

　　1，且长轴的顶点为（-2，0），（2，0），2

　　……………………4分

　　（Ⅱ）当直线l的斜率存在时，设直线l:

y=kx+b.

　　ìy=kx+bï由íx2y2得，（3+4k2）x2+8kbx+4b2-12=0.+=1ï3î4

　　令D=64k2b2-4（3+4k2）（4b2-12）=0得，b2=3+4k2.联立y=kx+b与

　　x2y2+=1，化简得（3+4k2）x2+8kbx+4b2-48=0.1612

　　8kb-8kìx1+x2=-=，2ïbï3+4k设A（x1，y1），B（x2，y2），则í22ïx×x=4b-48=4b-48.12ï3+4k2b2î

　　∴AB=1+k2x1-x2=∴SDABO=

　　1AB×d=6.2

　　b121+k2，而原点O到直线l的距离d=b1+k2

　　当直线l的斜率不存在时，l:

x=2或x=-2，则AB=6，原点O到直线l的距离d=2，∴SDABO=6.综上所述，DABO的面积为定值

　　6.……………………12分

　　（21）

　　（本小题满分12分）（Ⅰ）∵f（x）=aex+x2+a，∴f¢（x）=aex+2x，f¢（0）=a.又∵f（0）=2a，∴直线l的方程为y=ax+2a，∴直线l经过定点（-2，0）.（Ⅱ）∵f（x）=aex+x2+a，∴f¢（x）=aex+2x.设g（x）=aex+2x，则g¢（x）=aex+2.当a³0时，g¢（x）>0，即g（x）在R上单调递增，则f¢（x）=aex+2x最多有一个零点，函数f（x）至多有一个极值点，与条件不符；

　　æ2ö当a<0时，由g¢（x）=aex+2=0，得x=lnç-÷.èaø

　　lnç-÷÷时，g¢（x）>0；当xÎçlnç-÷，+¥÷时，g¢（x）<0.当xÎç-¥，aaèèø

　　lnç-÷÷上单调递增，在çlnç-÷，+¥÷上单调递减，∴g（x）在ç-¥，aaèèøææ2ööèøøææ2öèøö

　　……………………………4分

　　æ2ööèøø

　　æ2öèø

　　∴g（x）£gçlnç-÷÷，即g（x）max=gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷.aaa

　　èèèøææ2ööæ2ö令2çlnç-÷-1÷>0，解得aÎç-，0÷.aèøèeøèø

　　æ2ööèøø

　　æ2öèø

　　ææ2ööææ2ööæ2ö∵g（0）=a<0，aÎç-，0÷，∴gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷>0，èeøèèaøøèèaøølnç-÷÷上单调递增，∴g（x）=f¢（x）在ç-¥，lnç-÷÷上有唯一零∵g（x）=f¢（x）在ç-¥，aaèèææ2ööèøøææ2ööèøø

　　点x1，lnç-÷÷时，f¢（x）>0.当xÎ（-¥，x1）时，f¢（x）<0；当xÎçx1，aè

　　lnç-÷÷上有唯一极值点.∴f（x）在ç-¥，aèæé1æ2ööæ2öùæ2ö又∵当aÎç-，0÷时，gç2lnç-÷÷=4ê+lnç-÷ú.èaøøèaøûèeøèëaææ2ööèøø

　　æ2ööèøø

　　x2112-x设h（x）=lnx-，其中x=-Î（e，+¥），则h¢（x）=-=<0，2ax22xé1æeæ2öùæ2öö∴h（x）

　　æé1æ2ööæ2öùæ2ö即当aÎç-，0÷时，gç2lnç-÷÷=4ê+lnç-÷ú<0，aaeèøøèaøûèøèë

　　而gçlnç-÷÷=2çlnç-÷-1÷>0，aa

　　èèø+¥÷上单调递减，∴g（x）=f¢（x）在çlnç-÷，+¥÷上有唯一零∵g（x）=f¢（x）在çlnç-÷，aaèøèøææ2öèøöææ2öèøö

　　æ2ööèøø

　　æ2öèø

　　点x2，+¥）时，f¢（x）<0.当xÎçlnç-÷，x2÷时，f¢（x）>0；当xÎ（x2，a

　　èø+¥÷上有唯一极值点.∴f（x）在çlnç-÷，aèøææ2öèøöææ2öèøö

　　æ2ö综上所述，当f（x）有两个极值点时，aÎç-，0÷.……………………12分èeø

　　（21）

　　（本小题满分12分）

　　1（Ⅰ）∵f（x）=ex-x2-ax，∴f¢（x）=ex-x-a.2

　　设g（x）=ex-x-a，则g¢（x）=ex-1.令g¢（x）=ex-1=0，解得x=0.

　　0）时，g¢（x）<0；当xÎ（0，+¥）时，g¢（x）>0.∴当xÎ（-¥，∴g（x）min=g（0）=1-a.当a£1时，g（x）=f¢（x）³0，∴函数f（x）单调递增，没有极值点；当a>1时，g（0）=1-a<0，且当x®-¥时，g（x）®+¥；当x®+¥时，g（x）®+¥.∴当a>1时，g（x）=f¢（x）=ex-x-a有两个零点x1，x2.不妨设x1

　　设h（x）=e-x-ex+2x，x>0，则h¢（x）=-

　　1+¥）上单调递减，-ex+2<0，∴h（x）在（0，ex∴h（x）

　　0）上也单调递减，∴f（x1）>f（-x2）.∵函数f（x）在（x1，2∴要证f（x1）+f（x2）>2，只需证f（-x2）+f（x2）>2，即证ex+e-x-x2-2>

　　+¥），则k¢（x）=ex-e-x-2x.设函数k（x）=ex+e-x-x2-2，xÎ（0，设j（x）=k¢（x）=ex-e-x-2x，则j¢（x）=ex+e-x-2>0，+¥）上单调递增，∴j（x）>j（0）=0，即k¢（x）>0.∴j（x）在（0，+¥）上单调递增，∴k（x）>k（0）=0.∴k（x）在（0，2+¥）时，ex+e-x-x2-2>0，则ex+e-x-x2∴当xÎ（0，-2>0，22

　　∴f（-x2）+f（x2）>2，∴f（x1）+f（x2）>2.………………………12分

　　（22）

　　（本小题满分10分）选修4-4：

坐标系与参数方程

　　ìïx=-1+ï（Ⅰ）由直线l的参数方程íïy=1+ïî2t2得，其普通方程为y=x+2，2t2

　　∴直线l的极坐标方程为rsinq=rcosq+2.又∵圆C的方程为（x-2）+（y-1）=5，22

　　将í

　　ìx=rcosq代入并化简得r=4cosq+2sinq，îy=rsinq

　　∴圆C的极坐标方程为r=4cosq+2sinq.（Ⅱ）将直线l：

rsinq=rcosq+2，……………………5分

　　与圆C：

r=4cosq+2sinq联立，得（4cosq+2sinq）（sinq-cosq）=2，p整理得sinqcosq=3cos2q，∴q=，或tanq=3.2

　　不妨记点A对应的极角为于是，cosÐAOB=cosç

　　p，点B对应的极角为q，且tanq=3.2

　　……………………10分

　　310æpö-q÷=sinq=.10è2ø

　　（23）

　　（本小题满分10分）选修4-5：

不等式选讲（Ⅰ）f（x）£x+1，即x-1+x-3£x+1.，x³1.

（1）当x<1时，不等式可化为4-2x£x+1

　　又∵x<1，∴xÎÆ；，x³

（2）当1£x£3时，不等式可化为2£x+1

　　又∵1£x£3，∴1£x£3.，x£5.

　　（3）当x>3时，不等式可化为2x-4£x+1

　　又∵x>3，∴3

　　5.综上所得，1£x£3，或3

　　（Ⅱ）由绝对值不等式性质得，x-1+x-3³（1-x）+（x-3）=2，∴c=2，即a+b=2.令a+1=m，b+1=n，则m>1，n>1，a=m-1，b=n-1，m+n=4，（m-1）（n-1）a2b21144+=+=m+n++-4=³=1，a+1b+1mnmnmnæm+nö2ç÷è2ø

　　原不等式得证.

　　…………………10分

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